数学分析公式定理111章.docx

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数学分析公式定理111章

第一章变量与函数

§1函数的概念

一变量变量、常量、实数性质、区间表示

二函数1.定义1设X,YR,如果存在对应法则f,使对xX,存在唯一的一个数yY与之对应，则称f是定义在数集X上的函数，记作f:

XY（x|y）.也记作x|f（x）。

习惯上称x自变量，y为因变量。

函数f在点x的函数值，记为f（x）,全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f（X）

f（X）y|yf（x）,xX。

2•注

（1）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

例：

1）f（x）1,xR,g（x）1,xR0.（不相同，对应法则相同，定义域不同）

2）（x）|x|,xR,（x）x2,xR.（相同，对应法则的表达形式不同）

（2）函数的记号中的定义域d可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数。

即“函数yf（x）”或“函数f

（3）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aD，f（a）称为映射f下a的象。

a称为f（a）的原

象。

3.函数的表示方法1主要方法：

解析法（分式法）、列表法和图象法。

2可用“特殊方法”来表示的函数。

分段函数：

在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

1,x0

例：

sgnx0,x0，（符号函数）

1,x0

用语言叙述的函数。

例：

1）y[x]（x的最大整数部分）

2）D（x）

1,当x为有理数，

（Dirichlet）

0,当x为无理数，

三函数的一些几何特性1、单调函数定义2设f为定义在X上的函数，x1,x2X,x1x2,

（1）若

f（xi）f（x2），则称f为X上的增函数；若f（x-i）f（x2），则称f为X上的严格增函数。

（2）若

f（xOf（X2），则称f为X上的减函数；若f（xjf（X2），则称f为X上的严格减函数。

例：

证明：

yx3在（，）上是严格增函数。

例：

讨论函数y[x]在R上的单调性。

注：

单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称

2、奇函数和偶函数定义3设X为对称于原点的数集，f为定义在X上的函数。

若对每一个XX，有

（1）

f（x）f（x），则称f为D上的奇函数；

（2）f（x）f（x），则称f为X上的偶函数。

注：

（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；

（2）奇偶性的前提是定义域对称；

奇函数

（3）从奇偶性角度对函数分类：

偶函数。

非奇非偶函数

既奇又偶函数

3、周期函数定义4.设f为定义在数集X上的函数，若存在T0，使得对一切x€X有f（XT）f（x），则称f为周期函数，T称为f的一个周期。

注：

（1）若T是f的周期，贝UnT（nN）也是f的周期，所以周期不唯一。

（2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如：

yC（c为常数），任何正数都是它的周期。

§2复合函数和反函数

一复合函数1

•引言先考察一个例子。

例:

质量为

m的物体自由下落，速度为

v,则功率E为

12Emv

122

12

1

22

2E

mgt.我们得到两个函数

f（v）

mv,v

gt，把v代入f，即得

f（v）

mgt.

2

2

2

vgt

这样得到的函数称为

“复合函数”。

2.定义（复合函数

）设有两个函数y（u）,u

U,u

f（x）,x

X，若f（X）U内,

则对每-

一个

xX，

通过f对应U内唯一一个值u，而u又通过对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在X上的函数，它以x为

自变量，y因变量，记作y（f（x））,xX。

这种函数成为复合函数。

注：

两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。

3.例子讨论函数yf（u）\u,u[0,）与函数ug（x）.1x3,xR能否进行复合。

4说明不仅要会复合，更要会分解

例:

ysinu,u

\v,v1x

3fysin1

x3,x[1,1].

y

2sin2xy

2u,uv2,v

sinx.

、

反函数1、

反函数概念

|:

设函数

y

f（x）,x

X。

满足：

对于值域f（X）中的每一个值y，X中有

且只有一个值x，使得f（x）y，则按此对应法则得到一个定义在f（X）上的函数，称这个函数为f的反函数,

记作xf1（y）,yf（X）.

2注：

a）并不是任何函数都有反函数；

b）函数f与f1互为反函数，并有：

f1（f（x））x,xX,f（f1（x））y,yf（X）.

则函数f的反函数f1通常记为yf1（x）,xf（X）.

