二面角大小的几种求法归类总结分析.docx
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二面角大小的几种求法归类总结分析
二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在其求解过程中,主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是,根据不同问题给出的几何背景,恰在此时当选择方法,作出二面角的平面角,有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)
一、定义法:
利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CACPCB/PCAMPCB=60,ZACB=90,求二面角B-PC-A的大小。
解:
过PC上的点D分别作DELAC于E,DF丄BC于F,连EF.
•••/EDF为二面角B-PC-A的平面角,设CD=av/PCAMPCB=60
•••CE=CF=2aDE=DF=3a,又v/ACB=90,「.EF=2.2a,
./EDF=3a23a28a21
23a23
1.在三棱锥P-ABC中,
APB=BPC=CPA=60求二面角A-PB-C的余弦值。
2.如图,已知二面角aaB等于120°PA^a,A€a,PBLB,B€®求/APB的大小。
3.
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,P』平面ABCDPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。
二、三垂线法:
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD中,ABCD^平行四边形,PAL平面ABCDPA=AB=a/ABC=30,求二面角P-BC-A的大小。
解:
如图,PAL平面BD,过A作AHLBC于H,连结PH,贝卩PHLBC
又AHIBC故/PHA是二面角P-BC-A的平面角。
在Rt△ABH中,AH二ABsinZABC二aSin30,;
2
在Rt△PHA中,3/PHA=PA/AH|2,则/PHA=a「如2
2
5.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,PA!
平面ABCDPA=AB=a
P-BC-A的大小。
6.如图,在三棱锥P-ABC中,PM平面ABCPA=ABAC=BC=1/ACB=90M是PB的中点。
⑴
求证:
BCLPC
(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。
7.
AABC中,/A=90°°AB=4AC=3平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M二面角P—AC—B的大小为45°求
(1)二面角P—BC—A的大小;
(2)二面角C—PB-A的大小。
8.
如图,已知△ABC中,AB丄BCS为平面ABC外卜的一点,SAL平面ABCAMLSB于MANLSC于N,
(1)求证平面SABL平面SBC⑵求证/ANM是二面角A-SC-B的平面角.
9.第8题的变式:
如上图,已知△ABC中,AB丄BCS为平面ABC外卜的一点,SAL平面ABC/ACB=600,SA=AC=a,
(1)求证平面SABL平面SBC⑵求二面角A-SC-BC的正弦值.
10.如图,ABCD-ABGD是长方体,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面GDE与面CDE所成二面角的正切值。
Di
11.如图4,平面丄平面,A=l,A€,B€,点A在直线I上的射影为A,点B在l的射影为B,已知AB=2AA=1,BBf/2,求:
二面角A—AB-B的大小。
三、垂面法:
已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
例在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,P』平面ABCDPA=AB=a求B-PC-D的大小
P
解:
(垂面法)如图,PA!
平面BDBDLAC
=BDLBC=过BD作平面BDHLPC于七PC!
DHBH
=■/BHD为二面角B-PC-D的平面角。
因PB=2a,BC=a,PC=3a,
弦定理,得:
1PBBC=S\PBC=LPCBH贝SBH金二DH又BD=^2a在△BHD中由余
223
/BHD乙,二面角B-PC-D的大小是—
12.空间的点P到二面角的大小.
33
1的面、及棱1的距离分别为43、竽9'求二面角1
13.如图,在三棱锥S-ABC中,SA!
底面ABCAB丄BCDE垂直平分SC且分别交ACSC于DE,又SA=AB,SB=BC求二面角E-BD-C的度数。
II.寻找无棱二面角的平面角的方法(射影面积法、平移或延长(展)线(面)法)
四、射影面积法:
利用面积射影公式S射=S原cos,其中为平面角的大小,此方法不必在图形
中画出平面角。
例在四棱锥P-ABCD中,ABC[为正方形,P』平面ABCDPA=AB=a,求平面PBA与平面PDC
所成二面角的大小。
ADPA
解:
(面积法)如图,ADABADPBA于A,
PAIABA
同时,BCL平面BPA于B,故△PBAM^PCD在平面PBA上的射影
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,
则cos0=土2=0=45°
Spcd2
14.如图,设M为正方体ABCD-AiCD的棱CC的中点,求平面BMD与底面ABCD所成的二面角
的大小。
15.如图,AC,BD,a与B所成的角为600,ACl于C,BDl于B,心3,BD=4,CD=2,求AB两点间的距离。
五、平移或延长(展)线(面)法:
对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。
例在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,P从平面ABCDPA=AB=a,求平面PBA与平面PDC
所成二面角的大小。
(补形化为定义法)
解:
(补形化为定义法)如图,将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN
则PQLPAPD,于是/APD是两面所成二面角的平面角
在Rt△PAD中,PA=ADJ则/APD=45。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
六、向量法
解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。
例(2009天津卷理)如图,在五面体ABCDEI中,FA平面ABCD,AD//BC//FE,ABAD,
M为EC的中点,AF=AB=BC=F^=AD
2
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II)证明平面AMD平面CDE
(III)
求二面角A-CD-E的余弦值。
解:
如图所示,建立空间直角坐标系,以点A为坐标原点。
设AB1依题意得B1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,
又由题设,平面ACD的一个法向量为v(0,0,1).
18.(2008湖北)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC侧面A1ABB1.⑴求证:
ABBC;
(II)若直线AC与平面ABC所成的角为,二面角ABCA的大小为,试判断与的大小关系,并予以证明.
分析:
由已知条件可知:
平面ABB人丄平面BCCB1丄平面ABC于是很容易想到以B点为空间坐标原
点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。
(答案:
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- 二面角 大小 求法 归类 总结 分析