中考数学 第14讲几何初步相交线平行线 原卷版.docx
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中考数学第14讲几何初步相交线平行线原卷版
第14讲几何初步、相交线、平行线
一、考点知识梳理
【考点1线段与直线】
1.线段:
(1)定义:
线段的直观形象是拉直的一段线.
(2)基本事实:
两点之间的所有连线中,线段最短.
(3)线段的和与差:
已知两条线段a和b,且a>b,在直线l上画线段AB=a,BC=b,则线段AC就是线段a与b的和,即AC=a+b.
在直线l上画线段AB=a,在AB上画线段AD=b,则线段DB就是线段a与b的差,即DB=a-b.
(4)线段的中点:
如图③,线段AB上的一点M,把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB,那么点M就叫做线段AB的中点,此时有AM=MB=
AB,AB=2AM=2MB.
2.直线:
(1)定义:
沿线段向两方无限延伸所形成的图形.
(2)基本事实:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.
3.射线:
把线段向一方无限延伸所形成的图形.
【考点2角及角平分线】
1.角的分类:
周角、平角、直角之间的关系和度数
1周角=2平角=4直角=360°,
1平角=2直角=180°,1直角=90°,
1°=60′,1′=60″,1′=
°,1″=
′.
2.角平分线的概念及性质:
(1)定义:
如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的角平分线.
(2)性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)判定:
到角两边距离相等的点在角平分线上.
3.余角、补角与邻补角:
(1)余角:
①如果两个角的和为90°,那么这两个角互为余角;
②同角(等角)的余角相等.
(2)补角:
①如果两个角的和为180°,那么这两个角互为补角;
②同角(等角)的补角相等.
(3)邻补角:
①两个角有一个公共顶点和一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角;
②互为邻补角的两个角的和为180°.
【考点3相交、垂线及其性质】
1.相交线三线八角(如图)
同位角:
∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7.
内错角:
∠2与∠8,∠3与∠5.
同旁内角:
∠3与∠8,∠2与∠5.
对顶角:
∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8.
2.垂线及其性质
(1)定义:
两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
(2)基本事实:
经过直线上或直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.
(3)性质:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
(4)点到直线的距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
(5)线段垂直平分线:
定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;
逆定理:
到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【考点4平行线的判定及性质】
1.平行线的判定及性质
定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
两条平行线之间的距离处处相等.
性质:
(1)两直线平行,同位角相等,即∠1=∠2;
(2)两直线平行,内错角相等,即∠2=∠3;
(3)两直线平行,同旁内角互补,即∠3+∠4=180°.
判定:
(1)基本事实:
经过已知直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行;
(2)同位角相等,两直线平行;
(3)内错角相等,两直线平行;
(4)同旁内角互补,两直线平行;
(5)平行于同一条直线的两条直线平行.
【考点5命题与定理】
命题与定理
命题:
判断一件事情的句子叫做命题,命题由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,命题常写成“如果……那么……”的形式.
真命题:
如果题设成立,那么结论一定成立的命题叫做真命题.
假命题:
题设成立,不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.
定理:
有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理,推理过程叫做证明.
2、考点分析
【考点1线段与直线】
【解题技巧】直线可以看作是线段向两个方向无限延伸的,而射线可以看作是线段向一个方向无限延伸的;线段的中点是解决有“边”的图形的度量问题、大小问题、长短问题等的基础。
【例1】(2019吉林中考)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图,A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是( )
A.两点之间,线段最短
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
【一领三通1-1】(2019•广州)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是 cm.
【一领三通1-2】(2019•日照)如图,已知AB=8cm,BD=3cm,C为AB的中点,则线段CD的长为 cm.
【一领三通1-3】(2019河南开封中考模拟)如图,点C在线段AB上,AC:
BC=3:
2,点M是AB的中点,点N是BC的中点,若MN=3cm,求线段AB的长.
【考点2角及角平分线】
【解题技巧】1.度、分、秒的加减运算:
在进行度分秒的加减时,要将度与度,分与分,秒与秒相加减,分秒相加,逢60要进位,相减时,要借1化60.
2.度、分、秒的乘除运算.①乘法:
度、分、秒分别相乘,结果逢60要进位.②除法:
度、分、秒分别去除,把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.
3.余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.
注意:
余角(补角)与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿,只要度数之和满足了定义,则它们就具备相应的关系.
【例2】(2019浙江宁波中考模拟)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.20°B.30°C.45°D.50°
【一领三通2-1】(2019河北石家庄中考模拟)(改成选择题)如图所示,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,求∠2的度数.
【一领三通2-2】(2019河北沧州中考模拟)一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°,那么这个角是多少度?
【一领三通2-3】(2019山东青岛中考模拟)如图,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,∠FED=∠BDE,试说明:
EF是∠AED的平分线.
【考点3相交、垂线及其性质】
【解题技巧】1.垂线段的性质:
垂线段最短.
正确理解此性质,垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.
2.实际问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择.
3.点到直线的距离是一个长度,而不是一个图形,也就是垂线段的长度,而不是垂线段.它只能量出或求出,而不能说画出,画出的是垂线段这个图形.
【例3】(2019河北唐山中考模拟)如图所示,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,则∠2的度数().
A.45°B.60°C.50°D.30°
【一领三通3-1】(2019山东淄博中考模拟)(填空题)如图,将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)若∠DCB=35°,求∠ACB的度数;
(2)若∠ACB=140°,求∠DCE的度数.
【一领三通3-2】(2019河北沧州中考模拟)
(1)如图1,AB∥CD,点E是在AB、CD之间,且在BD的左侧平面区域内一点,连结BE、DE.求证:
∠E=∠ABE+∠CDE.