定理•设yf（x）,xX为严格增（减）函数，则f必有反函数f1，且f1在其定义域f（X）上也是严格增（减）函数。

§3基本初等函数

一初等函数1..基本初等函数（7类）：

常量函数yC（C为常数）；幕函数yx（R）；指

数函数y

（a0,a1）；对数函数

ylogax（a

0,a1）;

三角函数

反三角函数

yarcsinx,yarccosx,yartanx,y

arccotx。

双曲函数

xx

shx，chx

2

xxx

ee斗e

2，thx—

2e

x

N，cthxe

xx

ee

xx

ee

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx；

2•初等函数定义3•由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数

sin晶1如：

y2sinxcos3x,ylogax4,y|x|.

x

不是初等函数的函数，称为非初等函数。

如

Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数。

例：

求函数yln|sinx|表为基本初等函数的复合。

第二章极限与连续

§24数列的极限与无穷大量

一、数列极限的定义1数列的定义定义：

若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称f:

NR为

数列。

注:

记f（n）an，则数列f（n）就可写作为：

a1,a2,L,an丄，简记为an。

例:

11111111

（1）—:

1,一，—，一丄；

（2）1-:

2,1-,1-,1—丄（3）n2:

1,4,9,16,25,L

n234n435

2、数列极限

（1）.弓|言容易看岀，数列4?

的通项+随着n的无限增大而无限地接近于零。

一般地说,^2、、^2'

对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极

限。

不具有这种特性的数列就称为发散数列。

1

据此可以说，数列—是收敛数列，0是它的极限。

数列n2,1

（1）n1都是发散的数列。

2

需要提岀的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说明如何用数学语言把它精确地定义下来。

还有待进一步分析。

以1-为例，可观察出该数列具以下特性：

随着

n

1

n的无限增大，an1-无限地接近于1随着n的无限增

n

111

大，1与1的距离无限减少随着n的无限增大，|11|无限减少|11|会任意小，只要n充分大。

nnn

1

数n,当nN时，有|11|

n

1

此即1以1为极限的精确定义，记作

n

lim1-

（2）.数列极限的定义定义1设

为数列，a为实数,若对任给的正数

总存在正整数N，使得当

nN时有|ana|

则称数列an收敛于a,a称为数列an的极限，并记作limana或ana（n

n

）.

若数列an没有极限，则称an不收敛，或称

an为发散数列

如：

要使

|111|0.1，只要n10即可；

要使|1

1

-1|0.01,

只要n100即可；……

n

n

任给无论多么小的正数

，都会存在数列的一项

aN,

从该项之后（n

1

N），|1—1|。

n

即

0,N，

当nN

1

时，|1—

n

1|。

如何找N

（或N存在吗）

解上面的数学式子即得：

1n，取N

1

[]1即可。

这样

0,当

nN时，

|11

n

1|1-

nN

。

综上所述，

1

数列1—

1

的通项1随n的无限增大，

11无限接近于1,即是对任意给定正数

总存在正整

n

n

n

[问题]:

如何表述an没有极限

（3）举例说明如何用N定义来验证数列极限

例：

证明

lim（

n

130

n

例:

证明

lim

1n

0.

n

2

2n2

1

例:

证明

lim

0.

n

9n3

7

例：

证明

lim

n

4n2

n23

例：

证明limna1，其中a0.

n

（4）关于数列的极限的N定义的几点说明

a）关于：

①

的绝对任意性；②

的暂时固定性；③

的多值性；④正由于是任意小正数,

我们可

以限定小于一个确定的正数。

b）关于N：

①相应性（对应于给定的）；购"多值性

C）数列极限的几何理解：

“当nN时有|ana|

所有下标大于n的项an都落在邻域O（a,）内；而

在O（a,）之外，数列an中的项至多只有n个（有限个）

d）数列极限的等价定义（邻域定义）：

定义1任给0，若在0（a,）之外数列an中，只有有限个，则称

数列an收敛于极限a.

由此可见：

数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。

所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

3

例：

证明n都是发散数列。

二、无穷小数列在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2

若liman0，则称an为无穷小数列。

11如,—2

4?

都是无穷小数列

n

nn

3n

数列an

收敛于a的充要条件：

定理1

数列an收敛于a的充要条件是ana

为无穷小数列。

三、收敛数列的性质

性质1（保序性）设数列a与bn均收敛，若存在正数No，使得当nN0时有anbn，则limanlimbn。

nn

性质2（保号性）若limana0（或a0），则对任何a（0,a）（或a（a,0）），存在正数n,使得当

n

nN时有ana（或ana）。

性质3（极限唯一性）若数列an收敛，则它只有一个极限。

性质4（迫敛性）设收敛数列an、bn都以a为极限，数列q满足：

存在正数N。

，当nN0时有

ancnbn,则数列cn收敛，且limcna.

n

注：

迫敛性不仅给岀了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

例：

求数列nn的极限。

性质5（有界性）若数列an收敛，则an为有界数列

四、数列极限的运算

性质6（极限的四则运算法则）：

若an、

bn

为收敛数列，则an

bn,

anbn,anbn也都收敛，且有

（1）lim（an0）ablim

anlimbn；

（2）

lim（anbn）ab

liman

lim0.

nn

n

n

n

n

（3）若再做假设bn0及limb.

