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新课程理念下的解决问题及其教学
新课程理念下的解决问题及其教学
王永春
一、解决问题的概念
从广义角度理解:
是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决各种问题,
包括实际问题和源于数学内部的问题。
从侠义角度理解:
是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决联系实际的问题。
二、解决问题的基本理念和价值
1.解决问题的基本理念。
(1)数学的工具性、应用性。
(2)信息化、数字化、市场经济等时代的要求。
数学的工具性和应用性伴随着数学的产生和发展过程,但是从20世纪中叶
以来信息技术、市场经济的飞速发展,数学及其应用得到了极大发展,渗透到了各个科学领域。
学生必须学会数学及其应用,才能适应社会的发展。
2.解决问题的价值。
(1)培养实践能力(解决问题的意识和能力)。
(2)培养创新精神。
(3)巩固数学知识技能和掌握思想方法。
三、解决问题的教学目标
1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识。
2.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。
3.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果。
4.初步形成评价与反思的意识。
四、解决问题和应用题的比较
1.解决问题与应用题概念的区别。
应用题的概念:
根据日常生活和生产中的实际问题,用文字、语言、图形叙述出一些已知数量和未知数量,以及它们之间的关系,运用四则运算求出未知数量的数学题,叫做应用题。
2.解决问题与应用题的内容和结构的异同。
在课程标准中,没有把解决问题作为一个独立的内容领域,而是在教学目标中把解决问题独立提出来,因此,严格意义上来说,实验教科书不应该把解决问题独立编排成单元,而应该在各种知识的应用上进行研究。
在通用教科书中,应用题是作为一个独立的内容编排的。
因此,本文把解决问题再单独进行比较,主要是通过比较,探索实验教科书在解决问题方面如何能够设计得更理想,更有利于教学。
课程标准要求解决问题的教学应贯穿于数学课程的全部内容中。
从80年代以来,国际上一直把解决问题作为数学教育的目标之一,89年美国数学课程标准,四大目标之一就是解决问题,并有很详细的阐述。
2001的美国数学课程标准仍然把解决问题作为一个标准之一,这说明解决问题非常重要,数学教育的目标之一就是要会用数学解决问题,这个问题可以是数学问题,也可以是实际生活中的问题。
通用教科书的应用题和实验教科书的解决问题的内容和结构如下表。
册数
通用教科书
实验教科书
一
图画应用题(带大括号),
表格应用题,
比较容易的加法、减法一步计算的图文应用题(求和、求剩余)。
情境图(带大括号)的一步加减法问题,结合10以内加减法。
情境图、文字结合的一步加法问题(运动会)。
结合20以内进位加法。
二
加、减法一步应用题(求和、求另一个加数,求两数相差多少的应用题)。
情境图、文字结合的一步减法问题(庙会,求剩余、求另一个加数)。
结合20以内退位减法。
情境图、文字结合的一步加减法问题(游戏,求和、求另一个加数)。
提问题。
结合20以内退位减法。
图文结合的一步加减法问题。
突破传统提问形式:
够不够?
还差多少?
再攒多少钱?
求两数相差多少的问题。
结合100以内的加减法口算。
三
连续两问的应用题。
乘、除法一步计算的应用题。
求比一个数多(少)几的数的一步问题(卫生评比)。
结合100以内的加减法笔算。
连加和连减、加减的两步问题(运西瓜),结合100以内的加减混合运算。
乘法一步计算的问题。
结合表内乘法。
四
简单的四则两步应用题。
会分步列式解答比较容易的两步计算的应用题。
求比一个数多(少)几的数的一步应用题。
简单的加减乘两步问题(小括号)。
除法一步计算的问题。
结合表内除法。
乘除两步问题(游乐场活动)。
五
两步应用题(包括有两个条件的两步应用题)。
六
常见的数量关系。
二步应用题(连乘、连除,归一、归总)。
连乘、连除两步问题。
乘加三步问题。
四则两步问题。
七
常见的数量关系。
结合多位数乘除法。
练习中有简单的归一归总两步问题。
八
列综合算式解答两步和比较容易的三步计算的应用题。
列综合算式解答简单的三步计算的问题。
结合四则混合运算。
九
掌握解应用题的一般步骤,会列综合算式解答三步计算的应用题。
相遇问题。
列方程解应用题。
列方程解决问题。
十
十一
分数四则应用题(包括工程问题)。
比的应用。
百分数的实际应用(包括发芽率、合格率、利息的计算)。
