辽宁省辽阳市中考数学试题及参考答案word解析版.docx
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辽宁省辽阳市中考数学试题及参考答案word解析版
2013年辽宁省辽阳市中考数学试题及参考答案与解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所列出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.-2的相反数是( )
A.-2B.2C.
D.
2.下列运算正确的是( )
A.(-x)2•x3=x5B.x3•x4=x12C.(xy3)2=xy6D.(-2x2)3=-6x6
3.下列几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.数据4,5,8,6,4,4,6的中位数是( )
A.3B.4C.5D.6
5.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD相交于点F,∠EDF=38°,则∠DBE的度数是( )
A.25°B.26°C.27°D.38°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是( )
A.1B.
C.
D.2
7.如图,A、B是反比例函数
(x>0)图象上的两点,AC⊥y轴于点C,BD⊥y轴于点D,OB与AC相交于点E,记△AOE的面积为S1,四边形BDCE的面积为S2,则S1、S2的大小关系是( )
A.S1=S2B.S1<S2C.S1>S2D.无法确定
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc<0;②b2-4ac>0;③3a+c<0;④16a+4b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为 .
10.因式分解:
2x2-8= .
11.数据2,3,4,6,a的平均数是4,则a= .
12.已知点O是△ABC外接圆的圆心,若∠BOC=110°,则∠A的度数是 .
13.已知圆锥的侧面积为15πcm2,底面半径为3cm,则圆锥的高是 .
14.如图,在2×3的正方形网格格点上有两点A、B,在其它格点上随机取一点记为C,能使以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为 .
15.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P在BC边上,且BP=1,Q为对角线AC上的一个动点,则△BPQ周长的最小值为 .
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形,且A1、A2、A3…在AC边上,B1、B2、B3…在AB边上.则线段BnCn的长用含n的代数式表示为 .(n为正整数)
三、解答题(本大题共2个小题,每小题8分,共16分)
17.计算:
.
18.先化简,再求值:
,其中
,
.
四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
19.某市中小学开展“关注校车,关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动.某中学为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查了部分学生,将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查共抽查了多少名学生?
(2)将图①、图②补充完整;
(3)求图②中“骑自行车”所对应的扇形圆心角的度数;
(4)如果该校共有1000名学生,请你估计乘公交车上学的学生约有多少名?
20.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(小球除颜色外其余都相同),其中黄球2个,篮球1个.若从中随机摸出一个球,摸到篮球的概率是
.
(1)求口袋里红球的个数;
(2)第一次随机摸出一个球(不放回),第二次再随机摸出一个球,请用列表或画树状图的方法,求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
21.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品,销售完成后共获利2200元,其中甲种商品每件进价60元,售价70元;乙种商品每件进价50元,售价65元.
(1)求该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品,且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同,甲种商品按原售价出售,而乙种商品降价销售,要使第二次购进的两种商品全部售出后,获利不少于1800元,乙种商品最多可以降价多少元?
22.如图,已知CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接AD、AC,点F在DC延长线上,连接AF,且∠FAC=∠CAB.
(1)求证:
AF为⊙O的切线;
(2)若AD=10,sin∠FAC=
,求AB的长.
六、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
23.如图,海中有一个小岛C,今有一货船由西向东航行,在A处测得小岛C在北偏东60°方向,货船向正东方向航行16海里到达B处,在B处测得小岛C在北偏东15°方向,求此时货船与小岛C的距离.(结果精确到0.01海里)(参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
24.某商场以每台360元的价格购进一批计算器,原售价每台600元,现为了促销,商场采取如下方式:
买一台单价为590元,买两台每台都为580元,依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减10元,但最低不能低于每台400元.某单位一次性购买该计算器x台,实际购买单价为y元.(x为正整数)
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若该单位一次性购买该计算器不超过20台,购买多少台时,商场获利最大?
最大利润是多少?
七、解答题(本题12分)
25.已知△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点P在△ABC内部,连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE;将BP绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点O.
(1)如图a,当点P在BC边上时,求证:
OA=OB;
(2)如图b,当点P在△ABC内部时,
①OA=OB是否成立?
请说明理由;
②直接写出∠BPC为多少度时,AB=DE.
