高考数学总复习83空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版.docx
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高考数学总复习83空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版
2019-2020年高考数学总复习8.3空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版
1.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解析】选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.
【答案】A
2.(xx·安徽合肥一模)如图,已知四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,则下列结论中错误的是( )
A.过BD且与PC平行的平面交PA于点M,则M为PA的中点
B.过AC且与PB垂直的平面交PB于点N,则N为PB的中点
C.过AD且与PC垂直的平面交PC于点H,则H为PC的中点
D.过P,B,C的平面与平面PAD的交线为直线l,则l∥AD
【解析】设AC∩BD=O,∵ABCD是正方形,∴O是AC的中点.
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点,∴OM∥PC,∴M是PA的中点,故A正确.
设N为PB的中点,连接AN,∵PA与AB不相等,∴AN与PB不垂直,∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N一定不是PB的中点,故B错误.
∵四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,∴PA=AC,PD=DC,∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点,故C正确.
∵AD∥BC,平面PAD与平面PCB有公共点P,
∴l∥AD∥BC,故D正确.故选B.
【答案】B
3.(xx·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
【解析】由题意知,直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定,故A,B,D不正确.又n⊥β且l⊂β,则n⊥l.故选C.
【答案】C
4.(xx·江西南昌模拟)设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,l⊥a,l⊥b,若a∥b,l可以与平面α斜交,推不出l⊥α;若l⊥α,a,b是平面α内两条不同的直线,由线面垂直的性质定理,得l⊥a,l⊥b,∴“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件.故选C.
【答案】C
5.(xx·湖南衡阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
【解析】如图,连接C1D,BD,AC,在三角形C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,故A正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确;∵A1B1与BD不平行,MN∥BD,∴MN与A1B1不平行,故D错误.故选D.
【答案】D
6.(xx·课标全国Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
【解析】①不正确.由m⊥n,m⊥α,可知n∥α或n⊂α.
又n∥β,∴α∥β或α∩β=l(但不一定垂直).
②正确.n∥α,则存在n′⊂α,n∥n′,又m⊥α,则必有m⊥n′,
∴m⊥n.
③正确.α∥β,则α内任一直线均与β平行,又m⊂α,∴m∥β.
④正确.m∥n,∴m,n与α所成的角相等.又α∥β,∴n与α,β所成的角相等.∴m与α所成的角和n与β所成的角相等.
故答案为②③④.
【答案】②③④
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
【答案】4
8.(xx·浙江)如图,三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.
【解析】如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.
∵M为AD的中点,
∴MK∥AN,
∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角.
∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,
N为BC的中点,
由勾股定理求得AN=DN=CM=2
,
∴MK=
.
在Rt△CKN中,CK=
=
.
在△CKM中,由余弦定理,得
cos∠KMC=
=
.
【答案】
9.(xx·四川高考改编)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________.
【解析】如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,
连接GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,在△AGP中AG=GP=AP,所以∠APG=
.
【答案】
10.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:
EH,FG,BD三线共点.
【解析】
(1)∵
=
=2,∴EF∥AC,
∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,
平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF∥GH,∴AC∥GH.
∴
=
=3,∴AH∶HD=3∶1.
(2)证明∵EF∥GH,且
=
,
=
,
∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,
又P∈FG,FG⊂平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.
B组 专项能力提升
(时间:
30分钟)
11.(xx·上海闵行区期末调研)已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:
A,B,C,D四点不共面,命题乙:
直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
【答案】A
12.(xx·郑州第二次质量预测)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( )
A.|BM|是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使DE⊥A1C
D.存在某个位置,使MB∥平面A1DE
【解析】取DC中点F,连接MF,BF,MF∥A1D且MF=
A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以M是在以B为圆心,MB为半径的球上,可得A、B正确.由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得D正确;A1C在平面ABCD中的射影与AC重合,AC与DE不垂直,可得C不正确.
【答案】C
13.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.
【答案】②③④
14.已知A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
【解析】
(1)证明假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
在Rt△EGF中,由EG=FG=
AC,求得∠FEG=45°,
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
15.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=
,AB=2,AC=2
,PA=2.求:
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
【解析】
(1)S△ABC=
×2×2
=2
,三棱锥PABC的体积为V=
S△ABC·PA=
×2
×2=
.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=
,AD=2,
cos∠ADE=
=
.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为
.
