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三角函数
【思考1】60o角、740o角、-135o角、-510o角,分别在哪一象限?
【思考2】在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条边与这个角相对应吗?
反之,在直角坐标系中,给定一条终边,就有唯一一个角与之相对应吗?
为什么?
【探索——终边相同角的表示】
阅读课本第4页上端内容,将课文补充完整,并回答下面的问题:
1、在直角坐标系中标出210°,-150°,570o角的终边,你有什么发现?
它们之间有何数量关系?
2、所有与角α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个集合表示出来?
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成_________________________________。
【合作探究——终边相同角的应用】
1、阅读课本例题1至例题3,你有何不明白的地方?
小组讨论解决。
例题1课本第5页,练习4
例题2,写出终边在x轴负半轴上的角的集合;写出终边在坐标轴上的角的集合。
例题3,课本练习5
拓展练习
1.若角α与β终边相同,则一定有()
A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k·360°(k∈Z)D.α+β=k·360°(k∈Z)
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于()
A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}
3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是()
A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)
4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是()
A.Z
YB.Z
YC.Z=YD.Z与Y之间的关系不确定
5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与
角的终边相同的角是____.
6.若集合A={α|k·180°+30°<α k∈Z},求A∩B. 7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合. 1.1.2弧度制 学习目标 1、知道弧度的意义,掌握弧度与角度的换算公式 2、掌握弧长计算公式与扇形面积公式,并能运用公式解决一些简单问题 【重点、难点】弧度与角度的换算 【知识链接】: 终边相同角的表示、角度制 学习过程 【探索——弧度制的定义】 阅读课本第6页,回答下面的问题: 1、在角度制中,1度等于圆周角的__________ 2、把长度等于__________________所对的___________叫做__________,用符号_________表示,读作________,我们把这样度量角的单位制叫做弧度制。 【探索——弧度制与角度制的换算】 1、阅读第6页探究,根据弧度制的定义,将表格补充完整,小组讨论解决,说说你发现的规律。 2、怎样理解“一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径的大小无关。 ”这句话? 2、一般的,正角的弧度数是一个______;负角的弧度数是一个_______;零角的弧度数是_____。 如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么,角α的弧度数的绝对值是? 3、用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也_________。 例如: 360o=rad 180o=rad(根据该等式,你能推导出什么结论? ) 例题1把 (1)36o (2)-150o(3)1095o(4)22o30'(5)52o15'化成弧度,并写出与 (1) (2)终边相同角的集合,注意做题格式 例题2,把 与 化成度 例题3,用公式 证明扇形面积公式 拓展练习 1、将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈[0,2π))的形式,并指出它们所在的象限: ①— ;② 2.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是() A. B. C.1D.π 3.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则() A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 4.下列表示的为终边相同的角的是() A.kπ+ 与2kπ+ (k∈Z)B. 与kπ+ (k∈Z) C.kπ- 与kπ+ (k∈Z)D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z) 5.已知0<θ<2π,7θ角的终边与θ角的终边重合,则θ=________________. 6.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形的中心角的弧度数. 7.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图4所示). 1.2.1任意角的三角函数(第1课时) 学习目标 1、借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。 2、知道三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域。 3、知道正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。 4、通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等。 【重点难点】: 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等。 难点: 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号; 学习过程 【探索——用坐标系中角的终边上点的坐标来表锐角三角函数】 问题①: 在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②: 根据下图,设线段OP的长度为r,你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? sinα= cosα= tanα= 特别的,当r=1时: sinα=cosα=tanα= 问题③: 在引进弧度制是,我们知道, ,当圆的半径为1时, 由谁决定? 问题④: 什么是单位圆? 问题⑤: 上述P点就是_________与___________的交点;因此,锐角三角函数可以用______________________表示。 同样的,我们可以利用单位圆定义___________ 【探索——任意角的三角函数】 根据右图,回答下面问题: (1)y叫做记作即 (2)x叫做记作即 (3) 叫做记作即 当 时,α的终边在__________,此时___________无意义。 