中考数学矩形归类复习.docx

中考数学矩形归类复习.docx

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中考数学矩形归类复习

等腰三角形专题训练

亲爱的老师，给学生设计题目一定要注意归类训练，抓住重点题型要训练透彻

亲爱的老师，亲爱的同学们，做题一定要注意反思总结：

这个题用了什么知识点，给我们什么启示，以后遇到此类问题怎么办？

一、角平分线遇到平行线出现等腰三角形及综合知识应用

1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，求AD的长

2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，求DF的长

3．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，

求证：

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；

4．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数

二、等腰三角形三线合一（有前两线必有第三线）及综合知识应用

5．如图，在△ABC中，∠BAC＜90°，AB=AC，AF⊥BC于点F，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB边于点G，则图中与∠D相等的角的个数为（　　）

6．如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，求∠DPB的度数

7．如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，求DF的长

8．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．若∠BAC=45°，AM=4，DM=3，

求BC的长

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，

求证：

①点G到△ABC各边的距离相等；

②设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=

nm．

10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．

求证：

①∠BAD=∠C；②AE=AF；③FG∥AC．

11．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，求△ABC的周长．

12．如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于点N，EF分别交AB、BC于点E、F，∠BAN=20°，∠ENA=30°，求∠FNC的度数．

等边三角形专题训练

注意用好三边相等和60度角30度角

13．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长

14．已知：

如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，

求证：

①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．

15．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，求AF的长．

16．如图：

在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：

①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．

17．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

答案及解析

1．（2015秋•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（　　）

A．7B．6C．8D．9

【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．

【解答】解：

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠DFC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∴∠DFC=∠FDC，

∴CF=CD，

同理BE=AB，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴AB=BE=CF=CD=5，

∴BC=BE+CF﹣EF=8，

∴AD=BC=8．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．

3．（2014秋•江津区期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（　　）

A．2B．3C．

D．4

【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根据等角对等边可得到DB=DF．

【解答】解：

∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，

∴DE∥AB，BD=

BC=4，

∴∠ABF=∠BFD，

∵BF平分∠ABC，

∴∠FBC=∠ABF，

∴∠BFD=∠DBF，

∴DB=DF=4，

故选D．

【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明DE∥AB，可得到∠BFD=∠DBF．

4．（2014秋•巢湖期末）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．（　　）

A．③④B．①②C．①②③D．②③④

【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，

∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，

∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，

∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，

∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．

∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，

∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．

5．（2014秋•淮南期末）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（　　）

A．25°B．130°C．50°或130°D．25°或130°

【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．

【解答】解：

如图，DF=DF′=DE；

∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：

△BDE≌△BDF，

∴∠DFB=∠DEB；

∵DE∥AB，∠ABC=50°，

∴∠DEB=180°﹣50°=130°；

∴∠DFB=130°；

当点F位于点F′处时，

∵DF=DF′，

∴∠DF′B=∠DFF′=50°，

故选C．

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质定理的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．

6．（2014秋•下城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＜90°，AB=AC，AF⊥BC于点F，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于E，交AB边于点G，则图中与∠D相等的角的个数为（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】证明∠BAF=∠CAF；∠BGE=∠AGD=∠BAF，∠CAF=∠D，即可解决问题．

【解答】解：

如图，∵AB=AC，AF⊥BC，

∴∠BAF=∠CAF；

∵DE⊥BC，

∴DE∥AF，

∴∠BGE=∠AGD=∠BAF，∠CAF=∠D，

∴图中与∠D相等的角共有4个，

故选B．

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质等几何知识点来分析、判断、解答．

7．（2014秋•凉山州期末）如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，∠DPB的度数是（　　）

A．36°B．54°C．72°D．90°

【分析】由AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角，得到∠ABC=∠ACB，根据BF平分∠ABC，得到∠ABF=FBC=36°，∠BFC=∠BCF=72°，因为AE=EF，DE⊥AF，得到AD=DF，∠DFE=36°，∠DFP=72°，证得△BDF≌△CBF，得到BD=BC，因为BF平分∠ABC，BP⊥CD，根据“三线和一”得到∠BPD=90°．

【解答】解：

连接DF，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=FBC=36°，

∴∠BFC=∠BCF=72°，

∵AE=EF，DE⊥AF，

∴AD=DF，

∴∠DFE=36°，

∴∠DFP=72°，

∴∠DFB=∠CFB，

在△DBF与△CBF中，

，

∴△BDF≌△CBF（ASA），

∴BD=BC，

∵BF平分∠ABC，

∴BP⊥CD，

∴∠BPD=90°

故选D．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，关键是正确的作出辅助线．

8．（2014秋•五常市校级期中）如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为（　　）

A．4.5B．9C．5D．3

【分析】先求出∠C=30°，得出AD的长，再证出∠DAE=∠F，得出DF=AD即可．

【解答】解：

∵AB=AC=9，AD是△ABC的中线，

∴∠B=∠C=30°，AD⊥BC，∠BAD=

∠BAC=60°，

∴AD=

AB=4.5；

∵AE平分∠BAD，DF∥AB，

∴∠DAE=∠BAE=30°，∠F=∠BAE=30°，

∴∠DAE=∠F，

∴DF=AD=4.5；

故选：

A．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；证明DF=AD是解题的关键．

9．（2015•杭州模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．若∠BAC=45°，AM=4，DM=3，则BC的长度为（　　）

