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数学建模论文
摘要
本文对首先对A,B,C,D四个城市的污染物浓度进行了科学的分析,建立了层次模型,对四个城市的空气质量进行了评价和排序。
再通过污染物浓度与气象参数之间的关系图,确定了多变量回归模型,给出了各个污染物浓度与气象参数之间的关系式。
并进行了检验与预测。
问题一中,我们通过合理的假设,将污染物浓度转化为空气质量指数(API)。
再通过API对四个城市在这55天内的空气质量进行统计,建立层次模型,并进行求解。
从而计算出四个城市空气质量的排序为:
C>B>A>D。
问题二中,在该问中,我们通过分析,建立了各个污染物浓度与天气参数(大气压、温度、近地面湿度、平均风速)的多变量回归模型。
通过对回归模型的求解,得到了各个污染物浓度与气象参数之间的关系,例如SO2与气象参数之间的关系为:
。
本文最大的特色是进行了合理的假设,在第一问中将污染物浓度转化为API值,从而使问题简单化,由此建立了层次模型;在第二问中建立了多变量的回归模型,得到了较为满意的污染物浓度与气象参数之间的关系式,从而对未来的污染物浓度进行了预测,并与真实数据进行了比较。
关键词:
层次模型、matlab、回归模型
一、问题提出
大气是指包围在地球外围的空气层,是地球自然环境的重要组成部分之一。
人类生活在大气里,洁净大气是人类赖于生存的必要条件。
一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水,尚能维持生命,但超过5分钟不呼吸空气,便会死亡。
随着地球上人口的急剧增加,人类经济增长的急速增大,地球上的大气污染日趋严重,其影响也日趋深刻,如由于一些有害气体的大量排放,不仅造成局部地区大气的污染,而且影响到全球性的气候变化。
因此,加强大气质量的监测和预报是非常必要。
目前对大气质量的监测主要是监测大气中
、
、悬浮颗粒物(主要为PM10)等的浓度。
附件一给出了城市A、B、C、D从2009年6月1日至2009年7月25日测量的污染物含量及城市A的气象参数的数据;附件二给出了城市A从2009年7月26日至2009年7月30日测量的污染物含量及气象参数的数据。
请解决下面两个问题:
(1)建立由污染物浓度评价空气质量的数学模型,然后利用附件一中的数据对四个城市的空气质量进行排序。
(2)分析城市A的空气质量(指
、
、PM10的浓度)与气象参数之间的关系,并利用附件二中的数据进行检验。
二、基本假设
1、附件中的数据具有权威性,值得相信,具有使用价值;
2、根据空气污染指数(API)来划分为5个等级:
API
50,空气质量为优,相当于国家空气质量一级标准;
,表明空气质量良好,相当于达到国家质量二级标准;
,表明空气质量为轻度污染,相当于国家空气质量三级标准;
表明空气质量差,称之为中度污染,为国家空气质量四级标准;API>300表明空气质量极差,已严重污染;
三、符号说明
符号
意义
单位
备注
I
空气污染指数(API)
无量纲
SO2浓度
mg/m3
NO2浓度
mg/m3
PM10浓度
mg/m3
p
大气压强
mmhg
t
地面温度
℃
f
近地面空气中的湿度
%
v
地面平均风速
m/s
四、数据准备及问题分析
5.1数据准备
由于附件给出的是两个月内的
、
、悬浮颗粒物(主要为PM10)等的浓度数据,数据比较多不利于我们分析问题,所以我们需要对数据进行处理。
为了将问题简化,我们根据空气污染指数对应的污染物浓度限值,将浓度值转化为API值,利用C语言编程实现转化(附录)。
空气污染指数的计算方法:
①基本计算式:
设I为某污染物的污染指数,C为该污染物的浓度。
则:
式中:
与
:
在API分级限值表(附录表1)中最贴近C值的两个值,
为大于C的限值,
为小于C的限值。
与
:
在API分级限值表(附录表1)中最贴近I值的两个值,
为大于I的值,
为小于I的值。
②各种污染参数的污染分指数都计算出以后,取最大者为该区域或城市的空气污染指数API
API=max(Il,I2……Ii……In)
5.1问题分析
(1)最大特征值λ(max)的Matlab计算方法:
[V,D]=eig(A),其中A为待计算特征值的矩阵,D为对角矩阵,其对角元素为A的特征值,最大的即为λ(max)。
(2)一致性指标CI计算方法:
CI=(λ-n)/(n-1);
(其中λ为矩阵A的最大特征值,n为矩阵的阶数)
(3)随即一致性指标RI的计算方法:
RI与n有如下关系,如表1
表1RI与n的关系表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
(5)权重计算方法