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以_________________或坐标的比值为函数值的__________,我们把它们统称为____________。 例1、求 与 的正弦、余弦、正切值 例2、已知α的终边经过点P(-6,8),求α的正弦、余弦和正切值。 【探索——三角函数的定义域及各象限函数值的符号】 三角函数 定义域 sinα cosα tanα 例3、求证: 当不等式组 成立时,角θ为第四象限角。 由三角函数的定义,我们可以知道: 终边相同角的____________________________相等。 公式一: 利用公式一,我们可以把求任意角的三角函数值,转化为求_____________角的三角函数值。 例题4确定下列三角函数值的符号: (1)sin156o (2)cos(-450o)(3) (4) (5) 例5求下列三角函数值: (1)sin390° (2)cos (3)tan(-330°) 角α 0度 90度 180度 270度 360度 角α的弧度数 sinα cosα tanα 例题6求下列函数的定义域: (1)y=sinx+cosx (2)y=sinx+tanx(3)y= +tanx 拓展练习 1.若 <θ< 则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是() A.tanθ C.cosθ 2.若0<α<2π,则使sinα< 和cosα> 同时成立的α的取值范围是() A.( )B.(0, )C.( 2π)D.(0, )∪( 2π) 3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______. 4.已知点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα. 1.2.1任意角的三角函数(第2课时) 学习目标 1、认识正弦线、余弦线、正切线 2、已知一个角能作出该角的正弦线、余弦线和正切线。 【重点、难点】: 三角函数线的理解 学习过程 上一节,我们借助于单位圆,用单位圆上点的坐标或者坐标的比值来定义三角函数,那么,我们能从图形的角度,用其它方法来表示三角函数吗? 【探索——三角函数的几何表示】 问题1: 回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢? 什么是有向线段? 请在单位圆上,作出角α的正弦线、余弦线、正切线。 y x 归纳小结: 例1、如右图α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则 sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________ sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________. 拓展练习 1、利用单位圆和三角函数线证明: 若α为锐角,则 (1)sinα+cosα>1; (2)sin2α+cos2α=1. 1.若 <θ< 则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是() A.tanθ C.cosθ 2.若0<α<2π,则使sinα< 和cosα> 同时成立的α的取值范围是() A.( )B.(0, )C.( 2π)D.(0, )∪( 2π) 3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______. 4.如图14,点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα. 1.2.2同角三角函数的基本关系 学习目标 1、会用三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明; 2、同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用: (1)求值(知一求二); (2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式。 3、明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明。 【重点难点】: 1、课本的三个公式的推导及应用;2、课本的三个公式的推导及应用。 学习过程 【探索——同角三角函数的基本关系】 1、计算,你有何发现? (1)sin290°+cos290°; (2)sin230°+cos230°;(3) (4)tan60o 2、根据三角函数的定义,你能证明出上述结论吗? 例1 (1)已知sinα= 并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值. (2)已知cosα= 求sinα,tanα的值. 例题2、化简 (1) ; (2) (3) (4)(1+tan2α)cos2α; 例题3、证明 拓展练习 1.如果sinx+cosx= 且0 A. B. 或 C. D. 或 2.若sinθ-cosθ= 则sinθ·cosθ=_______,tanθ+ =_______, sin3θ-cos3θ=________,sin4θ+cos4θ=_________. 3.已知tanα= 求下列各式的值: (1) (2)2sin2α+sinα·cosα-3cos2α. 4.已知tan2α=2tan2β+1,求证: sin2β+1=2sin2α. 1.3三角函数的诱导公式 学习目标: 1、知道诱导公式的推导过程;提高逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想。 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用。 【重点难点】: 1、二~六诱导公式的推导和灵活运用;三角函数式的求值、化简和证明等。 学习过程 【探索——三角函数诱导公式的推导过程】 问题1 ①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? P1与P2的坐标有何关系? (图形表示): ③任意角α与180°+α呢? 公式二: 问题2 ①-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 图形表示: ②终边与单位圆交点的坐标有何关系? 由此你能得出什么结论? 公式三: 问题3 ①π-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 图形表示: ②终边与单位圆交点的坐标有何关系? 由此你能得出什么结论? 公式四: 综上,你能概括一下上述三个诱导公式吗? 怎样理解“前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”这句话? 通过上述公式,任意角的三角函数都可以转化为_________角三角函数来计算。 例题1、求下列各式的值: (1)sin( π). (2) (3)化简: 例题2、求证 问题4 ①终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系? 图形表示: ②角α与角 的终边与单位圆交点的坐标有何关系? 公式五: 问题5 你能否用前面所学的公式推导出公式六呢? 公式六: 例题1、证明: (1) (2) 例题2、化简
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