21导学案.docx
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21导学案
新荣区第二中学九年级数学学案
主备人:
助备人:
审核人:
学习内容
21.1一元二次方程
(1)
课时:
第1课时
学习目标
1、根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点难点
由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程和方法
备注
自学课本导图,走进一元二次方程
分析:
现设雕像下部高x米,则度可列方程
去括号得①
你知道这是一个什么方程吗?
你能求出它的解吗?
想一想你以前学过什么方程,它的特点是什么?
探究新知
自学课本2页问题1、问题2(列方程、整理后与课本对照),并完成下列各题:
问题1可列方程整理得②
问题2可列方程整理得③
1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?
2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。
3、一块面积是150cm
长方形铁片,它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少?
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是:
【我学会了】
1、只含有个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式:
其中二次项,是一次项,是常数项,二次项系数,一次项系数。
自主探究:
自主学习P3页例题,完成下列练习:
将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
(1)
(2)
达标测评
(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程;
(1)
()
(2)
()
(3)
()(4)
()
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)3x2-x=2;
(2)7x-3=2x2;
(3)(2x-1)-3x(x-2)=0(4)2x(x-1)=3(x+5)-4.
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
大胆说出来
新荣区第二中学九年级数学学案
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助备人:
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学习内容
21.1一元二次方程
(2)
课时:
第2课时
学习目标
了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
重点难点
1.重点:
判定一个数是否是方程的根;
2.难点关键:
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
学习过程和方法
备注
一、自主探究
针对目标自学教材2页—3页内容,会规范解答4页练习题1、2.
二、合作交流,解读探究
先独立思考,有困难时请求他人帮助,10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目:
1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
应用迁移,巩固提高
3、若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值
4、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
三、总结反思,自查自省
选择题
1.方程x(x-1)=2的两根为().
A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().
A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=
C.x1=a,x2=
D.x1=a2,x2=b2
3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
填空题
1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
3.方程(x+1)2+
x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________.
四、拓展高题
1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:
-1必是该方程的一个根.
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
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学习内容
21.2.1配方法
(一)
课时:
第3课时
学习目标
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如
=p(p≥0)或(mx+n)
=p(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的思想方法;
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点难点
重点:
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点:
理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
学习过程和方法
备注
一、自主探索
自学P5问题1、及思考完成下列各题:
解下列方程:
(1)x2-2=0;
(2)16x2-25=0.
(3)(x+1)2-4=0;(4)12(2-x)2-9=0.
二、总结归纳
如果方程能化成
=p或(mx+n)
=p(p≥0)形式,那么可得
随堂练习
仿例完成P6页练习
三、巩固提高
1、解下列方程:
(1)x2=169;
(2)45-x2=0;
(3)x2-12=0(4)x2-2
=0
(5)2x2-3=0(6)3x2-
=0
(7)12y2-25=0;(8)(t-2)(t+1)=0;
(9)x2+2x+1=0(10)x2+4x+4=0
(11)x2-6x+9=0(12)x2+x+
=0
五、浅谈收获:
你今天学会了解怎样的一元二次方程?
步骤是什么?
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学习内容
21.2.1配方法
(二)
课时:
第4课时
学习目标
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;
2、理解解方程中的程序化,体会化归思想。
重点难点
重点:
用配方法解数字系数的一元二次方程;
难点:
配方的过程。
学习过程和方法
备注
一、自主探索
自学P6-7页探究,并思考
我们把方程x2+6x+4=0变形为(x+3)2=5,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
二、合作交流
用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;
(2)x2+3x+1=0.
解
(1)移项,得x2-6x=____.
方程左边配方,得x2-2·x·3+__2=7+___,
即(______)2=____.
所以x-3=____.
原方程的解是 x1=_____,x2=_____.
(2)移项,得x2+3x=-1.
方程左边配方,得x2+3x+()2=-1+____,
即_____________________
所以___________________
原方程的解是:
x1=______________x2=___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程?
有哪些步骤?
三、随堂练习
1、练一练:
配方.填空:
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+
x+()=(x+)2;
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
2、用配方法解方程:
1x²-2x-3=02、x2-5x-6=0.3、x²-4x+3=0
4、x2+8x-2=05、x²+12x-15=06、2x²+12x+10=0
7、3x²+6x-4=08.x²+4x-9=2x-119.x(x+4)=8x+12
四、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
大胆说出来
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学习内容
21.2.2公式法
课时:
第5课时
学习目标
1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点难点
重点:
用公式法解简单系数的一元二次方程;
难点:
推导求根公式的过程。
学习过程和方法
备注
一、知识回顾:
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
二、自主探索
你能用配方法解下列方程吗?
请你和同桌讨论一下.
ax2+bx+c=0(a≠0).
推导公式
x=
(b2-4ac≥0)
由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
三、合作交流
b2-4ac为什么一定要强调它不小于0呢?
如果它小于0会出现什么情况呢?
1当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填相等或不相等)
2当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根
x1=x2=________
3当b2-4ac<0时,方程______实数根.
四、巩固训练
1、做一做:
(1)方程2x
-3x+1=0中,a=(),b=(),c=()
(2)方程(2x-1)
=-4中,a=(),b=(),c=().