计算矩阵A的特征根及特征向量,将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。
五、模型的建立与求解
5.1建立数学模型给出四个城市的空气质量排序问题
5.1.1将研究目标(Z)、因素(P)、对象(C)按相关关系分成目标层Z、准则层P、对象层C。
图1
5.1.2给出空气质量一级,二级,三级,四级和五级两两成对比较的判断矩阵P
表2各空气质量等级
污染级别
一级
二级
三级
四级
五级
API
1
2
3
4
5
根据上图得出如下例两两成对比较的判断矩阵P
表3各空气质量等级比较矩阵
权重
五级
四级
三级
二级
一级
五级
1/3
1
5/4
5/3
5/2
5
四级
4/15
4/5
1
4/3
2
4
三级
1/5
3/5
3/4
1
3/2
3
二级
2/15
2/5
1/2
2/3
1
4
一级
1/15
1/5
1/4
1/3
1/2
1
由表中数据,计算可知:
λ(max)=5.00,CI=0.00,RI=1.12,
CR=0.00<0.1。
因为CR=0.00<0.1,所以此排序有满意的一致性。
5.1.3给出对象层对准则层的各个因素的判断矩阵并进行分析。
由于各个城市只存在污染程度的不同,所以它们两者之间各因素之间的关系。
表46~7月空气污染指数统计
城市
一级
二级
三级
四级
五级
A
11
44
0
0
0
B
21
34
0
0
0
C
43
12
0
0
0
D
16
27
2
0
0
根据表中数据,类比
(2)中方法,计算出各种不同污染等级对不同城市的权重
表5空气质量一级对4个城市的不同权重表
A
B
C
D
权重
A
1
11/21
11/43
11/16
0.1209
B
21/11
1
21/43
21/16
0.2308
C
43/11
43/21
1
43/16
0.4725
D
16/11
16/21
16/43
1
0.1758
由表中数据,计算可知:
λ(max)=4.00,CI=0.00,RI=0.90,
CR=0.00<0.1
同理,可以计算出其余空气质量等级对10个城市的不同权重。
计算方法类似,用matlab软件的计算过程详见本文附表。
表6空气质量二级对4个城市的不同权重表
A
B
C
D
权重
A
1
22/17
11/3
22/13
0.3793
B
17/22
1
17/6
17/13
0.2931
C
3/11
6/17
1
6/13
0.1034
D
13/22
13/17
13/6
1
0.2241
由表中数据,计算可知:
λ(max)=4.00,CI=0.00,RI=0.90,
CR=0.00<0.1
表7空气质量三级对4个城市的不同权重表
A
B
C
D
权重
A
0
0
0
0
0
B
0
0
0
0
0
C
0
0
0
0
0
D
0
0
0
1
1
由表中数据,计算可知:
λ(max)=1,CI=0.00,RI=1.49,
CR=0.00<0.1
表8空气质量对四个城市的总权重表
1(1/6)
2(1/3)
3(1/2)
4
5
总权重
A
0.1209
0.3793
0
0
0
0.14658
B
0.2308
0.2931
0
0
0
0.13617
C
0.4725
0.1034
0
0
0
0.11322
D
0.1758
0.2241
1
0
0
0.604
由表8中总权重排名为:
C>B>A>D,即该四个城市的空气质量从低到高排名依次是:
C、B、A、D。
5.2分析城市A的空气质量(指
、
、PM10的浓度)与气象参数之间的关系
我们首先对SO2与各个气象因子之间的关系进行图像分析,下图2是SO2与大气压之间的关系图(其他关系图见附录):
图2
由于SO2的浓度高低并不是由单一因素决定的,而是由于地面平均风速、温度以及相对湿度等气象因子共同影响的结果。
因此,可以建立多元回归预测模型,对其浓度变化规律进行分析和预测,从而实现对可吸入颗粒物(PM10)浓度的最优控制
5.2.1问题二模型的建立
当前,对于大气污染物浓度预测所采取的方法主要是从污染物排放量高低为基础进行预测的,典型的预测模型有:
箱式模型、高斯扩散模式、多源扩散模式、线源扩散模式、面源扩散模式和总悬浮微粒扩散模式。
随着灰色系统、模糊数学和人工神经网络的发展,预测方法又出现了以污染物排放相关因素为基础的模型,如:
灰色预测模型(GM)、多元统计分析理论、模糊识别方法和人工神经网络预测方法。
本题研究主要采用多元统计的方法进行分析。
在许多实际问题中,影响结果y的因素往往不止一个,而是多个变量x1,x2,···,xp与y之间存在着如下线性关系:
(1)
其中:
···,
是回归系数;x1,x2,···,xp是p个可以精确测量或控制的变量,及回归因子;
是不可观测的随机误差,满足
(2)