八、解答题(本题14分)
26.如图,直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于点A,点B的坐标为(2,3)抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式,并验证点B是否在抛物线上;
(2)作BD⊥OC,垂足为D,连接AB,E为y轴左侧抛物线点,当△EAB与△EBD的面积相等时,求点E的坐标;
(3)点P在直线AC上,点Q在抛物线y=-x2+bx+c上,是否存在P、Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所列出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.-2的相反数是( )
A.-2B.2C.
D.
【知识考点】相反数.
【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
【解答过程】解:
-2的相反数是2,
故选:
B.
【总结归纳】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.下列运算正确的是( )
A.(-x)2•x3=x5B.x3•x4=x12C.(xy3)2=xy6D.(-2x2)3=-6x6
【知识考点】同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【思路分析】根据同底数幂的乘法的性质,幂的乘方的性质,积的乘方的性质,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答过程】解:
A、(-x)2•x3=x2•x3=x5,选项正确;
B、x3•x4=x7,选项错误;
C、(xy3)2=x2y6,选项错误;
D、(-2x2)3=-8x6,选项错误.
故选:
A.
【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键.
3.下列几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是( )
A.
B.
C.
D.
【知识考点】简单几何体的三视图.
【思路分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【解答过程】解:
A、圆柱主视图、左视图都是长方形,俯视图是圆,故此选项错误;
B、四棱台主视图、左视图都是梯形,俯视图是“回”字形,故此选项错误;
C、三棱柱主视图、左视图都是长方形,俯视图是三角形,故此选项错误;
D、长方体主视图、俯视图和左视图都是长方形,故此选项正确;
故选:
D.
【总结归纳】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
4.数据4,5,8,6,4,4,6的中位数是( )
A.3B.4C.5D.6
【知识考点】中位数.
【思路分析】根据中位数的概念求解.
【解答过程】解:
这组数据按照从小到大的顺序排列为:
4,4,4,5,6,6,8,
则中位数为:
5.
故选:
C.
【总结归纳】本题考查了中位数的知识:
将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD相交于点F,∠EDF=38°,则∠DBE的度数是( )
A.25°B.26°C.27°D.38°
【知识考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题).
【思路分析】根据翻折的性质可得∠1=∠2,根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠3,从而得到∠2=∠3,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【解答过程】解:
由翻折的性质得,∠1=∠2,
∵矩形的对边AD∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
在△BDE中,∠2+∠3+∠EDF=180°-90°,
即2∠2+38°=90°,
解得∠2=26°,
∴∠DBE=26°.
故选:
B.
【总结归纳】本题考查了平行线的性质,翻折变换的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是( )
A.1B.
C.
D.2
【知识考点】三角形的面积;角平分线的性质;勾股定理.
【思路分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,利用勾股定理列式求出AB,再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可.
【解答过程】解:
如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,
∴DE=CD,
由勾股定理得,
,
S△ABC=
AB•DE+
AC•CD=
AC•BC,
即
×5•CD+
×3•CD=
×3×4,
解得CD=
.
故选:
C.
【总结归纳】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,三角形的面积,勾股定理,熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键.
7.如图,A、B是反比例函数
(x>0)图象上的两点,AC⊥y轴于点C,BD⊥y轴于点D,OB与AC相交于点E,记△AOE的面积为S1,四边形BDCE的面积为S2,则S1、S2的大小关系是( )
A.S1=S2B.S1<S2C.S1>S2D.无法确定
【知识考点】反比例函数系数k的几何意义.
【思路分析】根据图形、三角形的面积公式(反比例函数系数k的几何意义)易得△AOC和△OBD的面积相等,都减去公共部分△OCE的面积可得S1、S2的大小关系.
【解答过程】解:
设点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),
∵A、B在反比例函数
上,
∴xAyA=2,xByB=2,
∴S△AOC=
xAyA=1;S△OBD=
xByB=1.
∴S△AOC=S△OBD,
∴S△AOC-S△OCE=S△OBD-S△OCE,
∴S△AOE=S梯形ECDB;
又∵△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2,
∴S1=S2.
故选:
A.
【总结归纳】本题考查了反比例函数系数k的几何意义.解答本题时采用了“数形结合”的数学思想.
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc<0;②b2-4ac>0;③3a+c<0;④16a+4b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【知识考点】二次函数图象与系数的关系.