(3)方程3x
-2x+4=0中,
=(),则该一元二次方程()实数根。
(4)不解方程,判断方程x
-4x+4=0的根的情况。
2、应用公式法解下列方程:
(1)2x2+x-6=0;
(2)x2+4x=2;
(3)4x2+4x+10=1-8x.(4)5x2-4x+12=0;
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
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学习内容
21.2.3因式分解法
课时:
第6课时
学习目标
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法
重点难点
重点:
应用分解因式法解一元二次方程
难点:
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
学习过程和方法
备注
一、知识回顾:
将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=
因式分解的方法:
解下列方程.
(1)2x2+x=0(用配方法)
(2)3x2+6x=0(用公式法)
2、自主探究
(1)如果
,那么
或
,这是因式分解法的根据。
如:
如果
,那么
或_______,即
或________。
(2)说出下列方程的根:
(1)
(2)
(3)x2-4x=0(4)4x2-49=0(5)5x2-10x+20=0
三、归纳总结:
对于一元二次方程,先因式分解使方程化为_________________的形式,再使_________________________,从而实现_________________,这种解法叫做__________________。
四、巩固训练
1、用因式分解法解下列方程
(1)x2+x=0
(2)x2-2
x=0
(3)3x2-6x=-3(4)4x2-121=0
(5)3x(2x+1)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。
五、拓展提高
1.方程
的根是
2.方程
的根是________________
3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是_________
4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于___.
5.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()
A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=0
6.方程(x+4)(x-5)=1的根为()
A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
大胆说出来
新荣区第二中学九年级数学学案
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助备人:
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学习内容
21.2.3习题课
课时:
第7课时
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程,培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点难点
重点:
选择合理的方法解一元二次方程,使运算简便。
难点:
理解四种解法的区别与联系。
学习过程和方法
备注
一、复习提问
(1)我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?
(2)请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?
二、精讲点拨
观察方程特点,寻找最佳解题方法。
一元二次方程解法的选择顺序一般为:
直接开平方法、因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法,其中,公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙,,适用于任何一元二次方程;因式分解法和直接开平方法是特殊方法,在解符合某些特点的一元二次方程时,非常简便。
练习一:
分别用三种方法来解以下方程
(1)x2-2x-8=0
(2)3x2-24x=0
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
练习二:
你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
(1)12y2-25=0;(你用_____________法)
(2)x2-2x=0;(你用_____________法)
(3)x(x+1)-5x=0;(你用_____________法)
(4)x2-6x+1=0;(你用_____________法)
(5)3x2=4x-1;(你用_____________法)
(6)3x2=4x.(你用_____________法)
三、对应训练
用适当的方法解下列方程:
(1)3x2-4x=2x;
(2)
(x+3)2=1;
(3)x2+(
+1)x=0; (4)x(x-6)=2(x-8);
(5)(x+1)(x-1)=
; (6)x(x+8)=16;
.4、已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?
四、课堂小结
根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?
通常你是如何选择的?
和同学交流一下.
新荣区第二中学九年级数学学案
主备人:
助备人:
审核人:
学习内容
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
课时:
第8课时
学习目标
1、掌握一元二次方程根和系数的关系,能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。
灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。
2、经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会。
重点难点
一元二次方程根与系数的关系
定理的论证
学习过程和方法
备注
一、知识回顾
1、一元二次方程的一般式?
2、一元二次方程有实数根的条件是什么?
3、一元二次方程的求根公式
二、探究与思考
由求根公式可知,一元二次方程的根由系数
、
、
确定,换句话就是说根与系数有关系,今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系。
方程
思考填表(幻灯)
谁能发现两根和、两根积与系数的关系?
若
,
,(假设成立)
则
,
3、课堂练习
1、口答:
说出下列各方程的两根和与两根积
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2、填空:
今天,我们学习了,知道若
,
的两个根
,则
,
,
四、拓展提高
已知方程
的一个根为1,不解方程求方程的另一个根及m的值。
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
大胆说出来
新荣区第二中学九年级数学学案
主备人:
助备人:
审核人:
学习内容
21.3实际问题与一元二次方程
(1)
课时:
第9课时
学习目标
通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决实际问题.
重点难点
1.用“倍数关系”建立数学模型
2.用“倍数关系”建立数学模型
学习过程和方法
备注
一、复习引入
1:
列一元一次方程解应用题的步骤?
①,②.③.④,⑤,⑥
二、探索新知
利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题。
请同学们完成下面问题.
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:
1第一轮传染第二轮传染后
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人患了流感,第二轮后共人患了流感.
列方程得:
思考:
按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
四.巩固练习.
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:
设每个支干长出x个小分支,
2.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
五、浅谈收获:
谈谈本节课你学到了那些知识?
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新荣区第二中学九年级数学学案
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学习内容
21.3实际问题与一元二次方程
(2)
课时:
第10课时
学习目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重点难点
1.如何解决增长率与降低率问题。
2.解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量
学习过程和方法
备注
一、自主探究
探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:
甲种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:
设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,
依题意得:
解方程,
答:
算一算:
乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:
两种药品成本的年平均下降率。
小结:
类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取-)
二、巩固练习(列出方程)
1.某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米?
2.公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.
三、课堂检测
1、选择题
一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为().
A.(1+25%)(1+70%)a元B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1-70%)a元D.(1+25%+70%)a元
2、填空题
(1).某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.
(2).某糖厂2002年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计2004年的产量将是________.
四、应用拓展
某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.
五、浅谈收获:
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学习内容
21.3实际问题与一元二次方程(3)
课时:
第11课时
学习目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
重点难点
1.重点:
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点:
根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程:
学习过程和方法
备注
一、复习引入
说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式(学生口答,老师点评)
二、探索新知
现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.
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- 21 导学案