第十三节平行四边形的性质.docx
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第十三节平行四边形的性质
平行四边形的性质
[知识要点]
1.你知道平行四边形的定义和表示符号吗?
2.依次从边、角、对角线三个方面,列出平行四边形的性质吧!
(1)边:
(2)角:
(3)对角线:
3.两条平行线间的距离是指什么呢?
平行四边形的面积公式是什么呢?
你知道二者有什么关系吗?
对于平行四边形的面积,你能找出其中一条规律来吗?
4.平行四边形的知识运用包括三个方面:
(1)直接运用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段,证明角相等,互补,证明线段相等或平分;
(2)判定一个四边形是平行四边形,从而判定两直线平行;
(3)先判定一个四边形是平行四边形,然后用平行四边形的性质去解决某些问题。
[典型例题]
#利用平行四边形的性质求解边和角
例1—1在平行四边形ABCD中
(1)若∠A=40°,则∠B=,∠C=,∠D=。
(2)若∠A-∠B=80°,则∠A=,∠B=。
(3)若∠A+∠C=220°,则∠A=,∠B=。
(4)若周长为44cm,AB-BC=2cm,则CD=,AD=。
例1—2如图,□ABCD中,AD⊥BD,垂足为D,OA=10,OB=6,求BC、AB的长。
#灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算
例2—1如图,四边形ABCD为平行四形,∠A+∠C=80°,□ABCD的周长为40cm,且AB-BC=2cm,求□ABCD各边长和各内角的度数。
例2—2已知□ABCD的周长为80cm,AC⊥AB,△ABC的周长为60cm,求AB与BC的长。
例2—3如图,四边形ABCD是平行四边形,∠DAB:
∠ABC=1:
3,AB=4,BD与AC相交于O,且BD⊥AB,求AD,BC和AC的长。
例2—4如图,□ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别为E,F,∠ADC=60°,BE=2,CF=1,连结DF,求△DEC的面积。
#利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围
例3—1如图,□ABCD中,对角线AC和BD相交于O点,若AC=8,BD=6,则边AB长的取值范围为()
A.1﹤AB﹤7B.2﹤AB﹤14
C.6﹤AB﹤8D.3﹤AB14
例3—2平行四边形的一边长为10,那么它的对角线长度可以是()
A.8和12B.20和30C.6和8D.4和6
#灵活运用平行四边形的面积公式计算
例4—1小强家承包了一块苗圃用来养花。
如图所示,苗圃的形状为平行四边形,经测量,其周长是36m,从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m,求这个平行四边形苗圃的面积。
例4—2已知□ABCD中周长是36cm,且AB=10cm,AD与BC间的距离为6cm,求:
AB与CD之间的距离。
例4—3如图,在□ABCD中,对角线AC=21厘米,BE⊥AC,垂足为E,且BE=5厘米,AD=7厘米,试求AD与BC之间的距离。
#利用平行线之间的垂线段处处相等求解
例5—1如图所示,点A(乡镇)、B(村)、C(村)同处一片平坦的地区,计划经过点A修建一条水泥路L,使点B、C到L的距离相等,在图中画出直线L。
*例6如图所示,□ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC,垂足为F,AF交BD于E。
若DE=2AB,求∠AED的度数。
*例7如图所示,□ABCD中,BC=2AB,DE⊥AB,M是BC的中点,∠BEM=50°,则∠B的大小是多少?
*例8如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且EF∥BD,求证:
S△ABE=S△ADF。
*例9如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:
∠AOB=∠COB
[大展身手]
#一、判断题
1.一组对边平行的四边形叫做平行四边形。
()
2.一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形。
()
3.两条平行线间的距离是指从一边上的任意一点到另一边的距离。
()
4.相邻两边相等的平行四边形的四条边都相等。
()
5.相邻的两个角都互补的四边形为平行四边形。
()
6.平行四边形的对角线相等。
()
7.平行四边形的一组邻角的平分线互相垂直。
()
8.两组对边平行的四边形是平行四边形。
()
9.对角线相等的四边形是平行四边形。
()
10.对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形。
()
11.有两组邻角互补的四边形是平行四边形。
()
12.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形。
()
13.有三个角为直角的四边形是平行四边形。
()
二、选择题
1.在□ABCD中,∠A=65°,则∠D的度数是()
A、105°B、115°C、125°D、65°
2.在□ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是()
A、80°B、90°C、100°D、110°
3.已知□ABCD的周长为40cm,边AB-BC=4cm,则边AD、CD的长为()
A、10cm、14cmB、8cm、12cmC、14cm、10cmD、12cm、8cm
4.如图4-1-1,在□ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF与GH相交于O,则图中共有平行四边形的个数是()
A、4个B、5个C、7个D、9个
5.如图4-1-2,在□ABCD中,E、F分别是边AB、DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是()
A、3个B、4个C、5个D、6个
6.在以下平行四边形性质中,错误的说法是()
A、对边平行B、对角相等C、对边相等D、对角线相等
7.□ABCD的对角线相交于O,△OBC的周长为58cm,AD=28cm,两条对角线之差为14cm,则两条对角线的长分别为()
A、23cm和9cmB、23cm和37cmC、8cm和22cmD、24cm和38cm
8.□ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围是()
A、6<AC<10B、6<AC<16C、10<AC<16D、4<AC<16