2019-2020年高考数学总复习8.4直线平面平行的判定与性质演练提升同步测评文新人教B版
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面
【解析】充分性:
A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
【答案】D
2.(xx·安徽)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
【解析】对于A,α,β垂直于同一平面,α,β关系不确定,故A错;对于B,m,n平行于同一平面,m,n关系不确定,可平行、相交、异面,故B错;对于C,α,β不平行,但α内能找出平行于β的直线,如α中平行于α,β交线的直线平行于β,故C错;对于D,若假设m,n垂直于同一平面,则m∥n,其逆否命题即为D选项,故D正确.
【答案】D
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】l∥α,l∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故A项错;由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确;由l⊥α,l∥β可知α⊥β,故C项错;由α⊥β,l∥α可知l与β可能平行,也可能l⊂β,也可能相交,故D项错.故选B.
【答案】B
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
【解析】①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l、m;
②中l与m也可能异面;③中
⇒l∥n,
同理,l∥m,则m∥n,正确.
【答案】C
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
【解析】①中易知NP∥AA′,MN∥A′B,
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).
④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.
【答案】B
6.(xx·河南省实验中学模拟)如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,
=________.
【解析】连接AC交BE于点M,连接FM.
∵PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FM,∴PA∥FM,∴
=
=
=
.
【答案】
7.(xx·青岛二模)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)
【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不是“可换命题”;由公理4可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命题,故④不是“可换命题”.
【答案】①③
8.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,动点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
【解析】因为HN∥BD,HF∥DD1,所以平面NHF∥平面B1BDD1,故线段FH上任意点M与N相连,都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】M∈线段FH
9.如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
【证明】
(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,
又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
10.如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形.
(1)证明:
平面AB1C∥平面DA1C1;
(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?
若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.
【解析】
(1)由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知,AB1∥DC1,∵AB1⊄平面DA1C1,DC1⊂平面DA1C1,∴AB1∥平面DA1C1,
同理可证B1C∥平面DA1C1,而AB1∩B1C=B1,
由面面平行的判定定理知,平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在这样的点P,使BP∥平面DA1C1.
∵A1B1綊AB綊DC,∴四边形A1B1CD为平行四边形.
∴A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,
∵B1B綊C1C,∴B1B綊CP,∴四边形BB1CP为平行四边形,
则BP∥B1C,∴BP∥A1D,∴BP∥平面DA1C1.
B组 专项能力提升
(时间:
30分钟)
11.(教材改编)对于平面α和共面的直线m,n,下列命题中为真命题的是( )
A.若m,n与平面α所成的角相等,则m∥n
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m⊂α,n∥α,则m∥n
【解析】正三棱锥PABC的侧棱PA,PB与底面所成角相等,但PA与PB相交,应排除A;若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,应排除B;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,应排除C;因为m,n共面,设经过m,n的平面为β,因为m⊂α,所以α∩β=m.因为n∥α,所以n∥m.
【答案】D
12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________.
【解析】设
=
=k,∴
=
=1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k.
又∵0 【答案】(8,10) 13.(xx·昆明第一次检测)在三棱锥SABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________. 【解析】取AC的中点G,连接SG,BG. 易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故AC⊥平面SGB, 所以AC⊥SB. 因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD, 则SB∥HD.同理SB∥FE. 又D,E分别为AB,BC的中点, 则H,F也为AS,SC的中点, 从而得HF綊 AC綊DE, 所以四边形DEFH为平行四边形. 又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC, 所以DE⊥HD, 所以四边形DEFH为矩形, 其面积S=HF·HD= · = . 【答案】 14.(xx·课标全国Ⅲ)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明: MN∥平面PAB; (2)求四面体NBCM的体积. 【解析】 (1)证明由已知条件,得AM= AD=2. 取BP的中点T,连接AT,TN. 因为N为PC的中点, 所以TN∥BC, TN= BC=2, 所以TN=AM. 又AD∥BC,所以TN∥AM,且TN=AM,故四边形AMNT为平行四边形,所以MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点, 所以N到平面ABCD的距离为 PA. 取BC的中点E,连接AE.因为AB=AC=3, 所以AE⊥BC,AE= = . 因为AM∥BC,所以点M到BC的距离为 , 故S△BCM= ×4× =2 . 所以四面体NBCM的体积 VNBCM= × PA·S△BCM= . 15.(xx·衡水模拟)如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC. (1)求几何体ABCDFE的体积; (2)证明: 平面ADE∥平面BCF. 【解析】 (1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG. ∵AO⊥BC,AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC, ∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO=FG= , ∴VABCDFE= ×4× ×2= . (2)证明由 (1)知AO∥FG,AO=FG, ∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF. 又∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF, ∴平面ADE∥平面BCF.
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