一元二次不等式解法应试能力测试题库.docx
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一元二次不等式解法应试能力测试题库
绝对值不等式,
基本的绝对值不等式:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5,没有最大值
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5,最大值是5
也可以从几何意义上理解,|x-3|+|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之和,显然当-2≤x≤3时,距离之和最小,最小值是5;而|x-3|-|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之差,当x≤-2时,取最小值-5,当x≥3时,取最大值5
解绝对值不等式题根探讨
题根四解不等式.
[题根4]解不等式.
[思路]利用|f(x)|0)-a [解题]原不等式等价于, 即 由 (1)得: ;由 (2)得: 或, 所以,原不等式的解集为或. [收获]1)一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础,无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式,最终是通过代数变形后,转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2)本题也可用数形结合法来求解。 在同一坐标系中画出函数的 的图象,解方程,再对照图形写出此不等式的解集。 第1变右边的常数变代数式 [变题1]解下列不等式: (1)|+1|>2-; (2)|-2-6|<3 [思路]利用|f(x)| 解: (1)原不等式等价于+1>2-或+1<-(2-) 解得>或无解,所以原不等式的解集是{|>} (2)原不等式等价于-3<-2-6<3 即 2<<6 所以原不等式的解集是{|2<<6} [收获]形如||<,||>型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①||<-<< ②||>>或<- [请你试试4—1] 1.解不等式 (1)|x-x2-2|>x2-3x-4; (2)≤1 解: (1)分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于: x-x2-2>x2-3x-4① 或x-x2-2<-(x2-3x-4)② 解①得: 1- 解②得: x>-3 故原不等式解集为{x|x>-3} 分析二∵|x-x2-2|=|x2-x+2| 而x2-x+2=(x-)2+>0 所以|x-x2-2|中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4 解得: x>-3 ∴原不等式解集为{x>-3} (2)分析不等式可转化为-1≤≤1求解,但过程较繁,由于不等式≤1两边均为正,所以可平方后求解. 原不等式等价于≤1 9x2≤(x2-4)2(x≠±2) x4-17x2+16≥0 x2≤1或x2≥16 -1≤x≤1或x≥4或x≤-4 注意: 在解绝对值不等式时,若|f(x)|中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负,恒负或恒非正),就可直接去掉绝对值符号,从而简化解题过程. 第2变含两个绝对值的不等式 [变题2]解不等式 (1)|-1|<|+|; (2)|x-2|+|x+3|>5. [思路] (1)题由于两边均为非负数,因此可以利用|f(x)|〈|g(x)|f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。 (2)题可采用零点分段法去绝对值求解。 [解题] (1)由于|-1|≥0,|+|≥0,所以两边平方后有: |-1|<|+| 即有-2+1<+2+,整理得(2+2)>1- 当2+2>0即>-1时,不等式的解为>(1-); 当2+2=0即=-1时,不等式无解; 当2+2<0即<-1时,不等式的解为< (2)解不等式|x-2|+|x+3|>5. 解: 当x≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-3 当x≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得: 原不等式解集为{x|x>2或x<-3}. [收获]1)形如||<||型不等式 此类不等式的简捷解法是利用平方法,即: ||<||<0 2)所谓零点分段法,是指: 若数,,……,分别使含有|-|,|-|,……,|-|的代数式中相应绝对值为零,称,,……,为相应绝对值的零点,零点,,……,将数轴分为+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化 [请你试试4—2] 1解关于的不等式(>0且≠1) 解析: 易知-1<<1,换成常用对数得: ∴ 于是 ∴ ∴ ∵-1<<1 ∴0<1-<1 ∴(1-)<0 ∴<0 ∴ 解得0<<1 2.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为。 解: |x+3|-|2x-1|= ∴当时∴x>2 当-3 当时∴ 综上或x>2 故填。 3.求不等式的解集. 解: 因为对数必须有意义,即解不等式组 ,解得 又原不等式可化为 (1)当时,不等式化为即 ∴∴综合前提得: 。 (2)当1 ∴。 (1) (1)当时, (2) (2)∴∴,结合前提得: 。 综合得原不等式的解集为 第3变解含参绝对值不等式 [变题3]解关于x的不等式 [思路]本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大。 若化简成,则解题过程更简单。 在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。 [解题]原不等式等价于 当即时, ∴ 当即时,∴x6 当即时,xR [收获]1)一题有多解,方法的选择更重要。 2)形如||<,||>()型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法,即: 1①当>0时,||<-<<;||>>或<-; 2②当=0时,||<无解,||>≠0 3③当<0时,||<无解,||>有意义。 [请你试试4—3] 1.解关于的不等式: 分析: 本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。 本题的关键不是对参数进行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集。 解: 当 。 2.关于的不等式|-1|≤5的解集为{|-3≤≤2},求的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后,由于值的不确定,要以的不同取值分类处理。 解: 原不等式可化为-4≤≤6 当>0时,进一步化为,依题意有,此时无解。 当=0时,显然不满足题意。 当<0时,,依题意有 综上,=-2。 第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 [变题4]若不等式|-4|+|3-|<的解集为空集,求的取值范围。 [思路]此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大。 若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||,便把问题简化。 [解题]解法一 (1)当≤0时,不等式的解集是空集。 (2)当>0时,先求不等式|-4|+|3-|<有解时的取值范围。 令-4=0得=4,令3-=0得=3 1①当≥4时,原不等式化为-4+-3<,即2-7< 解不等式组,∴>1 2②当3<<4时,原不等式化为4-+-3<得>1 3③当≤3时,原不等式化为4-+3-<即7-2< 解不等式,∴>1 综合①②③可知,当>1时,原不等式有解,从而当0<≤1时,原不等式解集为空集。 由 (1) (2)知所求取值范围是≤1 解法二由|-4|+|3-|的最小值为1得当>1时,|-4|+|3-|<有解 从而当≤1时,原不等式解集为空集。 解法三: ∵>|-4|+|3-|≥|-4+3-|=1 ∴当>1时,|-4|+|3-|<有解 从而当≤1时,原不等式解集为空集。 [收获]1)一题有多法,解题时需学会寻找最优解法。 2)有解;解集为空集;这两者互补。 恒成立。 有解;解集为空集;这两者互补。 恒成立。 有解;解集为空集;这两者互补。 恒成立。 有解;解集为空集;这两者互补。 恒成立。 [请你试试4—4] 1.对任意实数,若不等式|+1|-|-2|>恒成立,求的取值范围。 思维点拨: 要使|+1|-|-2|>对任意实数恒成立,只要|+1|-|-2|的最小值大于。 因|+1|的几何意义为数轴上点到-1的距离,|-2|的几何意义为数轴上点到2的距离,|+1|-|-2|的几何意义为数轴上点到-1与2的距离的差,其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通过画出图象,观察的取值范围。 解法一根据绝对值的几何意义,设数,-1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式即求|PA|-|PB|>成立 ∵|AB|=3,即|+1|-|-2|≥-3 故当<-3时,原不等式恒成立 解法二令=|+1|-|-2|,则 要使|+1|-|-2|>恒成立,从图象中可以看出,只要<-3即可。 故<-3满足题意。 2.对任意实数x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立,求实数a的取值范围。 分析: 经过分析转化,实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值,a应比最小值小。 解: 由绝对值不等式: |x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即 时取等号。 故a<3 说明: 转化思想在解中有很重要的作用,比如: 恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。 (在这些问题里我们要给自己提问题,怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题,常问的问题是: 要使……,只要……) 3.已知a>0,不等式|x-4|+|x-3| 分析 (一)|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3|1 (二)如图,实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有: y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|1恒有y1 数按题意只须a>1ABP 034x (三)令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象 由f(x) y 3 2 1 034x (四)考虑|z-4|+|z-3| 当a>1时,表示复平面上以3、4为焦点,长轴长为a的椭圆内部,当z为实数时,a>1原不等式有解a>1即为所求 (五)可利用零点分段法讨论. 将数轴可分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x) 有解条件为<3即a>1 当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时,得(x-4)+(x-3) 有解条件为>4即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为a>1. 变题: 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立,求a的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3| 3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立,求a的取值范围 评注: 1、此题运用了绝对值的定义,绝对值不等式的性质,以及绝对值的几何意义等多种方法。 4、构造函数及数形结合的方法,是行之有效的常用方法 设0 求正实数b的取值范围。 简析略解: 此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化: 设集合A=, B= 由题设知AB,则: () 于是得不等式组: 又,最小值为; 最小值为; ∴, 即: b的取值范围是 第5变绝对值三角不等式问题 [变题5]已知函数,当时,求证: ; ,则当时,求证: 。 [思路]本题中所给条件并不足以确定参数,的值,但应该注意到: 所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用、、来表示,。 因为由已知条件得,,。 [解题]证明: (1)由,从而有 (2)由 从而 将以上三式代入,并整理得 [收获]1)二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于: 通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2)本题变形技巧性强,同时运用公式,及已知条件进行适当的放大。 要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。 [请你试试4—5] 1.已知函数f(x)=,a,bR,且,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析: 要证,考察左边,是否能产生|a-b|。 证明: |f(a)-f(b)|= (其中,同理∴) 回顾: 1、证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证题成功的第一步。 此外,综合运用不等式的性质是证题成功的关键。 如在本例中,用到了不等式的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等。 2、本题的背景知识与解析几何有关。 函数是双曲线,的上支,而(即),则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。 (学过有关知识后),很显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间。 2. (1)已知不等式|x-3|+|x+1| (2)已知不等式|x-3|+|x+1| 分析: “有解”即“解集非空”,可见 (1) (2)两小题的答案(集合)互为补集(全集为R) 当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解,但我们考虑到“三角形不等式”: ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b| 知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4
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