910 直线与圆的位置关系学生.docx
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910直线与圆的位置关系学生
第四章圆的方程
4.2.1 直线与圆的位置关系
学习目标:
1.直线与圆的三种位置关系
2.直线与圆的位置关系的两种判定
3.会用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系,解决直线与圆的综合问题。
重点难点:
重点:
直线与圆的位置关系的判定及根据直线与圆的位置关系求圆的方程.难点:
解决直线与圆位置关系的综合问题.
知识梳理:
1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
公共点个数
相交
________
相切
________
相离
________
2.直线与圆位置关系的判断
(1)几何法
已知直线Ax+By+C=0和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心到直线的距离d=
.
d与r的关系
直线与圆的关系
d ________ d=r 相切 d>r ________ (2)代数法 将直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 联立得方程组 消去y(或x)得mx2+nx+p=0(或ay2+by+q=0).利用判别式Δ: 当Δ=0时,直线与圆_______;当Δ>0时,直线与圆________;当Δ<0时,直线与圆________. 想一想 1.用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系时,二者在侧重点上有什么不同? 2.过圆内一点(非圆心)作圆的弦,何时最长? 何时最短? 【跟踪1】直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交【跟踪2】过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,方程为________. 典例讲解 题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系: ①相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围. 【跟踪训练1】 1.若直线 + =1与圆x2+y2=1有公共点,则( ) A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1 C. + ≤1D. + ≥1 题型二 切线问题 例2若直线l过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程. 【跟踪训练2】求圆x2+y2=4的切线方程,使得它经过点Q(3,0). 题型三 圆的弦长及应用 例3已知直线l: 2mx-y-8m-3=0和圆C: x2+y2-6x+12y+20=0. (1)m∈R时,证明l与C总相交; (2)m取何值时,l被C截得的弦长最短,求此弦长. 【跟踪训练3】已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程. 【小结】 1.圆的切线方程的求法 (1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程: (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: 几何方法: ②代数方法: 2.直线与圆相交时,弦长的求法 (1)几何法, (2)代数法 题型四与圆有关的参数问题 例4已知直线l: y=- x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,求m的取值范围. 【跟踪训练4】 已知直线l: y=- x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有交点,求m的取值范围. 4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标: 1.掌握圆与圆的位置关系 2.圆与圆的位置关系的两种判断途径 3.掌握圆与圆的位置关系的判定方法及解决直线与圆的实际问题。 重点难点: 重点: 圆与圆位置关系的判定及应用.难点: 直线与圆、圆与圆位置关系的实际应用. 圆与圆位置关系的判定 (1)几何方法: 设两圆半径分别为r1、r2,圆心距离为d,则两圆的位置关系如表所示: 两圆位置关系 图形情况 d与r1、r2的关系 外离 外切 相交 内切 内含 (2)代数方法: 设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立方程得 . 方程组 有两组不同的实数解⇔两圆_________; 有_________实数解⇔两圆相切; 无实数解⇔两圆外离或内含. 想一想1.两圆从公切线的数量上能否判定它们的位置关系? 2.如果⊙O1与⊙O2的圆心距d=0,⊙O1与⊙O2有什么关系? 【跟踪1】圆O1: x2+y2-2x=0和圆O2: x2+y2+4y=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交2.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为________. 典例讲解 题型一两圆位置关系的判定 例1当a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切; (2)相交;(3)相离. 【跟踪训练1】已知两圆C1: x2+y2+4x+4y-2=0,C2: x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆C1与圆C2的位置关系. 题型二 两圆相切问题 例2求与圆C: x2+y2-2x=0外切且与直线l: x+ y=0相切于点M(3,- )的圆的方程. 【跟踪训练2】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m取何值时两圆外切; (2)m取何值时两圆内切. 题型三 两圆相交弦问题 例3已知圆C1: x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2: x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 【跟踪训练3】 圆O1的方程为: x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线的方程; (2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且|AB|=2 ,求圆O2的方程. 题型四 直线与圆的方程的应用 例4某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km和2 km,且A,B景点间相距2km(A在B的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处? 【跟踪训练4】如图所示,在⊙O上任取点C为圆心,作⊙C与⊙O的直径AB相切于点D,⊙C与⊙O交于点E,F,且EF与CD相交于点H.求证: EF平分CD. 【小结】 公切线的求法: 题型五巧用圆系方程解题 例5求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程. 【跟踪训练5】 若圆C过点(0,2)及直线x-2y=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点,求圆C的方程.
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