A．8B．7C．6D．5

【分析】判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．

【解答】解：

∵∠BAC=45°，CE⊥BD，

∴△AEC是等腰直角三角形，

∵点F为AC的中点，

∴EF垂直平分AC，

∴AM=CM，

∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，

∴BC=AM+DM，

∵AM=4，DM=3，

∴BC=3+4=7，

故选B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于判断出EF垂直平分AC．

10．（2016秋•安陆市期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

②∠BGC=90°+

∠A；

③点G到△ABC各边的距离相等；

④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．

其中正确的结论是　①②③　．

【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；

②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=

（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；

③根据三角形内心的性质即可得出结论；

④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：

①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，

∴BE=EG，GF=CF，

∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；

②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠GBC+∠GCB=

（∠ABC+∠ACB）=

（180°﹣∠A），

∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣

（180°﹣∠A）=90°+

∠A，故本小题正确；

③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴点G是△ABC的内心，

∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；

④连接AG，

∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，

∴S△AEF=

AE•GD+

AF•GD=

（AE+AF）•GD=

nm，故本小题错误．

故答案为：

①②③．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．

11．（2015春•重庆校级期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：

①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是　①②④　．

【分析】①连接EG．根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEF，根据等腰三角形的性质可得②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=

∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，故⑤错误．

【解答】解：

①连接EG．

∵∠BAC=90°，AD⊥BC．

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；

②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．

∴∠ABF=∠EBD．

∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AF=AE，故②正确；

③如果∠EBC=∠C，则∠C=

∠ABC，

∵∠BAC=90°

那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；

④∵AG是∠DAC的平分线，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN与△GBN中，∵

∴△ABN≌△GBN，

∴AN=GN，

∴四边形AFGE是平行四边形，

∴GF∥AE，

即GF∥AC．故④正确；

⑤∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不是等边三角形，

∴EF≠AE，

∴EF≠FG，故⑤错误．

故答案为：

①②④．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握定理是解题的关键．

12．（2004•瓯海区校级自主招生）如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为　30　．

【分析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形．根据三角形中位线定理可得FG=2DE=6，即可解题．

【解答】解：

由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，

可得∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD，BD为公共边，

∴△ADB≌△GDB，∴AB=GB，

∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，

同理可证；AC=FC，

即△ABG和△ACF都是等腰三角形．

又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，

即ED是△AFG的中位线，∴FG=2DE，

则△ABC的周长为：

AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG

由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6得则△ABC的周长为30．

故答案为：

30

【点评】此题涉及到的知识点较多，有全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用等，对于初二的学生来说，是一道难题．

13．如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于点N，EF分别交AB、BC于点E、F，∠BAN=20°，∠ENA=30°，则∠FNC=　20°　．

【分析】如图，首先求出∠BEN=50°，进而求出∠BCN=30°；证明△BEN≌△BFN，得到∠BFN=∠BEN=50°，即可解决问题．

【解答】解：

∵N是三条角平分线的交点，

∴∠BAC=2∠BAN=40°，∠ABC=2∠EBN；∠ACB=2∠BCN；

∵∠ENA=30°，

∴∠BEN=20°+30°=50°；

∵EF⊥BN于点N，

∴∠EBN=90°﹣50°=40°

∴∠ABC=80°，∠ACB=180°﹣40°﹣80°=60°，

∴∠BCN=30°；

在△BEN与△BFN中，

，

∴△BEN≌△BFN（ASA），

∴∠BFN=∠BEN=50°，

∴∠FNC=50°﹣30°=20°，

故该题答案为20°．

【点评】该命题以三角形为载体，以三角形的内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定及其应用等知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．

14．（2014•本溪校级二模）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．不能确定

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

AC即可．

【解答】解：

过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=

AC，

∵AC=1，

∴DE=

．

故选：

B．

【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．

15．（2012春•武侯区校级期末）已知：

如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：

①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD=BE，根据已知给出的条件即可得出答案；

【解答】解：

∵△ABC和△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴AD=BE，故选项①正确；

∵∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得：

∠CBE=∠CAD，

∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确；

由△BCE≌△ACD得：

∠CBE=∠CAD，

∵∠ACB是△ACD的外角，

∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°，

又∠APM是△PBD的外角，

∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确；

在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM，

∴AN=BM，故选项④正确；

∴CM=CN，

∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN=60°，

∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；

故选：

D．

【点评】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．

16．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，则AF的长为　

　．

【分析】通过作辅助线得到等边三角形，由角的度数知道EF是角的平分线，根据三线合一得到线段的垂直平分线，于是得到△DAB是等腰直角三角形，求得DE，AE的长度，也就求出了DF，再由勾股定理求得EF，从而求出AF．

【解答】解：

连接DF，延长FA交BD于E，

∵BD绕点B顺时针旋转60°至BF，

∴BD=BF，∠DBF=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴∠BFD=60°，

∵∠BFA=30°，

∴∠DFA=30°，

∴FE垂直平分BD，

∴AD=AB，∵∠ABC=60°∠CBD=15°，

∴∠ABD=45°，

∴△DAB是等腰直角三角形，

∴DE=AE=

AD=

，

∴BD=DF=2

，

∴EF=

=

，

∴AF=EF﹣AE=

﹣

，

故答案：

﹣

．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质三线合一，勾股定理的应用等知识点．

17．（2009春•江阳区校级期中）如图：

在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：

①△ADC≌△BEA；

②BP=2PQ．

【分析】

（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；

（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．

【解答】证明：

（1）∵AB=BC=AC，

∴△