与函数相联系的图形旋转问题举例.docx
- 文档编号:30691957
- 上传时间:2023-08-19
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:37.38KB
与函数相联系的图形旋转问题举例.docx
《与函数相联系的图形旋转问题举例.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《与函数相联系的图形旋转问题举例.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
与函数相联系的图形旋转问题举例
与函数相联系的图形旋转问题举例
作者:
春 | 来源:
东北育才学校初中部浏览次数:
1026次
东北育才网校|2008-12-2211:
01:
57
图形的旋转是图形变换的重要容之一,又是新课程标准明确的重要容。
其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题,来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。
一、与一次函数相联系的图形旋转问题
A.三角形作旋转
例1(06).如图1-①,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点A在第二象限,点B、点C在x轴的负半轴上,∠CAO=30°,OA=4。
(1)求点C的坐标;
(2)如图1-②,将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置,其中A’C交直线OA于点E,A’B’分别交直线OA、CA于点F、G,则除△A’B’C≌△AOC外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案;(不再另外添加辅助线)
(3)在
(2)的基础上,将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转,当△COE的面积为时,求直线CE的函数表达式。
分析:
(1)要求点C的坐标只需求出OC长即可;
(2)根据旋转性质:
旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形;(3)问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”,所以“当△COE的面积为时”要注意多解。
解:
(1)在中,,.
点的坐标为.
(2),,.
(3)如图1-③,过点作于点.
,.
∵在中,,,.
∵点的坐标为.直线的.
同理,如图1-④所示,点的坐标为.
设直线.
例2(08)如图2,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图2-① 图2-②
分析:
(1)要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可,点A坐标已知,由已知△AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标;
(2)因为△ABD是由△AOP旋转而得到的,易证△ADP是等边三角形,所以DP的长即为AP的长;求点D坐标,一般可过点D作DH⊥x轴于点H,但此题不易直接求得线段OH、DH的长,因而可过点B作BG⊥DH于点G,并反向延长BG交y轴于点K.(3)由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为(t,0),所以分当t>0、<t≤0、t≤时三种情况讨论。
解:
(1)如图2-③,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得BF=OE=2,OF==
∴点B的坐标是(,2)设直线AB的解析式是y=kx+b,
则有解得
∴直线AB的解析式是y=x+4
(2)如图2-④,∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP,∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴DP=AP=.……(2分)
如图,点B作BG⊥DH于点G,并反向延长BG交y轴于点K.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD·cos60°=×=. DG=BD·sin60°=×=.
∴OH=KG=, DH= ∴点D的坐标为(,)
(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①t>0时,如图2-⑤,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2+t.∵△OPD的面积等于,∴,
解得,(舍去).∴点P1的坐标为(,0)
②当<t≤0时,如图2-⑥,BD=OP=-t,BG=-t,
∴DH=GF=2-(-t)=2+t.∵△OPD的面积等于,
∴,解得,.
∴点P2的坐标为(,0),点P3的坐标为(,0).
③当t≤时,如图,BD=OP=-t,DG=-t,
∴DH=-t-2.
∵△OPD的面积等于,∴,
解得(舍去),
∴点P4的坐标为(,0)
综上所述,
点P的坐标分别为P1(,0)、P2(,0)、P3(,0)、P4(,0)
B.角作旋转
例3(06) 如图3-①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点为,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60°.
(1)求直线CB的解析式;
(2)求点M的坐标;
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α (30°<α<60°)后,得到∠D1MC1(点D1,C1依次与点D,C对应),射线MD1交直线DC于点E,射线MC交直线CB于点F ,设DE=m,BF=n.求m与n的函数关系式.
图3-①
分析:
(1)要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可;求点C坐标只需过点C作CG⊥x轴于点G。
(2)求点M的坐标只需求出线段OM的长度,由△ODM∽△BMC 即可求得。
(3)由于∠DMC绕点M顺时针旋转,点M有两种情况,因而需分情况讨论。
解:
(1)BC解析式:
y=
(2)略证△ODM∽△BMC 设OM=x,2×2=x(5-x),x=1或4M(1,0)或(4,0)
(3)当M(1,0)时,△DME∽△CMF,
CF=2+n,DE=m,∴2+n=2m,即m=1+
当M(4,0) 时 ∴m=2(2-n),即m=4-2n
图3-② 图3--③
二、与反比例函数相联系的图形旋转问题
A.矩形旋转
例4(06.如图4-①,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A.
(1)判断△OGA和△OMN是否相似,并说明理由;
(2)求过点的反比例函数解析式;
(3)设
(2)中的反比例函数图象交EF于点B,求直线AB的解析式;
(4)请探索:
求出的反比例函数的图象,是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由.
分析:
(1)由∠OGA=∠OMN=90度,∠AOG=∠AOG易知;
(2)求过点的反比例函数解析式只需求出点A坐标,因为矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP,所以OM=OE=4,OG=EF=MN=2,又,所以求AG的长即可;(3)由点B横坐标为4,根据
(2)中结论易求点B坐标,即可求出直线AB的解析式;(4)看矩形OEFG的对称中心(4,1)是否满足
(2)中所求解析式即可。
解:
(1).
