高三数学 31《空间向量及运算》教案 旧人教版.docx
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高三数学31《空间向量及运算》教案旧人教版
2019-2020年高三数学3.1《空间向量及运算》教案旧人教版
【考试要求】
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘
2.了解空间向量的基本定理。
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质。
【基础知识】
一、基本概念
向量:
在空间具有大小和方向的量。
相等向量:
大小相等,方向相同的向量。
平行向量或共线向量:
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。
二、空间向量加、减法及数乘运算
1.
2、运算律:
三、基本定理
1、共线向量基本定理:
对空间任意两个向量,的充要条件是存在唯一实数,使。
2、共线向量基本定理
如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x,y),使
推论1空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对()使,或对空间任一定点,有①
在平面内,点对应的实数对()是唯一的,①式叫做平面的向量表示式。
推论2对空间任一点和不共线的三点,满足向量关系式
(其中=1)的四点共面(当且仅当=1时)。
两推论的作用:
证明四点共面
3.空间向量的基本定理
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使。
如果三个向量不公面,那么所有空间所组成的集合就是﹛
﹜,这个集合可看作是由向量生成的,所以我们把{}叫做空间的一个基低,都叫做基向量,()叫做对基底{}下的坐标。
推论设是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数使。
四、两向量的数量积
1、空间两向量的夹角
如图,已知两个非零向量,在空间任取一点O,作,则角叫做的夹角,记作。
,并且
2、=则称互相垂直,并记作。
3.已知空间两个向量,则︱︱︱︳叫做向量的数量积,记作。
即=︱︱︱︳。
4、性质:
①②③④
5、运算律①②③
【基础训练】
1.有4个命题:
①若p=xa+yb,则p与a、b共面;
②若p与a、b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P、M、A、B共面;
④若P、M、A、B共面,则=x+y.其中真命题的个数是.
2.下列是真命题的命题序号是.
①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量
②若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
③若向量,满足||>||,且与同向,则>
④若两个非零向量与满足+=0,则∥
3.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=(用a,b,c表示).
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|=,则a与b的夹角为.
5.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=(+),则
=
【典型列题】
一、空间向量的基本运算
例1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2);(3)+.
二、应用空间向量证明线面关系、求空间角和距离
例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,
(1)求证:
E、F、G、H四点共面;
(2)求证:
BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:
对空间任一点O,有
=(+++).
例3如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证:
MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
三、空间向量的综合运用
例4如图,已知平行六面体ABCD--的底面ABCD是菱形,且
当的值为多少时,能使?
请给出证明。
例5在平行六在面体ABCD--中已知数AB=5,AD=4,=3,,
,
(1)试用向量法证明:
顶点在底面ABCD上的射影在∠BAD
的平分线上;
(2)若M、N分别在上且==2,求所成的角。
【小结】
1、空间向量在立几中应用,既可以证明垂直和平行,又可以计算角和距离,其主要依据是向量运算的几何意义。
2、用向量方法解决立体几何问题时,关键是一个几何问题向量化的转化过程,从建立基向量,到表示相关向量,到应用向量的有关运算,构成一个非常严密的推理过程。
[巩固练习]
1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则·的值为.
2、A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是三角形(用“锐角”、“直角”、“钝角”填空).
3、
已知六面体ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简++,并在图上标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设
=++,试求,,的值.
4、.已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
2019-2020年高三数学3.1导数的概念(第一课时)大纲人教版选修
课时安排
4课时
从容说课
“导数的概念”是导数与微分的一个重要的概念,它是在函数的极限基础上发展起来的,应该讲是一个很抽象的概念,如何才能使学生从这个抽象的概念中走出来呢?
