高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题1docx.docx

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实用标准

解三角形的必备知识和典型例题及详解

一、知识必备：

1．直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：

a2＋b2＝c2。

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：

A＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：

（锐角三角函数定义）

sin

A

＝cos

B

＝a

，cos

A

＝sin

＝b

，tan

A

＝a

。

c

B

b

c

2．斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：

A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

abc

2R（R为外接圆半径）

sinAsinBsinC

（3）余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积

的两倍

a

2＝

b

2＋

2－2

bc

cos

A

；

b

2＝

2＋

a

2－2

ca

cos

B

；

c

2＝

2＋

b

2

－2

ab

cos

。

c

c

a

C

3．三角形的面积公式：

1

aha＝

1

1

（1）S＝

bhb＝

chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

2

2

2

1

1

bcsinA＝

1

（2）S＝

absinC＝

acsinB；

2

2

2

4．解三角形：

由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）

文档

求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平

分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：

（1）两类正弦定理解三角形的问题：

第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

第1、已知三边求三角.

第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=－cosC；tan（A+B）=－tanC。

sinABcosC,cosABsinC；

2222

（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

6．求解三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：

分析题意，弄清已知和所求；

（2）建模：

将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；

（3）求解：

正确运用正、余弦定理求解；

（4）检验：

检验上述所求是否符合实际意义。

二、典例解析

题型1：

正、余弦定理

2

例1．

（1）在

ABC中，已知

A32.00

，B

81.80

，a

42.9cm，解三角形；

（2）在

ABC中，已知a

20cm，b28

cm，A400

，解三角形（角度精确到

10，边长精确

到1cm）。

解：

（1）根据三角形内角和定理，

C1800

（AB）1800

（32.0081.80）66.20；

根据正弦定理，b

asinB

42.9sin81.80

80.1（cm）；

sinA

sin32.0

0

根据正弦定理，

c

asinC

42.9sin66.20

74.1（cm）.

sinA

sin32.00

（2）根据正弦定理，

sinBbsinA

28sin400

0.8999.

a

20

因为00

＜B＜1800，所以B

640

，或B

1160.

①当B

640

时，

C

1800

（A

B）

1800

（400

640）760

，

c

asinC20sin760

30（cm）.

sinA

sin400

②当B1160时，

C180

0

（A

B）

0

0

116

0

）

0

，c

asinC

20sin240

13（cm）.

180（40

24

sinA

sin400

点评：

应用正弦定理时（

1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；

（2）

对于解三角形中的复杂运算可使用计算器

题型2：

三角形面积

例2．在

ABC中，sinA

cosA

2

，AC

2，AB

3，求tanA的值和

ABC的面积。

2

解法一：

先解三角方程，求出角

A的值。

3

sinA

cosA

2cos（A

45）

2,

2

cos（A

1

45）.

2

又0

A

180,

A

45o

60o,A

105.o

tanA

tan（45o

60o）

1

3

2

3,

1

3

sinA

sin105sin（45

60）

sin45cos60

cos45sin60

2

6

.

4

SABC

1

AC

ABsinA

1

2

3

2

4

63（

2

6）。

2

2

4

解法二：

由sinA

cosA计算它的对偶关系式

sinA

cosA的值。

sinA

cosA

2

①

2

（sinA

cosA）2

1

2

2sinAcosA

1

2

Q0o

A

180o,

sinA

0,cosA

0.