(2)由
(1)得.
(3).
(4)设矩形OEFG的对称中心为Q,则点Q坐标为(2,1).把代入,得.
反比例函数的图象经过矩形的对称中心.
B.三角形旋转
例5(06天门))如图5-①,边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上,B点位于第一象限。
将△OAB绕点O顺时针旋转30°后,恰好点A落在双曲线上。
(1)求双曲线的解析式;
(2)等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后,A点再次落在双曲线上?
图5-①
分析:
(1)根据题意,只需求出△OAB绕点O顺时针旋转30°后点A1坐标即可(过A1作A1C⊥X轴于C,由直角△OA1C中∠A1OC=30度,OA1=OA=2求出OC、CA1);
(2)可设A点次落在双曲线的A2处坐标为(a,),然后过A2作A2D⊥y轴于D,在直角△OA1D中利用勾股定理求出a的值,再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。
解:
(1)设旋转30°后,A点到A1,过A1作A1⊥X于C,在直角△OA1C中,得OC=,AA1=1,
所以A1(,-1),所以反比例函数的解析式为y=
(2)设A点次落在双曲线的A2处,设A2(a,),过A2作A2⊥y于D,
在直角△OA1D中,则a2+,解得a1=1
a2=(舍),所以∠A2OD=,∠A2OD=30°所以∠A1OA2=30°
继续按顺时针旋转30°后,A点再次落在双曲线上。
例6.(08义乌)已知:
等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6-①,点A的坐标为(),点B的坐标为(-6,0).
(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O,
请直接写出A、B的对称点的坐标;
(2)若将三角形沿x轴向右平移a个单位,此时点A恰好落在反比例函数的图像上,求a的值;
(3)若三角形绕点O按逆时针方向旋转度().
①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上,求k的值.
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上,若能,求出的值;若不能,请说明理由.
分析:
(1)关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数,纵坐标不变,所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点的坐标;
(2)三角形沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变,由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标,即可求出a的值;
(3)当=时,易求点B坐标即可求k的值。
解:
(1)
(2)∵ ∴ ∴ ∴
(3)①∵ ∴相应B点的坐标是 ∴
②能当时,相应,点的坐标分别是,
经检验:
它们都在的图像上∴
C.直线旋转
例7(06)在平面直角坐标系中,直线绕点顺时针旋转得到直线.直线与反比例函数的图象的一个交点为,试确定反比例函数的解析式.
分析:
由直线绕点顺时针旋转得到直线,易知直线的解析式为,
由图象的意义易求出点A的坐标,即可求出反比例函数的解析式。
解:
依题意得,直线的解析式为. 因为在直线上,
则.即.又因为在的图象上,
又因为在的图象上可求得.所以反比例函数的解析式为y=
例8.(07)如图8-①,
已知直线L:
与双曲线交于两点,且点的横坐标为4.
(1)求的值;
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;
(3)直线绕点O旋转与交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
分析:
(1)由图象意义根据直线L、点的横坐标为易求点A坐标,继而求出的值;
(2)由点的纵坐标为8,可求点坐标,求的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差:
可过点C、A分别作轴的垂线,垂足为E、F,所以的面积=△OEC的面积+梯形AFEC-△AOF的面积;
(3)可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。
因为不与点A重合因而分0<<4和>4讨论,由于为顶点组成的四边形是平行四边形,因而由所给面积可求点P坐标。
解:
(1)∵点A横坐标为4, ∴当=4时,=2. ∴点A的坐标为(4,2).
∵点A是直线与双曲线(k>0)的交点, ∴k=4×2=8.
(2)解:
如图8-②,过点C、A分别作轴的垂线,垂足为E、F,
∵点C在双曲线上,当=8时,=1.
∴点C的坐标为(1,8).图8-②
∵点C、A都在双曲线上,
∴S△COE=S△AOF=4。
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=×(2+8)×3=15, ∴S△COA=15.
(3)①当L绕点O逆时针旋转时∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB.
∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6.
设点P的横坐标为(>0且),得P(,).
过点P、A分别作轴的垂线,垂足为E、F,
∵点P、A在双曲2线上,∴S△POE=S△AOF=4. 则0<<4,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.图8--③
∴.解得=2,=-8(舍去).∴P(2,4).
②当L绕点O顺时针旋转时,则>4,如图8-④,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴S梯形PEFA=S△POA=6. ∴,
解得=8,=-2(舍去). ∴P(8,1).
∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
三、与二次函数相联系的图形旋转问题
A.矩形旋转
例9(08).如图9-①所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:
(1)连接AO,由,,易求得,因为矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形,所以,因而确定点在轴上;
(2)求抛物线的函数表达式,只需求点三点坐标;(3)点必须满足在轴的上方和在抛物线上两个条件;此平行四边形顶点没有顺序,因而需分情况讨论:
以为顶点的平行四边形面积为.由题意可知为此平行四边形一边,点,点的位置可以调换;由面积关系可求得OB边上的高为2,所以可求出点P坐标,从而求出点Q的坐标。
解:
(1)点在轴上,理由如下:
连接,如图9-②所示,
在中, ,,
, 由题意可知:
∵点在轴上,∴点在轴上.
(2)过点作轴于点,
在中,,∵点在第一象限,∴点的坐标为由
(1)知
,点在轴的正半轴上 ∴点的坐标为
∴点的坐标为 ∵抛物线经过点,
由题意,将,代入中得
解得 ∴所求抛物线表达式为:
(3)存在符合条件的点,点.理由如下:
∵矩形的面积∴以为顶点的平行四边形面积为.
由题意可知为此平行四边形一边,又 边上的高为2
依题意设点的坐标为 ∵点在抛物线上
解得,,
, ∵以为顶点的四边形是平行四边形,
,,
∴当点的坐标为时,点的坐标分别为,;
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,.
例10.(08).如图10-①,在平面直角坐标系中,矩形的顶点、.将矩形绕原点顺时针方向旋转,得到矩形.设直线与轴交于点、与轴交于点,抛物线经过点、、.解答下列问题:
(1)设直线表示的函数解析式为,求;
(2)求抛物线表示的二次函数的解析式;
(3)在抛物线上求出使的所有点的坐标.
分析:
(1)求直线表示的函数解析式只需求出点B、B’坐标即可;
(2)求抛物线表示的二次函数的解析式只需求得点和直线交轴、轴的两点、坐标即可;(3)由易求出点到的距离为2.则点的纵坐标为3或.代入二次函数的解析式即可求出点的坐标。
解:
(1)∵四边形是矩形,.根据题意,得.把,代入中,解得.
(2)由
(1)得,.
设二次函数解析式为,把代入得,
解得 ∴二次函数解析式为.
(3),.
又,∴点到的距离为2.则点的纵坐标y为3或-1.
当时,,即.解得.
.
当时,,即.解得.
.点坐标,.
例11(06).如图11-①,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图11-①).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是_____________;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图11--②).请探究:
经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
图11-① 11-②
分析:
(1)当α=60°时,易求得∠BCD=60°,由于矩形COAB绕点C顺时针旋转α角得到矩形CFED所以BC=CD,所以△CBD的形状是等边三角形;
(2)求直线FC的解析式只需知道点C、点H坐标即可,由AH=HC及直角三角形BHC、A(0,4),C(6,0)即可求得点H坐标;(3)求出经过点D,且以点B为顶点的抛物线解析式,看点M坐标是否满足抛物线解析式。
解:
(1)等边三角形.
(2)设,,即,
解得. ..
(3)(或).
依题可得,点坐标为,把代入,
得.∴抛物线经过矩形的对称中心.
B. 三角形旋转
例12.(07)如图12-①,在平面直角坐标系中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1,).将绕AC的中点旋转1800,点O落到点B的位置.抛物线经过点A,点D是该抛物线的顶点.
(1)求点B坐标;
(2)若点P是线段OA上一点,且,求点P的坐标;
(3)若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上.写出点P的坐标(直接写出答案即可).
分析:
(1)因为抛物线经过点A(2,0),所以a值可求;由条件知OABC为平行四边形,所以点C纵坐标即为点B纵坐标,即可求出点B坐标;
(2)要求点P的坐标,只需求出OP的长,而由D、A、B坐标易求∠OAD=∠AOB=60O,再由可证△APD∽△OAB即可求出OP的长。
(3)由于A、D两点为定点所以线段AD既可以作为平行四边形的一边又可以作为对角线进行分类讨论。
解:
(1)=0又由条件知OABC为平行四边形,
==,=3
(2)∠OAD=,∠AOB=,
∴∠OAD=∠AOB=60°,∠APD=∠OAB,
∴△APD∽△OAB,,AP=
(3)点P的坐标为(-1,0)或(1,0)或(3,0)
例13.(08)如图13-①,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x
轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;(3)如图13-②,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
图13-① 图13-②
分析:
(1)由图象的意义易求此抛物线的解析式;
(2)由
(1)可知四边形ABCD为等腰梯形,直线y=kx-1(k≠0)将其面积二等分,则此直线必过线段AB、CD中点M、N所连接的线段MN的中点P,而点P坐标可求,即可求出k的值;
(3)将△AEF绕平面某点旋转180°后得△MNQ知道以点A、E、M、N组成的四边形为平行四边形所以MN∥AE,MQ∥AF,根据△AEF≌△MNQ,易求点M,N的坐标。
答案:
⑴;⑵;⑶M(3,2),N(1,3)
图13-③ 图13-④ 图13-⑤
【返回首页】【打印信息】【关闭窗口】
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 相联 图形 旋转 问题 举例
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)