首先,教师应精心设计教学内容,多从实例导入,运用极限的定义解决实际问题,让学生有了感性认识,对函数的极限有了兴趣;其次,要借助现代教学手段,如多媒体课件、实物投影,让静的问题动起来,让抽象的问题具体化、实物化;第三,让学生带着问题走近课堂,教师在设计教案时应多角度多层次地考虑,要选取重要而又实用的生活实例或在其他学科实际应用的实例,让学生尝试到成功的欢愉,深感学习导数的重要性,同时也培养学生深入思考问题的良好的学习习惯;第四,对于新学的概念——导数要进行建构式的教学方式,让学生在做中学数学,让学生真正地主动建构,而不是被动地接受.只有通过以上各条措施,学生才能真正地感受到数学的价值和学习导数的意义,才能认识到数学的美是潜在的.
第一课时
课 题
§3.1.1 导数的概念
(一)——曲线的切线
教学目标
一、教学知识点
1.曲线在一点处的切线的概念.
2.曲线在一点处的切线的斜率的概念.
二、能力训练要求
1.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法.
2.理解曲线在一点处的切线的斜率的概念,并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程.
三、德育渗透目标
1.培养学生从实际问题中去发现问题的能力,以及转化的数学思想.
2.培养学生用运动的眼光去理解问题的能力.
3.培养学生在对待科学知识上要有豁达的心态,科学知识是世界通用的.
教学重点
理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景.
教学难点
在理解曲线在一点处的切线的斜率的基础上,根据已经学过的极限知识,会求一条具体的曲线(给出曲线方程)在某一点处的切线斜率.
教学方法
发现法
通过多媒体进行演示,当Q点向P点靠近时,观察PQ这条直线的位置,让学生自己通过所学的极限知识来定义切线和切线的斜率.
教具准备
多媒体
(做两张图,第一张就是书上的图3-1
(1),第二张是书上的图3-1
(2),但它能够演示Q运动时PQ直线的位置变化,并显示直线PQ的极限位置,即曲线在点P处的切线)
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等,不少是圆柱形铝罐头.如果要使容积不变,什么情况下用的材料最省,或者有时在生产和科研中,会碰到什么条件下,所用的时间最少,或效率最高等问题.我们可以把这些问题转化成数学问题,也就是归结为求函数的最大值、最小值问题.我们以前也学过求一些特殊函数(如直线、抛物线等)的最大值、最小值的方法.但一些很复杂的函数呢,有什么简便的方法吗?
这就是我们第三章要学习的内容:
导数与微分.
Ⅱ.讲授新课
[师]导数与微分是解决函数的最大、最小值问题的有力工具.导数与微分的知识形成一门学科,就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大、最小值问题,还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小值问题而引入的.但导数作为微分学中最主要的概念,却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
微积分能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响,主要是靠了牛顿和莱布尼茨的工作,但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实,他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式上稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表,莱布尼茨在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学.所以,就发明时间而言,牛顿早于莱布尼茨,就发表时间而言,莱布尼茨则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人,引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼茨发明的.而英国认为牛顿为第一发明人,拒绝使用莱布尼茨发明的符号,因此,使自己远离了分析的主流.
所以在科学上,要持有豁达的心态,科学知识是没有国界的,是世界通用的,不能因为偏见而拒绝使用,这样只能阻碍科学进步.
我们首先来看一下导数的概念中的第一小节:
曲线的切线.
[板书]
一、曲线的切线
[师]我们已经学习了圆与圆锥曲线,那么它们的切线是如何定义的?
[生]与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线.
[板书]
图3-1
(也可以画在多媒体课件上)
[师]我们来看这张图,l1与曲线C有一个公共点,但不在曲线C的一边,l2与曲线C有两个公共点,也不在曲线C的一边,而l1不是曲线C在M点的切线,l2却是曲线C在N点处的切线,所以用我们以前学的切线的定义就不适合了.
图3-2
(打开多媒体的第一张图)
[师]看这张图,已知曲线C是函数y=f(x)的图象,P是曲线上一点,坐标为(x0,y0),在P的附近取一点Q,坐标为(x0+Δx,y0+Δy),过P作MP∥x轴,MQ∥y轴.设割线PQ的倾斜角为β,那么MP、MQ倾斜角的正切值之间有什么关系?
