(2)由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)
=sinA+sin(-A)=sinA+cosA+sinA
=sin(A+)≤.
当△ABC为正三角形时取等号,
所以sinA+sinB的最大值是.
如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,cos∠ADC=,cos∠BAD=,AD=2,则BA的长为( )
A.B.7+4
C.+4D.7+4
答案 A
解析 由题意得,cos∠ADB=-,sin∠ADB=,sin∠BAD=,sin∠B=sin(∠BAD+∠ADB)=·(-)+·=,
在△ABD中,由正弦定理可得=,
∴AB=,故选A.
1.(2014·课标全国Ⅱ,理)已知钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5 B.
C.2D.1
答案 B
解析 由题意可得AB·BC·sinB=,又AB=1,BC=,所以sinB=,所以B=45°或B=135°.当B=45°时,由余弦定理可得AC==1,此时AC=AB=1,BC=,易得A=90°,与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以B=135°.由余弦定理可得AC==.故选B.
2.(2014·江西,理)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.
C.D.3
答案 C
解析 由c2=(a-b)2+6可得a2+b2-c2=2ab-6.①
由余弦定理及C=可得a2+b2-c2=ab.②
由①②得2ab-6=ab,即ab=6.
所以S△ABC=absin=×6×=.
3.(2013·课标全国Ⅰ,文)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )
A.10B.9
C.8D.5
答案 D
解析 由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=.
∵A∈(0,),∴cosA=.
∵cosA==,∴b=5或b=-(舍).故选D项.
4.(2016·课标全国Ⅲ,理)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )
A.B.
C.-D.-
答案 C
解析 设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin=c,则a=c.在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c.由余弦定理,可得cosA===-,故选C.
5.(2016·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
答案
解析 在△ABC中,∵cosA=,cosC=,∴sinA=,sinC=.∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×+×=.由正弦定理=,可得b==1××=.
6.(2015·北京,理)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.
答案 1
解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,又由余弦定理知cosA===,所以==2××cosA=2××=1.
7.(2015·重庆,文)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.
答案 4
解析 由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3.由余弦定理cosC=,得-=,解得c=4.
8.(2015·重庆,理)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=________.
答案
解析 如图,在△ABD中,由正弦定理,得sin∠ADB===.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,∠DAC=15°,∠BCA=30°,所以BC=,于是由余弦定理,得AC===.
9.(2013·安微,理)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=________.
答案
解析 ∵3sinA=5sinB,∴3a=5b.①
又b+c=2a,②
∴由①②可得,a=b,c=b.
∴cosC===-.
∴C=π.
10.(2015·课标全国Ⅰ,理)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是________.
答案 (-,+)
解析
如图,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在△PBC中,可求得BP=+,在△QBC中,可求得BQ=-,所以AB的取值范围是(-,+).
11.(2016·上海,理)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于________.
答案
解析 设A为△ABC中最大的内角,由余弦定理,得cosA==-,∴A=120°,∴sinA=.由正弦定理,得2R==,∴R=.
12.(2015·湖北,理)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
答案 100
解析 依题意,∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,由∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°,因为AB=600m,由正弦定理可得=,即BC=300m.在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300m,所以tan30°==,所以CD=100m.
13.(2016·四川,理)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:
sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.
解析
(1)根据正弦定理,可设===k(k>0),
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.
所以sinA==.
由
(1)知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,
故tanB==4.
14.(2016·北京,理)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cosA+cosC的最大值.
解析
(1)由余弦定理及题设得
cosB===.
又0
(2)由
(1)知∠A+∠C=,则
cosA+cosC=cosA+cos(-A)
=cosA-cosA+sinA
=cosA+sinA
=cos(A-).
因为0<∠A<,
所以当∠A=时,cosA+cosC取得最大值1.
15.(2015·课标全国Ⅰ,文)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB;
(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
解析
(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cosB==.
(2)由
(1)知b2=2ac.
因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a=.
所以△ABC的面积为1.
16.(2014·安徽,理)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin(A+)的值.
解析
(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cosA===-.
由于0故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=×+(-)×=.