数值分析作业题.docx
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数值分析作业题
第一章误差与算法
1.误差分为有模型误差,观测误差,方法误差,
舍入误差/,Taylor展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差.
2.插值余项是插值多项式的方法误差。
3•作为1/4的近似值,有几位有效数字?
0.24990.2499100,即m0,
1
|—0.2499|0.00010.510°30.510mn,即n3
4
22
—3.1428751...,作为圆周率的近似值,误差和误差限分
别是多少,有几位有效数字?
3.1428753.14159260.00126450.51020.51013
有3位有效数字.
*有效数字与相对误差的关系
4.利用递推公式计算积分
11\
Inxnexdx,n1,2,...,9
0,建立稳疋
的数值算法。
.〔nx—〔n^x]nx11〔n1x1.彳.on
Inxedxxdexenxedx1nIn1,n2,...,9
n0000n
该算法是不稳定的。
因为:
1|
1io
1
10
(In)n(InJ...
(1)nn!
(IJ
5.衡量算法优劣的指标有一时间复杂度,__空间复杂度_.
6.时间复杂度是指:
算法需耗费时间的度量.,两个n阶矩阵相乘的乘法次数是nL则称两个n阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为O(n3).
二代数插值
1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange和Newton插值多项
式,并写出误差估计式,以及验证插值多项式的唯一性。
x
0
1
4
f(x)
1
9
3
Lagrange:
设x
0,X1
1,X2
4;则f(x°)1,f(xj9,g3
对应K的标准基函数li(x)为:
l°(x)
(01))(04)4(x;)(x4)
h(x)
...
J(x)
...
因此,
所求插值多项式为:
£(x)f(xi)lj(x)....
i0
f()/\
R2(x)3!
(X0)(x1)(x4)
Newton:
构造出插商表:
xif(xi)—二三
01
198
43-2-5/2
所以,所求插值多项式为:
P2(x)f(x°)f[X0,xJ(XX。
)f[X°,X1,X2](Xx°)(xxj
18(x0)5(x0)(x1)
2
插值余项:
忌(x)f[0,1,4,x](x0)(x1)(x4)
设x0必1,则f(x。
)1,f(xj2,f'(x。
)OfX)1
写出插商表:
xi
f(xi)
——一
*■
0
1
0
1
0
1
a
1
1
1
a
1
0a-1
因此,所求插值多项式为:
P2(x)f(Xo)f[Xo,Xo](xXo)f[Xo,Xo,Xi](XXo)2f[Xo,Xo,Xi,Xi](XXo)2(Xx)10(x0)1(x0)21(x0)2(x1)
x32X21
插值余项:
R2(x)f[0,0,1,1,x]x2(x1)2
4.求f(x)=sinx在[a,b]区间上的分段线性插值多项式,并写出误
差估计式。
ba/
将[a,b]区间等分n份,h,Xjaih,i0,1,...,n
n
则插值标准基函数是:
l°(x)
xx1
0,xx1
xXj1
——,Xj1XXj
h
XXj1\
lj(x)」,XjxXj1,i1,...,n1
h/\
0,x[x0,Xj1)(Xj1,Xn]
ln(X)
Xn1
n
XXn
0,x
Xn1
n
Rsjn(Xj)lj(x)
j0
误差:
R(x)f(x)R(x)丄4丄Ch2
24
第三章数据拟合
1•已知数据如下:
X:
-2-1012
Y:
01210
2
P2a。
a1Xa?
x,则法方程
求二次多项式拟合函数
设所求二次多项式拟合函数为:
组为:
即:
50
10
a。
4
010
18
a1
0
1018
34
a2
2
解之得:
OOOO
第四章数值积分与微分
0.确定系数使得求积公式的代数精度尽可能咼
h
hf(x)dxAif(h)Agf(O)Af(h)
令:
f(x)1,x,x2,求得A1,A0,A-1,验证f(x)x3,x4…
1
1•用梯形、Simpson公式求Oexdx
ix1011
edx(e0e1)(1e)
022
2•确定Gauss积分:
'Xf(x)dxAof(x°)Af(xJ
(1)先求积分区间[0,1]上带权函数的正交多项式的零点。
令f(x)x2bxc,由正交多项式性质:
o、xf(x)dx0
、xf(x)xdx00
解之得:
b=c=,f(x)的零点为:
x0,x1
(2)再积分系数。
由该积分公式对1次、2次多项式精确成立,令f(x)=1,x
「xldx
\xxdx
-AxA/
5
解之得:
A0,A1
*复化梯形公式的推导,积分余项。
第五章
213xi6
1.用Doolittle分解求解457X211
285x3
1
(2)2
(1)1
(3)3
⑷2
(5)3
(7)1
(
2)1
(8)3
(5)5
1
00
L
2
10
1
31
2
13
U
0
31
0
05
再用前推和回代解出x1,x2,x3
Chapter6
10
4
4
X1
13
1.方程组4
10
8
X2
11
4
8
10
X3
25
求:
(1)写出Jacobi迭代公式、Gauss-Seidal迭代公式。
(2)判断两种迭代公式的收敛性
求迭代矩阵的谱半径,判断是否<1
1•求向量和矩阵1,2,的范数,
710
57
x=(2,-3,-1,7)T
2.求Cond(A),A
1710
A1
57
cond(A)||A1||||A||1717289
Chapter7
1
1•设Xo0,计算匚的迭代公式
a
Xk1Xk(2axQk=0,1,2..…
证明:
(1)该格式二阶收敛
(2)格式收敛的充要条件是|1ax0|1
由题意知,该迭代公式的迭代函数是:
(x)x(2ax),因为
'(x)22ax,'
(1)220
a
''(x)2a0
(2).
a&
2
rk1
axk1(2ax—)(axk
22"2k
2...r0
1
2k
(1ax。
)
1)2
所以,
因此,
f(兀)f'(Xk)
3
2
由牛顿迭代法:
1
2c
-x<
2_
0.5xk(3ex/)
因此,迭代格式为:
x00.7
x<10.5xk(3cx^2),k0,1,2,....
给定ODE,写出EULER公式,梯形公式,收敛阶。
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- 数值 分析 作业题
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