9.以长为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是()
A、1个B、2个C、3个D、4个
10.如图4-1-3,在□ABCD中,EF对角线交点O,如果AB=6cm,AD=5cm,OF=2cm,那么四边形BCEF的周长为()
A、13cmB、15cmC、11cmD、9.5cm
11.如图4-1-3,在图中有全等三角形()
A、3对B、4对C、5对D、6对
12.在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若BD与AC的和为18cm,CD:
DA=2:
3,△AOB的周长为13cm,那么BC的长为()
A、3cmB、6cmC、9cmD、12cm
13.如图4-1-4,
∥
,AB∥CD,CE⊥
,FG⊥
,E、G为垂足,则下列说法不正确的是()
A、AB=CDB、EC=FG
C、A、B两点的距离就是线段AB的长D、
与
的距离就是线段CD的长
14.在□ABCD中,∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可以是()
A、1:
2:
4:
2B、1:
2:
1:
2C、1:
1:
2:
2D、1:
2:
2:
1
15.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是()
A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定
二、填空题
1.两组对边分别的四边形叫做平行四边形,平行四边形的的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。
2.平行四边形的对边,对角。
3.用20cm长的一根铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:
2,则长边长为,短边长为。
4.在平行四边形ABCD中,若∠A=2∠B,则∠A=,∠B=,∠C=,∠D=。
5.在□ABCD中,∠A:
∠B=3:
2,则∠C=,∠D=。
6.若A、B、C三点不共线,则以其为顶点的平行四边形一共可以做个。
7.平行四边形一组邻角的平分线一定是。
8.平行四边形ABCD中,∠C=∠B+∠D,则∠B=。
9.平行四边形ABCD的周长为56cm,两邻边之比为3:
5,则这两邻边长分别为。
10.平行四边形一个内角比它的邻补角大24度,则这个内角为。
11.如图4-1-5,在□ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,则∠B=,∠CAD=。
12.已知O是□ABCD的对角线的交点,AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,BD=13cm,则△ODC的周长是,△OAD的周长是。
13.在□ABCD中,如果AC=2cm,BD=6cm,CA⊥AB,那么□ABCD的周长是cm,面积是cm2。
14.在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,OE⊥AB交AB于点E,OE=3cm,则AB与CD间的距离为cm。
15.□ABCD的周长为80cm,对角线AC、BD交于点O,若△AOB的周长比△BOC的周长多8cm,那么AB=cm,BC=cm。
16.在□ABCD中,∠A=30
,AB=7cm,AD=6cm,则S□ABCD=。
17.如图4-1-6,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若∠EAF=60°,AE=
,AF=
,则
(1)∠BAD=,∠C=,∠D=;
(2)AB=,BC=。
18.过□ABCD的钝角顶点A作两条高AE,AF,若∠B=60°,则∠EAF=。
19.□ABCD的周长为60cm,对角线AC,BD相交于O,△AOB的周长比△BOC的周长大8cm,则AB=,BC=。
20.□ABCD的周长为40,两邻边的比为3:
5,其四边的长分别为。
21.在□ABCD中,∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两线段,则四边形的周长为。
22.□ABCD的周长为25cm,对边距离都为2cm,则它的面积为。
23.如果在□ABCD中,AB=8,对角线AC=6,则另一条对角线BD的范围是。
24.□ABCD的周长为22cm,AC,BD交于O点,△AOD的周长比△AOB的周长小3cm,则AD=,AB=。
25.过□ABCD的钝角顶点A,分别作两条高AE和AF,若∠EAF=60°,BE=2,DF=3,则
□ABCD的面积为。
26.已知四边形ABCD中,AD∥BC,分别补上下列条件中的哪一个条件,四边形就为平行四边形:
①AD=BC;②AB∥CD;③AB=AD;④∠A=∠C。
(填上序号)
27.平行四边形的两邻边长分别为3和5,其夹角为120°,则该平行四边形的面积为。
三、解答题
#1.在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=140°,求各内角的度数。
#2.平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交DC于E,AD=5cm,AB=8cm,求EC的长。
3.如图,平行四边形ABCD中,AD=2AB,点M为AD的中点,求∠BMC的度数。
4.如图4-1-9,在□ABCD,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=2cm,AF=3cm,□ABCD的周长为20cm,求S□ABCD。
5.如图4-1-10,在□ABCD中,D在AB的中垂线DE上,若□ABCD的周长为38cm,△ABD的周长比□ABCD的周长少10cm,求□ABCD的一组邻边的长。
6.在□ABCD中,E、F分别是AC、CA延长线上的点,且CE=AF,求证:
BF∥DE。
7.如图,△ABC中,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,AB=AC=13cm,试说明:
四边形AEDF是平行四边形,并求它的周长。
8.如图,在□ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF长多少?
9.如果平行四边形的一组邻边的长相等,且等于其较短的对角线的长,而此对角线的长为4cm,求此平行四边形相邻两内角的度数及各边的长。
10.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,延长AB到点F,延长BA到点E,使得AB=AE=BF,连结CE和DF交于点O,求证:
EC⊥DF。
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