学年常州市高三上学期期末考试数学.docx
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学年常州市高三上学期期末考试数学
2019届高三模拟考试试卷(八)
数
学(满分160
分,考试时间120
分钟)
2019.1
一、填空题:
本大题共
14小题,每小题
5分,共70分.
1.
已知集合A={0,1},B={-1,1},则A∩B=
W.
2.
已知复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则复数z=
W.
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4,且这5个分数的平均
数为
9.3,则实数x=W.
值为
4.一个算法的伪代码如右图所示,执行此算法,若输出
W.
y的值为
1,则输入的实数
x的
Readx
Ifx≥1Then
2
y←x-2x-2
Else
y←x+1
x-1
EndIf
Printy
(第
4题)
5.函数y=1-lnx的定义域为
W.
6.某校开设5门不同的选修课程,其中
3门理科类和
2门文科类,某同学从中选修
2门
课程,则该同学恰好选中1文1理的概率为
W.
x2
y2
7.已知双曲线
C:
a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为
2,直线
x+y+2=0经过双曲线
C的
焦点,则双曲线
C的渐近线方程为
W.
(第
8题)
8.已知圆锥SO,过SO的中点圆柱的下底面落在圆锥的底面上
P作平行于圆锥底面的截面,以截面为上底面作圆柱PO,(如图),则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为
W.
y
1x
9.已知正数x,y满足x+x=1,则x+y的最小值为
W.
10.若直线kx-y-k=0与曲线y=ex(e是自然对数的底数)相切,则实数k=
W.
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,点(1,0)是函数y=f(x)图象的对
称中心,则ω最小值为
W.
12.已知平面内不共线的三点
→
→
O,A,B,满足|OA|=1,|OB|=2,点C为线段AB的中点,
∠AOB的平分线交线段
→
→
W.
AB于点D.若|OC|=
3,则|OD|=
2
13.过原点的直线
l与圆x2+y2=1交于P,Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,
以AQ为直径的圆与直线
l有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1,那
么直线l的方程为
W.
14.若数列{an},{bn}满足bn=an+1+(-1)nan(n∈N*),且数列{bn}的前n项和为n2.已知
数列{an-n}的前2018项和为1,则数列{an}的首项a1=W.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别是棱AB,CC1的中点.求证:
(1)CM∥平面AB1N;
(2)平面A1BN⊥平面AA1B1B.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,a,b,c分别为三个内角
A,B,C的对边,且b2-2
3
bcsinA+c2=a2.
3
(1)求角A的大小;
(2)若tanBtanC=3,且a=2,求△ABC的周长.
17.(本小题满分
14分)
x2
y2
y2
x2
在平面直角坐标系
xOy中,椭圆
C1:
a2
+b2=1的焦点在椭圆
C2:
a2+b2=1上,其中
6
6
)是椭圆C1,C2
位于第一象限的交点.
a>b>0,且点(3,
3
(1)
求椭圆C1,C2的标准方程;
(2)
过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切,与椭圆
→3→
C1交于点A,B,已知PA=PB,
5
求直线l的斜率.
18.(本小题满分16分)
某公园要设计如图①所示的景观窗格
(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个
全等的三角形所得,如图②所示的多边形
ABCDEFGH),整体设计方案要求:
内部井字形的
两根水平横轴AF=BE=1.6
m,两根竖轴CH=DG=1.2
m,记景观窗格的外框(图②实线部
分,轴和边框的粗细忽略不计
)总长度为lm.
(1)
2π,且两根横轴之间的距离为
0.6m,求景观窗格的外框总长度;
若∠ABC=3
(2)
由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过
5m,当景观窗格的面积(多边形
ABCDEFGH的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中∠
ABC的大小与BC的长度.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}中,a1=1,且an+1+3an+4=0,n∈N*.
(1)求证:
{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列?
