运筹学作业解的题目发布版.docx
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运筹学作业解的题目发布版
运筹学作业
一、有如下线性规划问题
Maxf(x)=2x1+3x2
x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1,x2≥0
1)用图解法求最优解;
解:
线性规划问题为:
Maxf(x)=2x1+3x2
x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1≥0
x2≥0
1、以x1为横坐标、x2为纵坐标,建立平面坐标系。
然后在该平面坐标系上画出各个约束条件,包括非负约束条件。
(见下图1.1)
图1.1
2、图1.1所示的凸多边形OABCD即为给定线性规划问题的可行域。
3、将目标函数f(x)=2x1+3x2,写成
x2=-2/3x1+1/3f(x)
令f(x)=0,则上式变为x2=-2/3x1,对应直线见下图1.2的
。
图1.2
4、观察图1.2将直线
平行移动至与凸多边形OABCD的顶点C相切时,对应直线
,目标函数f(x)取得最大值,此时得最优解,为:
x1=4,x2=2(即C点的坐标值),目标函数值f(x)=14。
即图1.3所示
图1.3
2)写出所有基本可行解,并指出它在图解法图中的位置;
解:
基本可行解如下:
(0,0)、(0,3)、(2,3)、(4,2)、(4,0)
分别对应图解法图1.1中凸多边形OABCD的五个顶点O、A、B、C、D。
3)用QSB软件求最优解,对C1,C2,b1,b2进行灵敏度分析,打印出计算结果。
解:
1、QSB软件求出最优解:
灵敏度分析:
q1=1.5,资源1的影子价格为1.5,资源1无剩余;
q2=0.5,资源2的影子价格为0.5,资源2无剩余;
q3=0,资源3的影子价格为0,资源3有剩余;
q1最大,资源1最紧缺。
C1、C2:
从上面最优解可看到,C1、C2为当前值2、3时,x1、x2均投入生产,此时保持最优解结构不变的C1、C2取值范围为C1≥1.5(C2不变时),0≤C2≤4(C1不变时)。
b1、b2:
从上面最优解可看到,要保持最优解结构和影子价格q1、q2、q3不变的b1、b2取值范围为4≤b1≤10(b2、b3不变时),2≤b2≤8(b1、b3不变时)。
二、有如下线性规划问题,令x6,x7分别为约束条件
(1)和
(2)的松弛变量,指出下表各组解的类型(1、可行解,2、非可行解,3、基础可行解,4、基础非可行解)
Maxf(x)=3x1+2x2+5x3+x4+2x5
x1+2x2+x3+x4+2x5≤430
(1)
4x1+2x3+3x4+6x5≤1290
(2)
x1,x2,x3,x4,x5≥0
xJ
解
x1x2x3x4x5x6x7
解的
类别
一
203040500260550
二
000004301290
三
0064500-2150
四
00023010000
五
30070000-1090
解:
xJ
解
x1x2x3x4x5x6x7
解的
类别
一
203040500260550
非可行解
二
000004301290
基础可行解
三
0064500-2150
基础非可行解
四
00023010000
可行解
五
30070000-1090
非可行解
具体分析过程:
将线性规划问题标准化后,见下
Maxf(x)=3x1+2x2+5x3+x4+2x5
x1+2x2+x3+x4+2x5+x6=430(3)
4x1+2x3+3x4+6x5+x7=1290(4)
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
1、解一
(1)因为非零分量个数6>m(=2),所以,它是非基础解。
(2)将解一代入约束方程(3),见下
20+2*30+40+50+2*0+260=430(满足)
将解一代入约束方程(4),见下
4*20+2*40+3*50+6*0+550=860(不满足)
综上所述它是非可行解。
2、解二
(1)
1)因为非零分量个数2≤m(=2);(满足)
2)2个基变量(X6,X7)所对应的系数矩阵为:
即所对应的矩阵是非奇异的。
(满足)
3)将解二代入约束方程(3),见下
0+2*0+0+0+2*0+430=430(满足)
将解二代入约束方程(4),见下
4*0+2*0+3*0+6*0+1290=1290(满足)
综上所述,它是基础解。
(2)由于X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7均≥0,该解满足非负约束条件。
所以是基础可行解。
3、解三
(1)
1)因为非零分量个数2≤m(=2);(满足)
2)2个基变量(X3,X6)所对应的系数矩阵为:
即所对应的矩阵是非奇异的。
(满足)
3)将解三代入约束方程(3),见下
0+2*0+645+0+2*0-215=430(满足)
