中考数学专题练习切线的判定和性质.docx
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中考数学专题练习切线的判定和性质
2021年中考数学专题练习:
切线的判定和性质
1.下列说法中,正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
2.如图2,P是⊙O外一点,OP交⊙O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线,其作法如下:
甲:
以点A为圆心,AP长为半径画弧,交⊙O于点B,则直线BP即为所求.
乙:
过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP长为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交⊙O于点C,直线CP即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )
图2
A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误
C.两人都正确D.两人都错误
3.如图,AB是⊙O的直径,MN是⊙O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为( )
A.76°B.56°C.54°D.52°
4.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )
A.27°B.32°C.36°D.54°
5.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交BO的延长线于点P,则∠P的度数为( )
A.32°B.31°C.29°D.61°
6.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与图中7×4方格中的格点相连,连线能够与该圆弧相切的格点有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
7.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值为( )
A.5B.4
C.4.75D.4.8
8.如图,一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为( )
A.4cmB.3cmC.2cmD.1.5cm
9.如图3,AB为⊙O的直径,圆周角∠ABC=40°,当∠BCD=________°时,CD为⊙O的切线.
图3
10.如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,要使DE是⊙O的切线,则图中的线段应满足的条件是____________.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB.P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长的最大值为________.
12.如图在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的⊙O与BC边相切于点E,则⊙O的半径为________.
13.如图,⊙M的圆心在一次函数y=
x+2的图象上运动,半径为1.当⊙M与y轴相切时,点M的坐标为__________.
14.如图所示,在半圆O中,AB是直径,D是半圆O上一点,C是
的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,有下列结论:
①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心.其中正确的结论是________(只需填写序号).
15.如图5,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.求证:
直线PB与⊙O相切.
图5
16.如图6所示,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平分∠ABD.
求证:
CD为⊙O的切线.
图6
17.如图7,⊙O的直径AB=10cm,弦BC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,交AB于点E,P是AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)求AC,AD的长.
图7
18.已知:
AB是⊙O的直径,点P在
上(不与点A,B重合),把△AOP沿OP折叠,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当点P,C都在AB上方时(如图①),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当点P在AB上方而点C在AB下方时(如图②),
(1)中的结论还成立吗?
证明你的结论;
(3)当点P,C都在AB上方时(如图③),过点C作CD⊥直线AP于点D,且CD是⊙O的切线,求证:
AB=4PD.
19.如图,已知PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=80°,C为⊙O上一点.
(1)如图①,求∠ACB的大小;
(2)如图②,AE为⊙O的直径,AE与BC相交于点D.若AB=AD,求∠EAC的大小.
20.如图①,直线PA交⊙O于A,E两点,PA的垂线CD切⊙O于点C,交PA于点D,过点A作⊙O的直径AB.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)如图②,将直线CD向下平行移动,得到CD与⊙O相切于点C,AC还平分∠DAB吗?
请说明理由.
解题突破(20题)
在动态情况下,探究结论是否发生变化,主要看使结论成立的主要条件是否改变.比如本题中虽然图形发生变化,但AD和OC平行,△AOC是等腰三角形这两个主要条件没有改变,因此结论不发生变化.
21.如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点C在⊙O的半径OA上运动,PC⊥AB,垂足为C,PC=5,PT为⊙O的切线,切点为T.
(1)如图①,当点C运动到点O时,求PT的长;
(2)如图②,当点C运动到点A时,连接PO,BT,求证:
PO∥BT;
(3)如图③,设PT2=y,AC=x,求y与x之间的函数解析式及y的最小值.
答案
1.B
2.C
3.A .
4.A
5.A
6.C
7.D
8.B
9.50
10.BD=CD或AB=AC(答案不唯一)
11.16
12.
13.(1,
)或(-1,
)
14.②③
15.证明:
如图,连接OC,过点O作OD⊥PB于点D.
∵⊙O与PA相切于点C,
∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上,OC⊥PA,OD⊥PB,
∴OD=OC,∴直线PB与⊙O相切.
16.证明:
连接OC.∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD为⊙O的切线.
17.解:
(1)证明:
连接OC,如图所示.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵PC=PE,
∴∠PCE=∠PEC.
∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°,
而∠EAC=90°-∠ABC,∠ABC=∠OCB,
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-(∠OCE+45°)+45°,
∴∠OCE+∠PCE=90°,
即∠PCO=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC为⊙O的切线.
(2)连接BD,如图所示.
在Rt△ACB中,AB=10cm,BC=6cm,
∴AC=
=
=8(cm).
∵∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴AD=
AB=5
(cm).
18.解:
(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC.
(2)
(1)中的结论仍成立.
证明:
由折叠的性质可知△APO≌△CPO,
∴∠APO=∠CPO.
又∵OA=OP,
∴∠A=∠APO,
∴∠A=∠CPO.
又∵∠A与∠PCB都为
所对的圆周角,
∴∠A=∠PCB,∴∠CPO=∠PCB,
∴PO∥BC.
(3)证明:
∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD,∴OC∥AD,
∴∠APO=∠COP.
由折叠的性质可得∠AOP=∠COP,
∴∠APO=∠AOP.
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO,
∴∠A=∠APO=∠AOP,
∴△APO为等边三角形,∴∠AOP=60°,
∴∠COP=60°.
又∵OP=OC,
∴△POC也为等边三角形,
∴∠PCO=60°,PC=OP=OC.
∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°,
∴在Rt△PCD中,PD=
PC.
又∵PC=OP=
AB,
∴PD=
AB,即AB=4PD.
19.解:
(1)如图①,连接OA,OB,
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°.
由圆周角定理,得∠ACB=
∠AOB=50°.
(2)如图②,连接CE.
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ACE=90°.
∵∠ACB=50°,
∴∠BCE=90°-50°=40°,
∴∠BAE=∠BCE=40°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=70°,
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°.
20.解:
(1)证明:
连接OC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵CD切⊙O于点C,∴CD⊥OC.
又∵CD⊥PA,∴OC∥PA,∴∠PAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠PAC,即AC平分∠DAB.
(2)AC还平分∠DAB.理由:
连接OC.
∵CD切⊙O于点C,∴CD⊥OC.
又∵AD⊥CD,∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC.
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,
即AC平分∠DAB.
21.解:
(1)连接OT.
∵PT为⊙O的切线,∴OT⊥PT,
∴在Rt△PTO中,PT=
=3.
(2)证明:
连接AT,OT.
∵PT为⊙O的切线,
∴PT⊥OT,
∴∠PTO=90°=∠PAO.
在Rt△PAO和Rt△PTO中,
∵PO=PO,OA=OT,
∴Rt△PAO≌Rt△PTO,
∴PA=PT,∠APO=∠TPO,∴PO⊥AT.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ATB是直角,即BT⊥AT,∴PO∥BT.
(3)连接PO,OT.
∵PT为⊙O的切线,∴PT⊥OT.
∵AC=x,∴CO=OA-AC=4-x.
在Rt△PCO中,PO2=PC2+CO2=52+(4-x)2.
在Rt△POT中,PO2=PT2+OT2=PT2+42,
∴PT2+42=52+(4-x)2,
即y+42=52+(4-x)2,
∴y=9+(4-x)2=x2-8x+25=(x-4)2+9(0≤x≤4),
∴当x=4时,y有最小值9.
∴y与x之间的函数解析式为y=x2-8x+25(0≤x≤4),y的最小值是9.
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- 中考 数学 专题 练习 切线 判定 性质