【思路分析】由抛物线的开口方向,抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号,即得abc的符号;
由抛物线与x轴有两个交点判断即可;
由抛物线的对称轴为直线x=1,可得b=-2a,然后把x=-1代入方程即可求得相应的y的符号;
根据对称轴和图可知,抛物线与x轴的另一交点在3和4之间,所以当x=4时,y>0,即可得16a+4b+c>0.
【解答过程】解:
由开口向上,可得a>0,又由抛物线与y轴交于负半轴,可得c<0,然后由对称轴在y轴右侧,得到b与a异号,则可得b<0,abc>0,故①错误;
由抛物线与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,故②正确;
由抛物线的对称轴为直线x=1,可得b=-2a,再由当x=-1时y<0,即a-b+c<0,3a+c<0,故③正确;
根据对称轴和图可知,抛物线与x轴的另一交点在3和4之间,所以当x=4时,y>0,即可得16a+4b+c>0,故④正确,
故选:
C.
【总结归纳】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为 .
【知识考点】科学记数法—表示较小的数.
【思路分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答过程】解:
0.0000025=2.5×10-6,
故答案为:
2.5×10-6.
【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
10.因式分解:
2x2-8= .
【知识考点】因式分解-提公因式法;因式分解-运用公式法.
【思路分析】观察原式,找到公因式2,提出即可得出答案.
【解答过程】解:
原式=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).
【总结归纳】本题考查提公因式法和公式法分解因式,是基础题.
11.数据2,3,4,6,a的平均数是4,则a= .
【知识考点】算术平均数.
【思路分析】根据平均数的概念求解.
【解答过程】解:
由题意得,
,
解得:
a=5.
故答案为:
5.
【总结归纳】本题考查了平均数的知识:
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.
12.已知点O是△ABC外接圆的圆心,若∠BOC=110°,则∠A的度数是 .
【知识考点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
【思路分析】分类讨论:
当△ABC为锐角三角形,即点A在优弧BC上,可根据圆周角定理求得∠A=
∠BCO=55°;当△ABC为钝角三角形,即点A在劣弧BC上,可根据圆内接四边形的性质得到∠A′=125°.
【解答过程】解:
当△ABC为锐角三角形,即点A在优弧BC上,则∠A=
∠BCO=
×110°=55°;
当△ABC为钝角三角形,即点A在劣弧BC上,则∠A′=180°-∠A=180°-55°=125°,
即∠A的度数为55°或125°.
故答案为55°或125°.
【总结归纳】本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
13.已知圆锥的侧面积为15πcm2,底面半径为3cm,则圆锥的高是 .
【知识考点】圆锥的计算.
【思路分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边,求圆锥的高就可以转化为求母线长.圆锥的侧面的展开图是扇形,扇形的半径就等于母线长.
【解答过程】解:
侧面展开图扇形的弧长是6π,设母线长是r,则
×6π•r=15π,
解得:
r=5,
根据勾股定理得到:
圆锥的高
,
故答案为4cm.
【总结归纳】本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的母线,高,底面半径的关系,以及圆锥侧面展开图与圆锥的关系,是解题的关键.
14.如图,在2×3的正方形网格格点上有两点A、B,在其它格点上随机取一点记为C,能使以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为 .
【知识考点】等腰三角形的判定;概率公式.
【思路分析】首先找出可以组成的所有三角形的个数,然后再看其中的等腰三角形的个数,由此可得到所求的概率.
【解答过程】解:
∵在格点上随机取一点记为C,以A、B、C三点为顶点的三角形有4×3-2=10个,其中等腰三角形有4个(图中所示),
∴以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为:
.
故答案为
.
【总结归纳】本题考查了概率公式:
概率=所求情况数与总情况数之比.同时考查了等腰三角形的判定.
15.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P在BC边上,且BP=1,Q为对角线AC上的一个动点,则△BPQ周长的最小值为 .
【知识考点】正方形的性质;轴对称-最短路线问题.
【思路分析】根据正方形的性质,点B、D关于AC对称,连接PD与AC相交于点Q,根据轴对称确定最短路线问题,点Q即为所求的使△BPQ周长的最小值的点,求出PC,再利用勾股定理列式求出PD,然后根据△BPQ周长=PD+BP计算即可得解.