若存在,
求满足条件的项;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知函数m(x)=x2,函数n(x)=alnx+1(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=n(x)在点(1,n
(1))处的切线方程;
(2)
若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点,求实数
a的取值范围;
(3)
若函数g(x)=n(x)-1+ex-ex≥0对x∈[1,+∞)恒成立,求实数
a的取值范围.(e是
自然对数的底数,e≈2.71828⋯)
2019届高三模拟考试试卷(八)
数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】
在A,B,C
三小题中只能选做
2题,每小题
10分,共
20分.若多做,
则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
A.(选修42:
矩阵与变换)
.
1x
已知点
(1,2)在矩阵
A=
对应的变换作用下得到点
(7,6).求:
2y
(1)矩阵A;
(2)矩阵A的特征值及对应的特征向量.
B.(选修44:
坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系
xOy中,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系
.直线
2
x=1+
2t,
π
l的参数方程为
1
(t为参数),曲线C的极坐标方程为
ρ=22sin(θ+4),求直线
y=2t
l被曲线C所截的弦长.
C.(选修45:
不等式选讲)
已知a>0,b>0,求证:
a+b+1≥ab+a+b.
【必做题】
第22,23
题,每小题
10分,共
20分.解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤
.
22.如图,在空间直角坐标系
C,A分别在x轴和y轴上,且
Oxyz中,已知正四棱锥PABCD
AB=2,点M是棱PC的中点.
的高
OP=2,点
B,D
和
(1)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值;
(2)求二面角APBC的余弦值.
23.是否存在实数
a,b,c,使得等式1·3·5+2·4·6+⋯+n(n+2)(n+4)=n(n+1)
(an2
4
+bn+c)对于一切正整数
n都成立?
若存在,求出
a,b,c的值;若不存在,请说明理由.
2019届高三模拟考试试卷(八)(常州)
数学参考答案及评分标准
3
3
2
π
1.{1}2.-i3.9.54.35.(0,e]
6.5
7.y=±3x
8.
8
9.410.e
11.2
2
12.3
13.y=±3x14.32
15.证明:
(1)令AB1交A1B于点O,连结OM,ON,在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1∥CC1,BB1=CC1,且四边形AA1B1B是平行四边形,所以O为AB1的中点.
1
因为M为AB的中点,所以OM∥BB1,且OM=2BB1.
因为N为CC1的中点,CN=12CC1,
所以OM=CN,且OM∥CN,所以四边形CMON是平行四边形,(5分)
所以CM∥ON.
又ON?
平面AB1N,CM?
平面AB1N,所以CM∥平面AB1N.(7分)
(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CM?
平面ABC,所以BB1⊥CM.(9分)
又CA=CB,M为AB的中点,所以CM⊥AB.
又由
(1)知CM∥ON,所以ON⊥AB,ON⊥BB1.
因为AB∩BB1=B,AB,BB1?
平面AA1B1B,所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)
又ON?
平面A1BN,所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16.
解:
(1)
由余弦定理得
2
2
2
2
-
2
3
2
2
a
=b-2bccosA+c,又b
3
bcsinA+c=a
,
2
2
2
2
3
2
2
3
所以b-2bccosA+c=b-
3
bcsinA+c,即2bccosA=
3
bcsinA.(3分)
2
2
从而sinA=3cosA,若cosA=0,则sinA=0,与sin
A+cosA=1矛盾,所以cosA≠
π
0,所以tanA=
3.又A∈(0,π),所以A=3
.(7分)
(2)
tanB+tanC=tan(B+C)=tan(π-A)=tan2π=-
3.(9分)
1-tanBtanC
3
又tanBtanC=3,所以tanB+tanC=-
3×(-2)=2
3,解得tanB=tanC=
3.(11分)
又B,C∈(0,π),所以B=C=π
π,所以△ABC是正三角形.
3.因为A=3
由a=2得△ABC的周长为6.(14分)
x2
y2
c2
17.