将解三代入约束方程(4),见下
4*0+2*645+3*0+6*0+0=1290(满足)
综上所述,它是基础解。
(2)由于X6=-215<0,该解不满足非负约束条件。
所以是基础非可行解。
4、解四
(1)
1)因为非零分量个数2≤m(=2);(满足)
2)2个基变量(X4,X5)所对应的系数矩阵为:
即所对应的矩阵是奇异的。
(不满足)
所以,它不是基础解。
(2)
1)将解四代入约束方程(3),见下
0+2*0+0+230+2*100+0=430(满足)
将解四代入约束方程(4),见下
4*0+2*0+3*230+6*100+0=1290(满足)
2)由于X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7均≥0,该解满足非负约束条件。
综上所述,它是可行解。
5、解五
(1)因为非零分量个数4>m(=2),所以,它是非基础解。
(2)
1)将解五代入约束方程(3),见下
300+2*70+0+0+2*0-10=430(满足)
将解五代入约束方程(4),见下
4*300+2*0+3*0+6*0+90=1290(满足)
2)由于X6=-10<0,该解不满足非负约束条件。
综上所述它是非可行解。
三、写出下列线性规划问题的对偶问题
Maxf(x)=2x1+3x2-5x3
x1+x2-x3+x4≥5
2x1 +x3 ≤4
x2+x3+x4=6
x1≤0,x2,x3≥0,x4不限
解:
对偶问题为:
Ming(y)=5y1+4y2+6y3
y1+2y2≤2
y1+y3≥3
y1--y2-y3≤5
y1+y3=0
y1≤0,y2≥0,y3正负不限。
四、有下列运输问题
B1
B2
B3
B4
ai
A1
A2
A3
3
1
7
11
9
4
3
3
10
18
8
5
7
4
9
bj
3
6
5
6
1)用表上作业法求解最优解;
解:
1、使用运费差额法求得初始方案,见下表4.1:
表4.1运费差额法求得的初始方案
初始解对应的总费用f(X)=2*3+1*1+6*4+5*3+3*8+3*5=85
2、用位势法对1的初始解进行检验:
(1)利用基变量的cij值计算出ui和vj的值,设u1=0,计算出ui和vj的值见表4.2。
表4.2
B1
B2
B3
B4
ui
A1
A2
A3
3
1
4
3
8
5
0
-2
-5
vj
3
9
3
10
(2)利用表4.2计算得到的ui和vj的值,按照公式zij=ui+vj计算所有的机会成本zij,填入表4.3。
表中非基变量各格划有斜线,斜线左上角表示相应的zij值,右下角表示运费单价cij;对于基变量,zij=cij,所以不用斜线区分。
表4.3(zij/cij)值及其检验
(3)计算非基变量各格中的zij-cij值,均≤0,所以该基础可行解为最优解。
2)用QSB软件求最优解,并打印计算结果。
解:
五、有如下任务分配问题
A
B
C
D
甲
2
15
13
14
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
1)用匈牙利法(清华算法)求解最优解;
解:
(1)匈牙利法(清华算法)求解如下:
(2)对应最优解的最终分配方案为:
甲->A、乙->B、丙->D、丁->C,其目标函数值为:
=2+4+13+11=30。
2)用QSB软件求最优解,并打印计算结果。
解:
运筹学作业2
一、某公司有4个推销员在全国三个不同市场里推销货物,这三个市场里推销员人数与收益的关系如下表。
试用动态规划方法确定市场推销员的最优分配方案,使总收益最大。
推销员
市场
0
1
2
3
4
1
2
3
20
40
50
32
50
60
47
60
72
57
71
84
66
82
97
解:
1.划分阶段
分成3个阶段,即K=3,并按逆向编号,市场3k=1,市场2k=2,市场1k=3。
分配推销员的优先顺序为:
市场1-市场2-市场3。
2.确定状态变量sk
状态变量sk表示第k阶段尚未分配的推销员数。
显然有s3=4,s2和s1的可能取值范围为0~4。
3.确定决策变量xk
决策变量xk表示分配给第k阶段市场的推销员数,显然有xk≤sk。
4.确定状态转移方程
状态转移方程为:
sk-1=sk-xk,即s2=s3-x3=4-x3。
5.确定直接效果函数dk(sk,xk)
dk(sk,xk)表示第k阶段初有推销员数sk,分配给第k市场xk个推销员时产生的直接收益,这些收益指标见题目中表格。
6.最优指标函数
由于三个市场的总收益等于三个市场的收益之和,即其指标函数为累加形式。
所以最优指标函数为:
fk(sk)=max{dk(sk,xk)+fk-1(sk-1)}k=1,2,3
xk
7.边界条件:
f0(s0)=0
8.各阶段计算过程如下:
第1阶段,s1=0,1,2,3,4
f1(s1)=max{d1(s1,x1)+f0(s0)}=max{d1(s1,x1)}
x1x1
f1(0)=max{d1(0,x1)}=d1(0,0)=50
x1≤0
f1