另解（sin2A

1）

2

（sinA

cosA）2

1

2sinAcosA

3

2

sinA

cosA

6

②

2

①+②得sinA

2

6

4

。

①－②得cosA

2

4

6。

从而tanA

sinA

2

6

4

2

3。

cosA

4

2

6

以下解法略去。

4

点评：

本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是

一道三角的基础试题。

两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

题型3：

三角形中的三角恒等变换问题

例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－

c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB

的值。

c

分析：

因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。

由b2=ac可变形为

b2

bsinB

c=a，再用正弦定理可求

c

的值。

解法一：

∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

在△ABC中，由余弦定理得：

b2

c2

a2

bc

1

cosA=

2bc

=

=

，

2bc

2

∴∠A=60°。

在△ABC中，由正弦定理得

sinB=

bsinA

，∵b2=ac，

a

∠=60°，

A

bsinB

b2sin60

3

∴

=sin60°=

。

c

ac

2

解法二：

在△ABC中，

由面积公式得

1

bcsinA=

1

acsinB。

2

2

∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。

∴bsinB=sinA=

3。

c

2

评述：

解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4：

正、余弦定理判断三角形形状

5

例4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案：

C

解析：

2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB

∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

另解：

角化边

点评：

本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通

畅解题途径

题型5：

三角形中求值问题

例5．ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cosBC取得最大值，并

2

求出这个最大值。

解析：

由A+B+C=

B+C

π

A

B+C

A

π，得

=

－

，所以有cos

=sin

。

2

2

2

2

2

cosA+2cos

B+C

=cosA+2sin

A

A

A

A

1

3

2

=1－2sin2

+2sin=－2（sin

－

）2+

；

2

2

2

2

2

2

A

1

π

B+C

3

当sin=

，即A=

时,cosA+2cos

取得最大值为

。

2

2

3

2

2

点评：

运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的

性质求得结果。

题型6：

正余弦定理的实际应用

例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的

平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A处测得

6

B点和D点的仰角分别为

30

0

，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600

，AC=0.1km

。

750，

试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，

然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km

，

21.414，6

2.449）

解:

在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

AB

AC

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以

BD=BA，

在△ABC中，sinBCA

sinABC

ACsin60

326

即AB=sin15

20

3

2

6

因此，BD=

20

0.33km。

故B，D的距离约为0.33km。

点评：

解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，

对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中

基本的数量关系即可过关。

三、思维总结

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；

（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的

角，然后利用A+B+C=π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再

由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。

7

2

．三角学中的射影定理：

在△ABC中，b

a

cosC

ccosA，⋯

3

．两内角与其正弦：

在△ABC中，A

B

sinA

sinB，⋯

4．解三角形可能出一解、两解或无解的情况，合“三角形中大大角定理及几何作来帮助理解”。

三、后跟踪

1.（2010上海文数18.）若△ABC的三个内角足

sinA:

sinB:

sinC5:

11:

13，△ABC（）

（A）一定是角三角形.（B）一定是直角三角形.

（C）一定是角三角形.（D）可能是角三角形，也可能是角三角形.

解析：

由sinA:

sinB:

sinC

5:

11:

13

及正弦定理得a:

b:

c=5:

11:

13

由余弦定理得

cosc

52

112

13

2

2

5

11

0，所以角C角

2.（2010

天津理数

7）在△ABC

中，内角

A,B,C的分是

a,b,c，若a2

b2

3bc，

sinC2

3sinB，A=（

）

（A）300

（B）600

（C）

1200

（D）1500

【答案】A

【解析】本主要考正弦定理与余弦定理的基本用，属于中等。

由正弦定理得

c

23b

2R

c23b，

2R

b2+c2-a2

3bcc2

3bc23bc

3

0

所以cosA=

2bc

=

，所以A=30

2bc

2bc

2

【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将化角运算或将角化运算。

3.（2010

湖北理数）3.在

ABC

cosB

中，a=15,b=10,A=60°，

=

8

A－22

B22C－6D

6

3

3

3

3

【答案】D

a

b

15

10

3

，又因为b

a，则B

【解析】根据正弦定理sinA

sinB可得sin60o

sinB解得sinB

3

A，

故B为锐角，所以cosB1sin2B

6

3

，故D正确.

4（.2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,

则sinC=.

1

3

1

解：

由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，sinA

sin60o，即sinA

2

．由

a

b知，A

B60o，则A

30o，

C

180o

A

B

180o

30o

60o

90o，sinC

sin90o

1

5（2009湖南卷文）在锐角

ABC中，BC

1,B

2A,则

AC

的值等于

，AC的取值范

cosA

围为

.

解析

设

A

B

2.由正弦定理得

AC

BC

AC

1

AC

2.

sin2

sin

2cos

cos

由锐角

ABC得0o

2

90o

0o

45o，

又0o180o3

90o

30o

60o，

故30o

45o

2

cos

3

，

2

2

AC

2cos

（

2,

3）.

6.（2009全国卷Ⅰ理）在

ABC中，内角A、B、C的对边长分别为

a、b、c，已知a2

c2

2b，

且sinAcosC

3cosAsinC,

求b

9

分析：

:

此题事实上比较简单

但考生反应不知从何入手

.对已知条件

（1）

a2

c2

2b左侧是二次

的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理

而对已知条件

（2）

sinAcosC

3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式

甚至有的学生还想用现在已经

不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法：

在