0，则数列

a

也收敛，且有lim

ana

liman

n

n

bn

n

bnb

limbn

在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。

mm1-

例:

求limamnkamink1L空西，其中mk,am0,bk0.

nbknkbk1nk1LRnb0

例:

求limxn（n2、,n）。

n

五、单调有界数列在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：

先判断该数列是否有极限（极限的存在

性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。

这是极限理论的两基本问题。

下面将重点讨论极限的存在性问题。

在实数系中，有界且单调数列必有极限。

定义若数列an的各项满足不等式anan1（aa.1），则称a.为递增（递减）数列。

递增和递减数列统称

为单调数列.例如：

1为递减数列；n2为递增数列。

n

定理（单调有界定理）

111

例：

设an1L,n1,2,L其中

23n

例：

证明下列数列收敛，并求其极限：

.3,・.3.3,L

1

例：

证明lim

（1）n存在。

nr>

六、无穷大量的定义

定义：

设Xn是一个数列。

若G0,N

N,当nN时必有XnG，则称Xn是

2n3

5n

1

证明

疋无穷大量。

5n2

4n

4

G

0,

N

N,当n

N时必有

G

0,

N

N,当n

N时必有

无穷大量。

几何解析：

例：

定义：

设xn是一个数列。

若

定义：

设Xn是一个数列。

若

七、无穷大量的性质和运算

1、无穷大量和无穷小量的关系

xnG，则称xn是正无穷大量。

XiG，则称Xn是负无穷大量

定理：

Xn为无穷大量，当且仅当,

1

Xn为无穷小量，这里要求—。

Xn

2、无穷大量的一些运算法则

定理：

正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。

无穷大量加上有界数列仍是无穷大量

§2函数的极限

-、函数在一点的极限

现在讨论当xXo（xXo）时，对应的函数值能否趋于某个定数A

性质。

所以有必要来研究当

xx0（xx0）时，f（x）的变化趋势。

定义1设函数f（x）在点Xo的附近有定义，A为定数，若对任给的

0,0，使得当0IxXoI时有

If（x）A|

，则称称A为xx0时f（x）的极限，记作limf（x）A或f（x）

xx0

A（x沧）.

注:

（1）|f（x）A|是结论，0|xX。

|是条件，即由0|xX。

|推岀

（2）是表示函数f（x）与A的接近程度的

（3）是表示X与X0的接近程度，它相当于数列极限的N定义中的N。

它的第一个特性是相应性。

第二个

特性是多值性。

（4）在定义中，只要求函数f在X0的某空心邻域内有定义，而一般不要求f在X0处的函数值是否存在，或者取

什么样的值。

（5）定义的几何意义。

x31

例：

证明lim3；

x1x1

函数极限的性质和运算

性质1（局部保号性）若limf（x）A0,则对任何正数

Xx0

0rA，存在

0,当0

xX0

时，有

f（x）r0；若limf（x）A0，则对任何负数

Xx

f（x）r0。

xX0

时有

性质2（保序性）设limf（x）和limg（x）都存在，且存在

XX0、‘、‘

0，当0

Xx0

xX0

f（x）lim

Xx0

g（x）。

性质3（唯一性）

若极限

limf（x）存在，则此极限是唯一的

XX0

性质4（迫敛性）

设lim

XX0

f（x）limg（x）A，且存在

Xx

0，当0

xX0

时有f（x）h（x）g（x），

先看下面几个例子：

例：

X24

f（x）。

当x2时，f（x）x2，当x2时，f（x）4）。

x2

由上例可见，对有些函数，当

XX0（XX0）时，对应的函数值f（x）能趋于某个定数A;但对有些函数却无此

则limh（x）A

Xx

性质

5（局部有界性）若limf（x）存在，则f在X0的某空心邻域内有界。

XX0

性质

6（海涅定理）limfxAxn,xnx0,都有limfx

XX0n

性质

7（四则运算法则）若limf（x）和limg（x）都存在，则函数f

XX0XX0

g,fg当x

Xo时极限也存在，且

1）

lim

Xx0

f（x）g（x）limf（x）limg（x）；2）limf（x）g（x）

XX）XXXX0

lim

xx0

f（x）

ng（x）.