一般地,我们称由公
(1)和
(2)确定的模型为多元线性回归模型,记为:
(3)
具体方法为:
(1)计算各变量的平均值:
(4)
(2)根据公式(5)计算出矩阵Lij和矩阵Li:
(
)(5)
(3)根据公式(6)求出回归系数的估计值:
(6)
即可求出回归模型:
5.2.2问题二模型的求解
根据多元线性回归法的基本理论,分别考虑温度、相对湿度和地面平均风速及大气压4个自变量,自变量分别以t、f、v、p表示,变量用
表示,即A城市吸入颗粒物(PM10)浓度,mg/m3。
则,可设数学模型为:
以环境空气质量自动监测子站监测的城区可吸入颗粒物(PM10)浓度数据,和相应的地面平均风速、气温、相对湿度、大气压4个气象因子为原始数据,先根据公式(4)计算出各变量的平均值:
再按公式(5)运用MATLAB软件计算Lij和Liy,如下所示:
最后根据公式(6)计算出回归系数的估计值:
故根据多元线性回归方法,建立的城市A的SO2的浓度拟合模型为:
利用上面类似的方法可以求到:
城市A的NO2的浓度的拟合模型为:
城市A的PM10的浓度的拟合模型为:
5.2.3问题二结果的分析及验证
分别用F检验和复相关系数R用来判别回归方程在统计上是否合理。
F检验统计量F的计算公式见式(7):
其中,m为回归变量的自由度,n为观察值的组数,回归平方和U和残差平方和Q的计算公式见公式(8):
(8)
复相关系数R的计算公式见式(9):
(9)
标准误差
的计算公式见式(10):
(10)
其中,回归平方和U和残差平方和Q的计算公式见公式(8)。
1.SO2函数关系的检验:
选择所建预测模型的显著性水平为0.05,而F检验的统计了F=17.18>F0.05,预测模型在统计意义上是显著成立的。
预测模型的复相关系数R2为0.9357,表明SO2浓度与气象因子(p、t、f、v)之间的关系为高度正相关。
预测模型的标准误差由表达式(10)计算得0.1028,因此,表明预测模型的拟合程度很高。
2.各个污染物与气象参数之间关系式的检测(表):
表9各个污染物的检验
F0.05
F
R2
标准误差
SO2
0.05
17.18
0.9357
0.0139
NO2
0.05
29.13
0.7426
0.0051
PM10
0.05
17.07
0.6015
0.0951
由表9可以看出,我们建立的各个污染物与天气参数之间的关系式都是合理的。
5.2.4污染物浓度预测的效果验证
将附件2中的数据代入我们所得到的关系式进行验证:
平均预测值
平均真实值
误差
相对误差
SO2
0.0229
0.0254
0.0025
0.09844
NO2
0.031365
0.0322
0.000835
0.025934
PM10
-0.06863
0.0454
0.114027
2.5116
显然SO2、NO2与气象参数之间的关系式比较符合,而PM10与气象参数之间的关系式不是很合理。
六、建模感想
通过这次数学建模,让我们感受到了数学建模的乐趣并锻炼了我们许多方面的能力。
在数学建模的过程中,我们了解并掌握了许多新的知识,并且对已有的知识有了更深层次的理解。
数学建模不仅可以扩宽我们的知识面,而且还可以锻炼我的计算机综合应用能力,没有这种能力就很难写好一篇文章,更不可能写出一篇好的建模文章来,同样不能熟练地掌握一些常用的数学软件,也很难算出最终的结果。
还有,我认为坚持不懈的毅力也是很重要的,没有了这种精神,一旦遇到问题,就会退缩,就不可能完成作业。
数学建模是可以锻炼我们各方面能力的,我们可以在建模的过程中体会乐趣,赢得成功,并受益一生。
七、模型的评价与推广
7.1:
模型的评价
对于我们所建立的层次模型,其优点在于:
(1)系统性把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策;
(2)实用性把定性和定量方法结合起来,能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题;
(3)简洁性结算非常简单,并且所得结果简单明了,容易被了解和掌握。
层次模型的局限性在于,第一,只能从原有方案中优选,而不能生成新方案;第二,它比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;第三,从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人所接受。
对于我们在第二问中所建立的多变量回归模型:
其优点在于将问题线性化,比较简单、明了、易于计算。
但这种模型从在着天然的缺陷,那就是污染物浓度与天气参数的波动一般较为明显,用线性关系难以反映这种波动,很难达到较高的拟合度。
7.2:
模型的推广
