事件的关系与概率运算.docx
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事件的关系与概率运算.docx
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事件的关系与概率运算
事件的关系与概率运算
一、基础知识
1、事件的分类与概率:
(1)必然事件:
一定会发生的事件,用「表示,必然事件发生的概率
为100%
(2)不可能事件:
一定不会发生的事件,用-表示,不可能事件发生的概率为0%
(3)随机事件:
可能发生也可能不发生的事件,用字母AB,C进行表示,随机事件的概率P0,11
2、事件的交并运算:
(1)交事件:
若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件,记为A"B,简记为AB多个事件的交事件:
人门人2门…PlAn:
事件人人」1(,代同时发生
(2)并事件:
若事件C发生当且仅当事件A与事件B中至少一个发生
(即A发生或B发生),则称事件C为事件A与事件B的并事件,记为
aUb
多个事件的并事件:
AUA2U…UAn:
事件人小2」1(,代中至少一个发生
3、互斥事件与概率的加法公式:
(1)互斥事件:
若事件A与事件B的交事件Ap|B为不可能事件,则称A,B互斥,即事件A与事件B不可能同时发生。
例如:
投掷一枚均匀的骰子,设事件“出现1点”为事件A,“出现3点”为事件B,则两者不可能同时发生,所以A与B互斥
(2)若一项试验有n个基本事件:
几,阳||(,代,则每做一次实验只能产生其中一个基本事件,所以Al,A2,11(,An之间均不可能同时发生,从而Ai,A,|i(,A两两互斥
(3)概率的加法公式(用于计算并事件):
若AB互斥,则有
PAUB二paPB
例如在上面的例子中,事件AUB为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得PA二PB,所以根据加法公式可得:
6
-
paUb=papb=-
3
(4)对立事件:
若事件A与事件B的交事件Ap|B为不可能事件,并事件aUb为必然事件,则称事件B为事件A的对立事件,记为A,也是我们常说的事件的“对立面”对立事件概率公式:
P(A)=1-P(入),关于对立事件有几点说明:
1公式的证明:
因为代A对立,所以=-,即卩代入互斥,而AUZ",
所以P:
Ki=PaUA[=PAPA,因为PRiul,从而PA]=1-PA
2此公式也提供了求概率的一种思路:
即如果直接求事件A的概率所
讨论的情况较多时,可以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求
解
3对立事件的相互性:
事件B为事件A的对立事件,同时事件A也为事件B的对立事件
4对立与互斥的关系:
对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。
由对立事件的定义可知:
A,B对立,则A,B一定互斥;反过来,如果A,B互斥,则不一定A,B对立(因为可能AUB不是必然事件)
4、独立事件与概率的乘法公式:
(1)独立事件:
如果事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率,则称事件A与事件B相互独立。
例如投掷两枚骰子,设“第一个骰子的点数是1”为事件A,“第二个骰子的点数是2”为事件B,因为
两个骰子的点数不会相互影响,所以A,B独立
(2)若A,B独立,则A与B,B与A,A与B也相互独立
(3)概率的乘法公式:
若事件A,B独立,则AB同时发生的概率
11
PAB=PAPB,比如在上面那个例子中,PA=-,PB=-,设“第
66
一个骰子点数为1,且第二个骰子点数为2”为事件C,则
「,,1
PC二PAB二PAPB二
36
(4)独立重复试验:
一项试验,只有两个结果。
设其中一个结果为事
件A(则另一个结果为A),已知事件A发生的概率为p,将该试验重复进行n次(每次试验结果互不影响),则在n次中事件A恰好发生k次的概率为P二C;pk1-pz
①公式的说明:
以“连续投掷3次硬币,每次正面向上的概率为-”为例,
3
设A为“第次正面向上”,由均匀的硬币可知P(A)=丄,设B为“恰好2
2
次正面向上”,则有:
P(B)=P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AAA3)
而PAAA二Pa1a2A3二paaa
7fl")
PB=3--
②c;的意义:
是指在n次试验中事件A在哪k次发生的情况总数,例如在上面的例子中“3次投掷硬币,两次正面向上”,其中Cf代表了符合条件的不同情况总数共3种
5、条件概率及其乘法公式:
(1)条件概率:
(2)乘法公式:
设事件A,B,则A,B同时发生的概率
PAB;=PAPB|A
(3)计算条件概率的两种方法:
(以计算PB|A为例)
1计算出事件A发生的概率PA和A,B同时发生的概率PAB,再利
用PB|A二PAB即可计算
P(A)
2按照条件概率的意义:
即B在A条件下的概率为事件A发生后,事件B发生的概率。
所以以事件A发生后的事实为基础,直接计算事件B发生的概率
例:
已知6张彩票中只有一张有奖,甲,乙先后抽取彩票且不放回,求在已知甲未中奖的情况下,乙中奖的概率。
解:
方法一:
按照公式计算。
设事件A为“甲未中奖”事件B为“乙中奖”所以可得:
PA,事件AB为“甲未中奖且乙中奖;贝S
6
PAB=C^C-二丄。
所以PB|A二PAB=-
A6P(A)5
方法二:
按照条件概率实际意义:
考虑甲在抽取彩票后没有中奖,则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的,所以乙中奖的概率为PJ
5
6、两种乘法公式的联系:
独立事件的交事件概率:
PAB=PA卩B
含条件概率的交事件概率:
PAB二PA卩B|A
通过公式不难看出,交事件的概率计算与乘法相关,且事件A,B通常存在顺承的关系,即一个事件发生在另一事件之后。
所以通过公式可得出这样的结论:
交事件概率可通过乘法进行计算,如果两个事件相互独立,则直接作概率的乘法,如果两个事件相互影响,则根据题意分出事件发生的先后,用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件概率)
二、典型例题:
例1:
从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。
上述事件中,是对立事件的是()
A.①B.②④C.③
D.①③
思路:
任取两数的所有可能为〈两个奇数;一个奇数一个偶数;两个偶数/,若是对立事件,则首先应该是互斥事件,分别判断每种情况:
①两个事件不是互斥事件,②“至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”
的情况,所以不互斥,③“至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立,④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以不互斥。
综上所述,只有③正确
答案:
C
例2:
5个射击选手击中目标的概率都是I,若这5个选手同时射同一
个目标,射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是(
思路:
所求中有“至少一次”且若正面考虑问题所涉及的情况较多。
所以考虑从问题的对立面入手,设所求事件为事件A,则A为“射击三次
没有一次五人均命中目标”,考虑射击一次五人没有全命中目标的概率
答案:
C
例3:
甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为-,-,-,
534
则此密码能译出概率是()
A.丄B.-C.-D.