又若jimg（x）0，则fg当xX。

时极限也存在，且有

3）

lim

xx

f（x）

g（x）

nf（x）

lim

xx

g（x）°

性质8无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

三、单侧极限1•引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如

fi（x）

x2,x

x,x

0亠

或函

0

数在某些点仅在其一侧有定义，如f2（x）Vx,x0。

这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢

2•定义2设函数f（X）在点x0的有近旁有定义，A为定数，若对任给的

0,

0，使得当

XX0时

有|f（x）A|，则称数A为函数f当x趋于x0时的右极限，记作:

limf（x）

xx0

A或f（x）

A（xX0）或

f（x°0）A。

类似可给岀左极限定义。

注：

右极限与左极限统称为单侧极限。

例：

讨论函数f（X）

x在x0的左、右极限。

例：

讨论sgnx在x0的左、右极限。

3.函数极限limf（x）与limf（x）,limf（x）的关系。

定理1

xX0xx0xx0

limf（x）Alimf（x）limf（x）A.

X$XX）XX0

注：

利用此可验证函数极限的存在。

四、函数在无限远处的极限

定义3设f为定义在［a,

）上的函数，A为实数

若对任给的

0,存在正

数X（a），使得当XX时有|f（x）A|

则称函数f当x

时以a为极限。

记作

limf（x）A或

X

例：

按定义证明1）limarctanx

X

一；2）

limarccox

X

f（x）A（x

）

.类似可定义

lim

X

f（x）

A和limf（x）A

X

注:

limf（x）

X

A

Jimf（x）

lim

X

f（x）

A。

例：

按定义证明

lim-

0.

五、函数值趋于无穷大的情形

定义4设函数f（x）在点X0的附近有定义，若对任给的G0,

0,使得

当0|xX0|时有|f（x）|G，则称

f（x）在点X0时趋于无穷大，记作叫蚣）

类似可定义limf（x）

XX

，limf（x）

XX0

，［imf（x）

六、两个重要的极限

1、证明：

lim如

X0x

应用：

例：

求limsinx

xx

例:

1cosx求lim2——.

x0x2

注:

利用归结原则，可求数列极限。

如求

lim

n

.1sinn~T~

limnsin1，直接利用lim

n"

sinx

x0X

1是不严格的；但已知

lim

x0x

s^1，故取

Xn

（n1,2,L

n

，则

Xn

0（n

），从而由归结原则lim

n

.1sinf（Xn）lnim尸0.

例:

求limtgX.

x0x

e

或

e

1-X

m

HX

证

22

1

应用：

例：

求lim12xx.

x0

1

例：

求lim1x^.

x0

11

例:

求lim（12）n

nnn

§3连续函数

一、连续的定义1、（f在点X。

连续）定义1设函数f在某X。

点的附近包括X。

点有定义，若

limf（x）f（x0），则称f在点x°连续。

Xx0

注:

limf（x）f（x0）f（limx），即“f在点x°连续”意味着“极限运算与对应法则f可交换。

X冷Xx°

例:

x0R,sinx,cosx在x0处连续。

例:

lim（2x

x2

1）5

f

（2）。

1

xsin,x0,

例:

讨论函数

f（x）

x在点x=0处连续性

0

x0

注：

1）设y0f（x0）,yf（x）f（x0）f（x0x）f（x0）yy0——函数y在点x°的增量

2）等价定义1:

函数

f在点Xo连续

lXmoy0。

3）等价定义2:

函数

f在点Xo连续

0,0，当

J|xXo|时，|f（x）f（Xo）|

注：

一个定义是等价的，

根据具体的问题选用不同的表述方式。

总的来讲，函数在点xo连续的要求是：

①f（x）在点xo有定义；②limf（x）存在；③limf（x）f（xo）.任何一

xx）xxo

条不满足，f在点Xo就不连续。

同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性2.f在点Xo左（右）连续定义

（1）定义2；设函数f在点xo点的右（左）近旁包括xo点有定义，若limf（x）f（xo）（limf（x）f（xo）），

XX。

XX。

则称f在点Xo右（左）连续。

（2）定理（（f在点Xo连续的等价刻划

）:

函数f在点xo连续

f在点Xo既是右连续，又是左连续。

例:

讨论函数f（x）

X2,X°在点xo的连续性

x2,xo

连续函数的性质和运算

定理

问题

2（四则运算）若f和g在xo点连续，则fg,fg,fg（g（xo）0）也都在点xo连续。

积、商是否仍旧连续

两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、

定理

3（复合函数的连续性）若f在点X）连续，记f（Xo）