(2)如图2,在
(1)的条件下,作出∠EBD和∠EDB的平分线,两线交于点F,猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
(3)如图3,在
(1)的条件下,作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线,两线交于点G,猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
【一领三通3-3】(2019河南郑州中考模拟)如图,直线a∥b,直线AB与a,b分别相交于点A,B,AC⊥AB,AC交直线b于点C.
(1)若∠1=60°,求∠2的度数;
(2)若AC=3,AB=4,BC=5,求a与b的距离.
【考点4平行线的判定及性质】
【解题技巧】利用平行线性质和判定求角度:
先观察要求角与已知角的位置关系,再选择合理的角度进行等量代换,因此需要熟练掌握平行线的性质和判定.另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用.
【例4】(2019海南中考)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1的大小为( )
A.20°B.35°C.40°D.70°
【一领三通4-1】(2019河南中考)如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为( )
A.45°B.48°C.50°D.58°
【一领三通4-2】(2019广东中考)如图,已知a∥b,∠1=75°,则∠2= .
【一领三通4-3】(2019湖北孝感中考)如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于点A,C,BC⊥l3交l1于点B,若∠1=70°,则∠2的度数为( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
【一领三通4-4】(2019河北中考)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是( )
A.◎代表∠FECB.@代表同位角
C.▲代表∠EFCD.※代表AB
【考点5命题与定理】
【解题技巧】掌握命题的概念.知道命题由“条件”和“结论”两部分组成,能够初步区分命题的条件和结论,能把命题改写成“如果……那么……”的形式.我们发现由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题,可能是真命题,也可能是假命题.凡是我们学过的定理、定义、性质等都是真命题。
【例5】(2019北京中考)用三个不等式a>b,ab>0,
<
中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【一领三通5-1】(2019上海中考)下列命题中,假命题是( )
A.矩形的对角线相等
B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C.矩形的对角线互相平分
D.矩形对角线交点到四条边的距离相等
【一领三通5-2】(2019重庆中考)下列命题正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
【一领三通5-3】(2019•呼和浩特)下面三个命题:
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,其中正确的命题的序号为 .
三、【达标测试】
(一)选择题
1.(2019江苏南京中考)结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:
∵ ,∴a∥b.
2.(2019山西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
3.(2019陕西中考)如图,OC是∠AOB的角平分线,l∥OB,若∠1=52°,则∠2的度数为( )
A.52°B.54°C.64°D.69°
4.(2019•济南)如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,则∠CBE的度数为( )
A.20°B.35°C.55°D.70°
5.(2019•日照)如图,将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,当∠1=35°时,∠2的度数为( )
A.35°B.45°C.55°D.65°
6.(2019•青海)如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放:
两个三角板的一直角边重合,含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是( )
A.15°B.22.5°C.30°D.45°
7.(2019•宁夏)如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE.连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为( )
A.40°B.45°C.55°D.70°
8.(2019•新疆)如图,AB∥CD,∠A=50°,则∠1的度数是( )
A.40°B.50°C.130°D.150°
(2)填空题
1.(2019吉林中考)如图,E为△ABC边CA延长线上一点,过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B= °.
2.(2019辽宁大连中考))如图AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
3.(2019云南中考)如图,若AB∥CD,∠1=40度,则∠2= 度.
4.(2019•长春)如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB的大小为 度.
5.(2019•威海)把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上).若∠1=23°,则∠2= °.
6.(2019河北衡水中考模拟)(填空题)已知:
如图所示,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A+∠1=70°,求:
∠D的度数是 .
7.(2019山东德州中考模拟)(填空题)如图,点C在线段AB上,AC:
BC=3:
2,点M是AB的中点,点N是BC的中点,若MN=3cm,则线段AB的长是 .
8.(2019湖北中考黄石模拟)(填空题)已知线段AB上有两点C、D,使得AC:
CD:
DB=1:
2:
3,M、N也在线段AB上,且M是AC的中点,DN=
,AB=48,则MN的长是 .
(3)解答题
1.(2019浙江温州中考)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:
△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
2.(2019重庆中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:
FB=FE.
3.(2019•武汉)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:
∠E=∠F.
4.(2016河北中考)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
5.(2019河北张家口中考模拟)如图,AB∥DE,∠EFC=∠ACB,∠CAB=
∠BAD,试说明:
AD∥BC.
6.(2019河北秦皇岛中考模拟)将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O.
(1)如图①,若∠AOB=155°,求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
(2)如图①,你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系?
∠AOB与∠DOC有何关系?
直接写出你发现的结论.
(3)如图②,当△AOC与△BOD没有重合部分时,
(2)中你发现的结论是否还仍然成立,请说明理由.
7.(2019辽宁大连中考模拟)如图,已知点C,D在线段AB上,M、N分别是AC、BD的中点,若AB=20,CD=4,
(1)求MN的长.
(2)若AB=a,CD=b,请用含有a、b的代数式表示出MN的长.
8.(2019•南通)定义:
若实数x,y满足x2=2y+t,y2=2x+t,且x≠y,则称点M(x,y)为“线点”.例如,点(0,﹣2)和(﹣2,0)是“线点”.已知:
在直角坐标系xOy中,点P(m,n).
(1)P1(3,1)和P2(﹣3,1)两点中,点 是“线点”;
(2)若点P是“线点”,用含t的代数式表示mn,并求t的取值范围;
(3)若点Q(n,m)是“线点”,直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B,当|∠POQ﹣∠AOB|=30°时,直接写出t的值.
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