(1)=max{d1(1,x1)}=max{d1(1,0),d1(1,1)}=max{50,60}=60
x1≤1
f1
(2)=max{d1(2,x1)}=max{d1(2,0),d1(2,1),d1(2,2)}
x1≤2
=max{50,60,72}=72
f1(3)=max{d1(3,x1)}=max{d1(3,0),d1(3,1),d1(3,2),d1(3,3)}
x1≤3
=max{50,60,72,84}=84
f1(4)=max{d1(4,x1)}=max{d1(4,0),d1(4,1),d1(4,2),d1(4,3),d1(4,4)}
x1≤4
=max{50,60,72,84,97}=97
第2阶段,s2=0,1,2,3,4
f2(s2)=max{d2(s2,x2)+f1(s1)}
x2
f2(0)=max{d2(0,x2)+f1(0)}=d2(0,0)+f1(0)
x2
=40+50=90
f2
(1)=max{d2(1,x2)+f1(s1)}
x2
=max
{
d2(1,0)+f1
(1)
}
d2(1,1)+f1(0)
=max
{
40+60
}
50+50
=100
f2
(2)=max{d2(2,x2)+f1(s1)}
x2
=max
{
d2(2,0)+f1
(2)
}
d2(2,1)+f1
(1)
d2(2,2)+f1(0)
=max
{
40+72
}
50+60
60+50
=112
f2(3)=max{d2(3,x2)+f1(s1)}
x2
=max
{
d2(3,0)+f1(3)
}
d2(3,1)+f1
(2)
d2(3,2)+f1
(1)
d2(3,3)+f1(0)
=max
{
40+84
}
50+72
60+60
71+50
=124
f2(4)=max{d2(4,x2)+f1(s1)}
x2
=max
{
d2(4,0)+f1(4)
}
d2(4,1)+f1(3)
d2(4,2)+f1
(2)
d2(4,3)+f1
(1)
d2(4,4)+f1(0)
=max
{
40+97
}
50+84
60+72
71+60
82+50
=137
第3阶段,s3=4
f3(s3)=max{d3(s3,x3)+f2(s2)}
x3
f3(4)=max{d3(4,x3)+f2(s2)}
x3
=max
{
d3(4,0)+f2(4)
}
d3(4,1)+f2(3)
d3(4,2)+f2
(2)
d3(4,3)+f2
(1)
d3(4,4)+f2(0)
=max
{
20+137
}
32+124
47+112
57+100
66+90
=159
9.根据以上3个阶段的计算结果可知,使总收益最大的最优分配方案是:
1市场2个推销员,2市场0个推销员,3市场2个推销员,总收益为159单位。
二、
分别用标号法QSB软件求下图S到t的最短路径。
解:
标号法
根据上图的标号结果,采用反向追溯可确定始点S到终点t的最短路径为:
s-2-5-t,长度为31.
1.QSB软件
NetworkModeling-〉ShortestPathProblem
三、分别用标号法QSB软件求下图S到t的最大流。
图中弧边的数字为弧的容量。
解:
1.标号法
(1)确定一初始可行流,如图8.1中流为可行流f0={f0ij},流量为V(f0)=8;
图8.1确定一初始可行流
(2)标号寻找一条增广链,如图8.2。
图8.2标号寻找一条增广链
从图8.2可知,(s,3,5,6,t)为增广链,增广流量为1。
(3)增广过程,在图8.2中,对增广链(s,3,5,6,t)上弧进行增广,得到如图8.3的新可行流,流量为V(f1)=9。
图8.3标号寻找另一条增广链
在8.3中可行流基础上,重新寻找另一条增广链,如图可知,(s,3,5,t)为增广链,增广流量为7。
(4)增广过程,在图8.3中,对增广链(s,3,5,t)上弧进行增广,得到如图8.4的新可行流,流量为V(f2)=16。
图8.4标号寻找另一条增广链
在8.4中可行流基础上,重新寻找另一条增广链,如图可知,(s,2,5,t)为增广链,增广流量为3。
(5)增广过程,在图8.4中,对增广链(s,2,5,t)上弧进行增广,得到如图8.5的新可行流,流量为V(f3)=19。
图8.5标号寻找另一条增广链
在8.5中可行流基础上,重新寻找另一条增广链,如图可知,当标号进行到节点3时已无法进行下去,说明图8.5的可行流已不存在增广链,图8.5的可行流即为所求的最大流。
最大流的流量为V(f*)=19。
另外,从图8.7还可知,已标号节点为s,v2,v3,v4,v5和v6,,所以可得最小截集为(V,V’)={(v5,t),(v6,t)}。
2.QSB软件
NetworkModeling-〉MaximalFlowProblem
四、某自动交换台有4条外线,打外线的呼叫为泊松流,强度为2次/分钟,通话时长服从负指数分布,平均通话时长为2分钟。
当4条外线全忙时,用户呼叫接遇忙音。
假设用户遇忙音后立即停止呼叫。
问
1、用户拨外线遇忙的概率为多大?
