第44届IMO试题.docx
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第44届IMO试题
第44届IMO试题
1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集,求证:
存在S中的100个元素T1 ,T2 ,...,T100 使得集合
Aj={X+Tj | X 属于 A} (j=1,2,...,100)
是两两不交的。
2. 求所有的正整数对(a,b),使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。
3. 一凸六边形,任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍,求证这个六边行的每个内角都是120o。
4. 圆内接四边形ABCD,从D向分别边BC,CA,AB引垂线,垂足分别为P,Q,R。
求证:
PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。
5. 设n是一个正整数,x1,x2,...,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn,求证:
a. (∑i,j |xi - xj| )2 ≤ (2/3) (n2 - 1) ∑i,j (xi - xj)2。
b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。
6. 设p是一个素数,求证存在一个素数q使得对每个整数n,np-p不能被q整除。
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