解:
(1)
椭圆C1:
a2+b2=1的焦点坐标为
(±c,0),代入椭圆C2的方程得b2=1,
点(
6
6
C1,C2的方程得
C1:
2
2
3,
3)的坐标代入椭圆
3a2+3b2=1,
2
c
b2=1,
所以a2=b2+c2,解得a2=2,b2=c2=1.(3分)
2
2
3a2+
3b2=1,
所以椭圆C1,C2的标准方程分别为x2
+y2=1,y2
+x2=1.(5分)
2
2
(2)由题意知直线
l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,
m),
y2
2
(kx+m)
2
2
2
+x
=1,
+x2=1,即(1+k)x2+kmx+m-1=0,
联立2
消去y得
2
2
2
y=kx+m,
22
=k2m2-4(1+k)(m-1)=0,即k2+2-m2=0.(7分)22
2
x+y2=1,
2
联立2
消去y得x
+(kx+m)2=1,即(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0.
y=kx+m,
2
2
因为直线l与椭圆C1相交,有
=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(k2-1m2+1)>0
(*),
2
2
2
-2km±
4(k2-1
m2+1)
x1,2=
2
2
.(9分)
1+k2)
2(2
→
3→
3
因为PA=
5PA,即(x1,y1-m)=5(x2,y2-m),有5x1=3x2,所以
-2km+
4(k2-1m2+1)
-2km-
4(k2-1
m2+1)
5
2
2
=3
2
2
1+k2)
1+k2)
2(2
2(2
-2km-
2
1
2
1
-2km+
2
1
2
1
4(k
-m
+)
4(k
-m
+)
或5
2
2
=3
2
2
1+k2)
1+k2)
,
2(
2(2
2
化简得km=4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
).(12分)
k-m
+或km=-4k
-m+
,即k
m=16(k
-
m+
2
2
2
2
2
2
因为k2+2-m2=0,解得
k2=2,
k2=4,
m2=4
或
符合(*)式,
m2=6,
所以直线l的斜率为±2或±2.(14分)
18.解:
(1)记CH与AF,BE的交点为M,N,
在△BCN中,由∠ABC=
2π
π
,其中CN=HM=1
(1.2-0.6)=0.3(m),
可得∠CBN=
3
6
2
所以BC=
CN
=
0.3
=3(m),BN=
CN
=0.3=33
(m).(2分)
sin∠CBN
π
5
tan∠CBN
π
10
sin6
tan6
所以CD=BE-2BN=1.6-3
3=8-3
3,则
5
5
AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC=1.2+
16-6
3+12=
5
5
34-63
5
(m).(5分)
答:
景观窗格的外框总长度为
34-6
3
5
(m).(6分)
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC≤5,
设∠CBN=α,α∈(0,π
2),BC=r,则CN=rsinα,BN=rcosα,
所以AB=CH-2CN=1.2-2rsin
α,CD=BE-2BN=1.6-2rcosα,
所以2(1.2-2rsin
α)+2(1.6-2rcos
α)+4r≤5,即4r(sin
α+cosα-1)≥
3
.(8分)
5
设景观窗格的面积为
S,有
S=1.2×1.6-2r2sin
αcosα≤48-
25
9sinαcosα
3
200(sinα+cos
α-1)2[当且仅当
4r(sinα+cosα-1)=5时取等号].(9分)
令t=sinα+cos
α∈(1,
2],则sin
αcosα=
t2-1
2.
t2-1
所以S≤48-
9
2
2=48-
9
(1+
2),其中1+2
≥1+
2
(当且仅当t=
2,
25
200(t-1)
25
400
t-1
t-1
2-1
π
即α=4时取等号).(12分)
所以S≤48-9
2
48-9
2
48-9
741-92,
25400(1+t-1)≤25
400(1+
2-1
)=25
400(3+2
2)=400200
即S≤
74192
3
π
时,取等号],
400-
200[当且
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