【解答过程】解:
如图,连接PD与AC相交于点Q,
此时△BPQ周长的最小,
∵正方形ABCD的边长为4,BP=1,
∴PC=4-1=3,
由勾股定理得,
,
∴△BPQ周长=BQ+PQ+BP=DQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6.
故答案为:
6.
【总结归纳】本题考查了轴对称确定最短路线问题,正方形的性质,熟记正方形的性质并确定出点Q的位置是解题的关键.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形,且A1、A2、A3…在AC边上,B1、B2、B3…在AB边上.则线段BnCn的长用含n的代数式表示为 .(n为正整数)
【知识考点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质.
【思路分析】根据题意得出△BB1C1∽△BAC,进而求出B1C1=
,同理可得出:
B2C2=
,B3C3=
…进而得出答案.
【解答过程】解:
由题意可得:
B1C1∥AC,
∴△BB1C1∽△BAC,
∴
,
∵CC1=B1C1,
∴
,
解得:
B1C1=
,
故A1B1=
,AA1=
,
同理可得出:
B2C2=
,B3C3=
…
∴线段BnCn的长用含n的代数式表示为:
.
故答案为:
.
【总结归纳】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,得出线段BnCn长的变化规律是解题关键.
三、解答题(本大题共2个小题,每小题8分,共16分)
17.计算:
.
【知识考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.
【思路分析】原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用负指数幂法则计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用立方根定义化简,计算即可得到结果.
【解答过程】解:
原式=4-1-4+1-2
=-2.
【总结归纳】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.先化简,再求值:
,其中
,
.
【知识考点】分式的化简求值.
【思路分析】先把括号里面进行通分,再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解,然后把除法转化成乘法,再进行约分,最后把a、b的值代入进行计算即可.
【解答过程】解:
原式
,
把
,
代入上式得:
原式
.
【总结归纳】此题考查了分式的化简求值,用到的知识点是完全平方公式、平方差公式、通分、约分,解答此题的关键是把分式化到最简,然后代值计算.
四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
19.某市中小学开展“关注校车,关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动.某中学为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查了部分学生,将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查共抽查了多少名学生?
(2)将图①、图②补充完整;
(3)求图②中“骑自行车”所对应的扇形圆心角的度数;
(4)如果该校共有1000名学生,请你估计乘公交车上学的学生约有多少名?
【知识考点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.
【思路分析】
(1)利用频数÷所占百分比=总数计算即可;
(2)步行人数=总数-骑车人数-乘公交车人数-其他;再计算出百分比填图即可;
(3)用360°×“骑自行车”人数所占百分比;
(4)利用样本估计总体的方法计算即可.
【解答过程】解:
(1)12÷20%=60人;
(2)步行人数:
60-12-24-6=18,
所占百分比:
18÷60×100%=30%;
乘公交车人数所占百分比:
24÷60×100%=40%,
如图所示:
(3)“骑自行车”所对应的扇形圆心角的度数:
360°×20%=72°;
(4)乘公交车上学的学生人数:
1000×40%=400名.
【总结归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(小球除颜色外其余都相同),其中黄球2个,篮球1个.若从中随机摸出一个球,摸到篮球的概率是
.
(1)求口袋里红球的个数;
(2)第一次随机摸出一个球(不放回),第二次再随机摸出一个球,请用列表或画树状图的方法,求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率.
【知识考点】概率公式;列表法与树状图法.
【思路分析】
(1)设口袋里红球的个数为x,根据题意列出方程,求出方程的解得到x的值即可;
(2)列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况数,即可求出所求概率.
【解答过程】解:
(1)设红球有x个,
根据题意得:
,
解得:
x=1,
经检验x=1是原方程的根.
则口袋中红球有1个;
(2)列表如下:
红
黄
黄
蓝
红
---
(黄,红)
(黄,红)
(蓝,红)
黄
(红,黄)
---
(黄,黄)
(蓝,黄)
黄
(红,黄)
(黄,黄)
---
(蓝,黄)
蓝
(红,蓝)
(黄,蓝)
(黄,蓝)
---
所有等可能的情况有12种,其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种,
则
.
【总结归纳】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
21.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品,销
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