6055
59
60
思路:
若要译出密码,则至少一个人译出即可。
设事件A为“密码译出,”
正面分析问题情况较多,所以考虑利用对立面,A为“没有人译出密码;则
—11123
PA=111,从而PA=1-PA=-
I5八4八3丿55
答案:
C
例4:
某次知识竞赛规则如下:
在主办方预设的5个问题中,选手若能
连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮,假设某选手正
确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则
该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是思路:
因为选手回答4个问题就晋级下一轮,所以说明后两个回答结果正确,且第二次回答错误(否则第二次与第三次连续正确,就直接
2
晋级了),第一次回答正确错误均可。
所以-二®
5「5丿125
答案:
血
125
例5:
掷3颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率
思路:
首先判断出所求的为条件概率,即在3个数都不一样的前提下,含有1点的概率,设事件A表示“含有1点的概率”事件B为“掷出三个点数都不一样”事件AB为“三个点数都不一样且有一个点数为1”则有PAB二弩」,PB点」,所以由条件概率公式可得:
61869
答案:
2例6:
甲乙两人进行跳绳比赛,规定:
若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;
若乙赢两局,比赛结束,乙胜出。
已知每一局甲,乙两人获胜的概率
分别为|,|,则甲胜出的概率为(
思路:
考虑甲胜出的情况包含两种情况,一种是甲第一局获胜,一种
2,
“甲胜出”则PB二PAiPAiA2,依题意可得:
PA■,两场比赛
5相互独立,所以PA1A2二PPA2=3—
5525
从而PB=1^
25
答案:
A
例7:
如图,元件Ai=123,4通过电流的概率均为0.9,且各元件是否
通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是()
A.0.729B.0.8829C.0.864
D.0.9891
思路:
先分析各元件的作用,若要在M,N之间通过电流,则A4必须通过,且A1,A2这一组与A两条路至少通过一条。
设A为X,a2通过;则P(A)=0.92=0.81,设B为A3通过;P(B)=0,那么“至少通过一条”的概
率P=1-PAB=1-PAPB=0.019,从而M,N之间通过电流的概率为0.0190.9=0.8829
答案:
B
例&假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为1-p,且各引擎
是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行;要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p的取值范围是
思路:
所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高,所以只需计算两种引擎成功的概率即可,引擎正常运行的概率为p,设事件A为4引擎飞机成功飞行:
事件Ai为“个引擎正常运行”,可知引擎运行符合独立重复试验模型,所以p(a)乂4比1-卩厂,所以
PA二P^UAi二PA3PA4二c:
p31-p•c:
p4。
设事件B为2引擎飞机成功飞行”,则PB二P2,依题意:
PAPB,即C4P3pC4P4p2,进而解出1:
:
:
P:
:
1
3
答案:
B例9:
从1,2,3^1,15中,甲,乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到
的是5的倍数,则甲数大于乙数的概率是
思路一:
本题涉及条件概率的问题,设事件A为“甲取到的数比乙大;事件B为“甲取到的数是5的倍数”,则所求概率为PA|B。
若用公式求解,则需求出PAB,PB,事件AB即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数;由古典概型可计算出概率。
甲能够取得数为5,10,15,当甲取5时,乙有C4种取法,当甲取10时,乙有C9种取法,当甲取15时,乙有种取法,所以PAB,4*°4」,因为pb占」,所以
Aic70C155
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思路二:
本题处理条件概率时也可从实际意义出发,甲取5,10,15对乙的影响不同,所以分情况讨论。
当甲取的是5时,甲能从5的倍数中取出5的概率是-,此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4,所以
3
甲取出5且大于乙数的概率r上,同理,甲取的是10时,乙可取
314
的由9个数,所以甲取出10且大于乙数概率为P2-,甲取的是15
314
时,乙可取14个数,所以甲取出15且大于乙数的概率为P^-,所以
3
甲取到的数是5的倍数后,甲数大于乙数的概率为p=r+P2+r=?
14
答案:
-
14
小炼有话说:
本题两种处理条件概率的思路均可解决问题,但第二种方法要注意,所发生过的只是甲取到5的倍数,但不知是哪个数,所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。
即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后,抽到哪个5的倍数(具体分类讨论)且甲数大于乙数的概率”。
例10:
甲袋中有5只白球,7只红球;乙袋中由4只白球,2只红球,从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取一球,则取到白球的概率是
思路:
本题取到白球需要两步:
第一步先确定是甲袋还是乙袋,第二步再取球。
所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”,因为取袋在前,取球在后,所以取球阶段白球的概率受取袋的影响,为条件概率。
设事件A为“取出甲袋”事件B为“取出白球”分两种情况进行讨论。
若取出的是甲袋,则R=P(A),P(B|A),依题意可得:
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- 事件 关系 概率 运算