用Δx、Δy表示.
[板书]
[生]MP=Δx,MQ=Δy,
.
[师]那割线PQ的斜率为多少?
[板书]
[生]割线PQ的斜率是.
[师]现在P不动,Q沿着曲线运动,并且无限地向点P靠近.再来观察Q运动的情况.
(打开多媒体的第二张图)
[师]点Q沿着曲线向点P无限接近时,也就是说Δx→0,这时这条割线PQ我们把它称为直线PT.它是一条什么样的直线?
[生]直线PT就是在P点处的切线.
[师]我们是通过运动的方式来得到切线的,那能不能根据这种过程来定义切线呢?
把直线PT叫做割线PQ的极限位置.
[生]当点Q沿着曲线无限接近P点时,割线PQ的极限位置是直线PT,叫做曲线在点P处的切线.
[师]大概意思对了,那我们现在把它完整地写出来.
[板书]
1.切线
曲线C:
y=f(x)上有两点P(x0,y0)、Q(x0+Δx,y0+Δy),当点Q沿着曲线无限接近于点P,即Δx→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.
[师]那切线PT的斜率如何定义呢?
也可以用极限.
[生]割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率.
[板书]
2.切线的斜率
设切线PT的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,即
.
[师]我们可以从运动的角度来得到切线,所以可以用极限来定义切线,以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线,也可以求出它在某一点处的切线了.下面我们来看一下具体的例子.
图3-3
3.课本例题
[例]如图3-3,曲线的方程为y=x2+1,求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率以及方程.
解:
∴切线的斜率为2,
切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
4.精选例题
[例1]求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1,4)处的切线方程.
[学生板演]
解:
∴切线的方程为y-4=5(x-1),
即y=5x-1.
[例2]求曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角.
[学生分析]要求切线的倾斜角,也要先求切线的斜率,再根据斜率k=tanα,求出倾斜角α.
[学生板演]
解:
∵
∵α∈[0,π),∴.
∴切线的倾斜角为.
[例3]求曲线y=sinx在点()处的切线方程.
解:
∴切线方程是,
即.
[例4]y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐标.
解:
设点P的坐标(x0,x03).
∴
∴3x02=3,x0=±1.
∴P点的坐标是(1,1)或(-1,-1).
Ⅲ.课堂练习
1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求:
(1)点A处的切线的斜率;
(2)点A处的切线方程.
解:
(1)
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1),即y=4x-2.
2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线方程.
解:
∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3.
[师]求切线的斜率与方程,主要转化为求极限,碰到三角函数时,要记住重要的极限,要从切线的斜率的定义出发.
Ⅳ.课时小结
[学生总结]
这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及方程.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P114习题3.1 6、7.
(二)1.预习内容:
课本P109~110瞬时速度.
2.预习提纲:
(1)位移公式(物体的运动方程).
(2)位置增量(物体的位移).
(3)在一段时间内物体的平均速度.
(4)物体在时刻t的瞬时速度.
板书设计
§3.1.1 导数的概念
(一)——曲线的切线
1.切线:
曲线C:
y=f(x)上有两点P(x0,y0)、Q(x0+Δx,y0+Δy),当点Q沿着曲线无限接近于点P,即Δx→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.
2.切线的斜率:
设切线PT的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,即
.
课本例题
例:
曲线方程y=x2+1,求在点P(1,2)处切线的斜率、方程.
精选例题
例1.求f(x)=x3+2x+1在点(1,4)处的切线方程.
例2.求f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角.
例3.求y=sinx在点()处的切线方程.
例4.y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐标.
课堂练习
1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求:
(1)点A处的切线的斜率;
(2)点A处的切线方程.
2.求y=x2+1在P(-2,5)处的切线方程.
课后作业
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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