本文所建立的层次模型采用的是一种比较简单的层次分析法,如果将该模型进行推广,我们还可以从中得到其它较为高级的模型,例如不完全层次结构模型、递阶层次结构模型以及更复杂的层次结构模型。
这样我们就可以解决更多的和更为复杂的层次问题,例如方案抉择、系统可靠性等问题。
八、参考文献
[1]姜启源等,《数学模型》(第三版),高等教育出版社,2003年8月
[2]杨启帆主编,《数学建模》,高等教育出版社,2005年5月
[3]田丽萍、曹思越主编,《高等数学》,西南交通大学出版社,2005年8月
[4]李志林、欧宜贵,《数学建模及典型案例分析》,化学工业出版社,2006年12月
[5]《污染分指数是怎样计算出来的》,,2009.6.23
九、附录
9.1附录清单
1.空气污染指数(API)对应的污染物浓度限值;
2.空气污染指数范围及相应的空气质量类别;
3.污染物浓度转换为API的C语言程序及结果;
4.问题一的matlAB程序及结果;
5.SO2浓度与各个气象参之间的关系图。
9.2附录内容
1.空气污染指数(API)对应的污染物浓度限值:
2.空气污染指数范围及相应的空气质量类别:
3.污染物浓度转换为API的C语言程序及结果:
#include
main()
{
doubleS[55],N[55],M[55],IS[55],IN[55],IM[55],I[55];
doubleCS[4]={0.05,0.15,0.8,1.6},
CN[4]={0.08,0.12,0.28,0.565},
CM[4]={0.05,0.15,0.35,0.42};
intA[4]={50,100,200,300},i;
printf("输入SO2的浓度\n");
for(i=0;i<=54;i++)
scanf("%lf",&S[i]);
printf("输入NO2的浓度\n");
for(i=0;i<=54;i++)
scanf("%lf",&N[i]);
printf("输入PM10的浓度\n");
for(i=0;i<=54;i++)
scanf("%lf",&M[i]);
for(i=0;i<=54;i++)
{
if(S[i]<=CS[0])
IS[i]=A[0];
elseif(S[i]<=CS[1])
IS[i]=((A[1]-A[0])/(CS[1]-CS[0]))*(S[i]-CS[0])+A[0];
elseif(S[i]<=CS[2])
IS[i]=((A[2]-A[1])/(CS[2]-CS[1]))*(S[i]-CS[1])+A[1];
elseif(S[i]<=CS[2])
IS[i]=((A[3]-A[2])/(CS[3]-CS[2]))*(S[i]-CS[2])+A[2];
elseif(S[i]>CS[3])
IS[i]=CS[3]+1;
}
for(i=0;i<=54;i++)
{
if(N[i]<=CN[0])
IN[i]=A[0];
elseif(N[i]<=CN[1])
IN[i]=((A[1]-A[0])/(CN[1]-CN[0]))*(N[i]-CN[0])+A[0];
elseif(N[i]<=CN[2])
IN[i]=((A[2]-A[1])/(CN[2]-CN[1]))*(N[i]-CN[1])+A[1];
elseif(N[i]<=CN[2])
IN[i]=((A[3]-A[2])/(CN[3]-CN[2]))*(N[i]-CN[2])+A[2];
elseif(N[i]>CN[3])
IN[i]=CN[3]+1;
}
for(i=0;i<=54;i++)
{
if(M[i]<=CM[0])
IM[i]=A[0];
elseif(M[i]<=CM[1])
IM[i]=((A[1]-A[0])/(CM[1]-CM[0]))*(M[i]-CM[0])+A[0];
elseif(M[i]<=CM[2])
IM[i]=((A[2]-A[1])/(CM[2]-CM[1]))*(M[i]-CM[1])+A[1];
elseif(M[i]<=CM[2])
IM[i]=((A[3]-A[2])/(CM[3]-CM[2]))*(M[i]-CM[2])+A[2];
elseif(M[i]>CM[3])
IM[i]=CM[3]+1;
}
printf("该城市的API分别为:
\n");
for(i=0;i<=54;i++)
{
I[i]=IS[i];
if(I[i] I[i]=IN[i]; if(I[i] I[i]=IM[i]; printf("%3g\t",I[i]); } printf("\n"); } 4.问题一的matlAB程序及结果: 5.SO2浓度与各个气象参之间的关系图:
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