步步高高中数学理科文档11.docx
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步步高高中数学理科文档11
§1.1 集合的概念与运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的关系
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA).
(3)空集:
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅).
(4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个.
(5)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(2){1,2,3}={3,2,1}.( √ )
(3)∅={0}.( × )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则∁UP={2}.( √ )
2.(2013·广东)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于
( )
A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}
答案 D
解析 M={x|x=0或x=-2}={0,-2},N={0,2},
∴M∪N={-2,0,2}.
3.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
答案 C
解析 x-y∈
.
4.(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N等于( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M得M={x|-1 5.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________. 答案 解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3}, 因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0, 根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数, 则这个整数为2, 所以有f (2)≤0且f(3)>0, 即 所以 即 ≤a< . 题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3B.6C.8D.10 (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的“三性”. 答案 (1)D (2)2 解析 (1)由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y, 当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个; 当y=2时,x可取3,4,5,有3个; 当y=3时,x可取4,5,有2个; 当y=4时,x可取5,有1个. 故共有1+2+3+4=10(个),选D. (2)因为{1,a+b,a}= ,a≠0, 所以a+b=0,得 =-1, 所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条 件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( ) A.0B.1C.2D.3 (2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________. 答案 (1)C (2)0或 解析 (1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2. (2)∵集合A的子集只有两个,∴A中只有一个元素. 当a=0时,x= 符合要求. 当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a= . 故a=0或 . 题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集,可按含元素的个数依次写出;B⊆A不要忽略B=∅的情形. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数. 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 ,解得2 综上,m的取值范围为m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解; (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题. (1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( ) A.6个B.5个C.4个D.3个 (2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. 答案 (1)A (2)4 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个). (2)由log2x≤2,得0 即A={x|0 而B=(-∞,a), 由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4. 题型三 集合的基本运算 例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R,集合A= ,B= ,则A∩(∁RB)等于( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0 (2)(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或Venn图计算. 答案 (1)C (2)-1 1 解析 (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} ∴A∩(∁RB)={x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ={x|0≤x<2或x>4}. (2)先求出集合A,再根据集合的交集的特点求解. A={x|-5 B={x|(x-m)(x-2)<0},所以m=-1,n=1. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)设集合A= ,B={x∈Z|x-2>0},则A∩B=( ) A.{x|2 C.{2,3}D.{x|-1≤x<2} (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________. 答案 (1)B (2)1或2 解析 (1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2}, ∴A∩B={x∈Z|2 (2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件. ∴m=1或2. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义,然后对选项逐一验证. 答案 C 解析 因为2014=402×5+4, 又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以2014∈[4],故①正确; 因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4,所以③正确; 若a,b属于同一“类”,则有a=5n1+k,b=5n2+k, 所以a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来,如果a-b∈[0], 也可以得到a,b属于同一“类”,故④正确. 故有3个结论正确. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 设U为全集,对集合X,Y,定义运算“”,满足XY=(∁UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X(YZ)=( ) A.(X∪Y)∪(∁UZ) B.(X∩Y)∪(∁UZ) C.[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D.(∁UX)∪(∁UY)∪Z 答案 D 解析 因为XY=(∁UX)∪Y,所以YZ=(∁UY)∪Z, 所以X(YZ)=(∁UX)∪(YZ)=(∁UX)∪(∁UY)∪Z,故选D. 遗忘空集致误 典例: (5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况. 规范解答 解析 P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P; 当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=- , 为满足S⊆P可使- =-3或- =2, 即a= 或a=- .故所求集合为 . 答案 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如a=0时,S=∅;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解. 方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性. A组 专项基础训练 一、选择题 1.(2013·重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( ) A.{1,3,4}B.{3,4} C.{3}D.{4} 答案 D 解析 因为A∪B={1,2,3},全集U={1,2,3,4},所以∁U(A∪B)={4},故选D. 2.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素,而集合N只含有一个元素,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合. 3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( ) A.0或2B.0 C.1或2D.2 答案 D 解析 由题意,知 则a=2. 4.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q等于( ) A.{3,0}B.{3,0,2} C.{3,0,1}D.{3,0,1,2} 答案 C 解析 由P∩Q={0},得log2a=0,所以a=1,从而b=0, P∪Q={3,0,1}. 5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个C.6个D.8个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N的子集共有22=4个. 6.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.ABB.BA C.A=BD.A∩B=∅ 答案 B 解析 因为A={x|x2-x-2<0}, 所以A={x|-1 又B={x|-1 7.(2013·辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( ) A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2] 答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 8.设全集U为整数集,集合A={x∈N|y= },B={x∈Z|-1 A.3B.4C.7D.8 答案 C 解析 因为A={x∈N|y= }={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意,知题图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3}, 所以其真子集有: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个. 二、填空题 9.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________. 答案 -1或2 解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2. 10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可. 11.已知集合A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则A∩B=________. 答案 {x|-2≤x≤1} 解析 易知A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}.
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