2、损失的话务量为多大?
3、外线的利用率为多少?
4、过负荷为100%时,外线的利用率为多少?
解:
根据题意分析,这是一个M/M/4的损失制无限源系统,且
n=4
λ=2次/分钟
1/μ=2分钟/次
ρ=λ/μ=2*2=4Erl
1、用户拨外线遇忙,即4条外线均被占用的概率为:
=0.311
2、当4条外线全忙时,损失率为:
B=E4(4)=P4=0.311
损失的话务量为:
ρL=B*ρ=0.311*4=1.244Erl
3、外线的利用率
=0.689
4、过负荷为100%时,外线的利用率
α=(ρ'-ρ)/ρ
ρ'=(1+α)*ρ=(1+1)*ρ=2*ρ=2*4=8Erl
=0.5746
=0.851
四、《决策分析》P179第1题。
1、某工厂需要10000个电源变压器。
其来源可能有两种选择,一种是用设备费11500元及每个化每个成本15元进行制造;另一种是以每个18元的价格购买成品。
外购成品可保证全部是正品,而自行制造则有一定次品,次品率的分布如下:
次品率
0
0.1
0.2
0.3
0.4
概率
0.15
0.25
0.2
0.25
0.15
若次品被组装后,在检验时发现,则每件需化费12元的修理费,问该厂应如何决策?
两种决策方案效果的差别是多少?
解:
设方案1为a1:
自行制造,方案2为a2:
购买成品;θ为自行制造的平均次品率.则
θ=0*0.15+0.1*0.25+0.2*0.2+.3*0.25+0.4*0.15=0.2
U(a1)=11500+10000*15+10000*θ*12=161500+10000*0.2*12=185500(元)
U(a2)=10000*18=180000(元)
U(a2)
购买成品。
两种决策方案效果的差别是:
U(a1)-U(a2)=185500-180000=5500元。
五、《决策分析》P184第1,2题
1、有一小型工程,共有7个作业,它们之间的先后关系用节点号表示下表所示:
节点编号
作业代号
紧前作业
作业需要时间
A
--
2
B
--
4
C
--
5
D
B
1
E
A,C
1
F
A,C
3
G
E,B
7
1)绘制网络图;2)求关键路线及其工期。
解:
1)网络图如图9.1所示。
图9.1网络图
2)在图9.1上利用节点标号法,如图9.2所示。
图9.2
关键路线为
,路长即工期为13天。
2、设某工程网络图如下图所示,图中,每一作业旁边用“-”联结的3个数字分别表示该作业的最乐观、最可能和最悲观的作业完成时间。
1、
试求各作业的平均作业时间和方差;
2、根据每个作业的平均作业时间求该工程的关键路线及其工期;
3、试计算该工程在40天完成的概率;
4、如果完成的概率要求达到98%,则工程的工期应规定为多少天?
解:
1、各作业的平均作业时间和方差分别为:
t12=(4+4*6+14)/6=7,12=(14-4)/6=5/3
t13=(3+4*13+23)/6=13,13=(23-3)/6=10/3
t24=(5+4*7+15)/6=8,24=(15-5)/6=5/3
t34=(6+4*16+32)/6=17,34=(32-6)/6=13/3
t35=(2+4*6+10)/6=6,35=(10-2)/6=4/3
t45=(1+4*5+9)/6=5,12=(9-1)/6=4/3
2、在题中网络图上利用节点标号法,如图10.1所示。
图10.1
关键路线为:
1345。
工期为35天,即tm=35。
3、工程在40天完成的概率
因为,c2=(10/3)2+(13/3)2+(4/3)2=31.667
c=√c2=√31.667=5.627
当T=40天时,
z=(T-tm)/c=(40-35)/5.627=0.8886
查正态分布表可得
P(Z≤0.8886)=0.8133
所以工程在40天完成的概率为0.8133
4、如果完成的概率要求达到98%,即P(Z≤z)=0.98时,查正态分布表可得z=2.05,所以
T=z*c+tm=2.05*5.627+35=46.535
则工程的工期应规定为46.535天。
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