百分数应用题。
分数四则问题。
比的应用。
百分数的实际应用(包括发芽率、合格率、利息、纳税、折扣的计算)。
与分数有类似数量关系的百分数问题。
十二
比例尺,会看地图上的比例尺。
按比例分配。
会用比例的知识解答基本的应用题。
比例尺,会看地图上的比例尺,会利用比例尺的知识画简单的平面图。
按比例分配。
会用比例的知识解答基本的问题。
从以上表格中的内容比较来看,实验教科书在解决问题方面主要有以下几点改革。
(1)结合各部分知识安排应用所学数学知识解决实际问题的内容。
实验教科书注意结合各部分教学内容,提供应用所学知识解决问题例题或练习。
计算、几何、统计等内容从实际问题引入,学生掌握了知识以后,出现现实的问题情境,再应用所学知识来解决提出的问题或现成的问题。
这样就使解决问题与计算等知识有机的结合起来,以万以内的加法为例。
下面是通用教科书万以内加法的一个例题。
从例题中可以看出,通用教科书计算与解决问题是脱离的,计算的内容绝大部分是纯数学算式。
学生感受不到数学与日常生活的密切联系,很难对计算产生兴趣,是传统的数学观和学科课程意义下对计算内容的处理方式。
(图略)
下面是实验教科书万以内的加法的一个例题。
从例题中可以看出,实验教科书通过设计一个儿童喜欢的情境引出计算内容,这个计算同时又是解决问题,把计算和解决问题有机地结合起来,又密切联系了实际,学生感受到计算就是解决生活中的问题,又能够非常感兴趣地学习。
这是新的数学观和经验课程与学科课程综合化意义下的计算内容的处理方式。
(图略)
(2)培养学生从生活中发现并提出简单的数学问题的能力
有人认为,善于发现问题、提出问题有时比会解决问题更重要。
因为在科学发展的历史上,有很多科学家善于发现和提出引导科学发展方向的问题,有的问题解决了,有的问题还没有解决,吸引着无数科学家和科学爱好者去向着这个方向努力,从而推动科学的进步。
因此,实验教科书特别注意创设信息丰富的开放的问题情境,引导学生根据现实情境发现和提出各种问题,通过独立探索和合作交流来解决。
(图略)
(3)让学生体会解决问题策略的多样性
实验教科书中有的情境表现了不同的学生想出了不同的解决办法,使学生通过交流了解同一问题可以有不同的解决办法。
(图略)
(4)解决问题的内容具有探索性和开放性。
解决问题的内容丰富,信息量大,问题多样,答案不唯一,要求人们具有某种程度的独立见解和创造性。
(图略)
(5)加强渗透数学思想方法
解决问题,不仅仅是实际问题,还需要为学生提供在数学范畴之内已经符号化了的问题,以便学生发展数学思维能力,学习数学思想方法。
实验教科书尝试系统地渗透数学思想方法,如引导学生探索简单的排列组合数,简单的集合和等量代换思想的渗透等。
下面是渗透集合思想的一个例题。
(图略)
创设了学生参加课外小组的情境,使学生通过观察、实验、猜测、推理等活动解决问题。
这些内容既具有挑战性又具有趣味性、操作性,有利于学生初步感受数学的思想方法,受到数学思维的训练,同时培养他们探索数学问题的兴趣。
3.解决问题与应用题优缺点的比较。
(1)应用题的不足:
内容较多、有些题目难度大、有些内容脱离实际、条
件不多余、问题和答案不唯一、呈现形式较单调、解题方法较死板。
使学生学习的过程变成了学习解题技巧,学生只把学习应用题当成学习数学习题,而不是解决现实生活中的问题,较难体现怎样把现实生活中的问题转化为数学问题。
(2)应用题的优点:
注重理解问题和分析数量关系、解题方法和步骤规范。
注重把生活语言转化成数学语言,抓住了数学的本质:
基础知识和思想方法,从而有利于学生理解和掌握解题方法。
(3)解决问题的优点:
内容联系实际、开放性、探索性、合作交流、提出问题。
有利于培养学生的解决实际问题的能力、创新精神、实践能力和合作精神。
(4)解决问题的不足:
不注重理解问题和分析数量关系、解题方法和步骤不规范。
五、解决问题教学中应注意的问题
1.理解四则运算的意义。
解决问题在小学数学中最主要的部分是利用四则计算解决实际问题。
因此,让学生理解加减乘除的含义非常重要,一步计算的问题是进一步学习的基础。
5以内的加减法:
出现加减法的概念。
20以内数的认识(十几加几及相应的减法):
介绍加减法各部分的名称。
表内乘法:
出现乘法的概念及各部分名称。
表内除法:
除法的概念及各部分名称。
学生通过学习一步问题,掌握一定的概念、公式、数量关系等知识;没有这些基础知识,很难进一步学习更复杂的问题。
另外,解决问题没有系统地进行按类型编排和教学,更需要在理解四则运算意义的基础上列式解决各种问题。
现行义教教材在这方面做得比较好,强调使学生理解和掌握基础知识。
案例:
乘加两步计算的问题。
(图略)
2.重视分析数量关系。
现行义教大纲和教材非常重视培养学生的能力、发展学生的智力。
例如,应用题教学注意引导学生分析数量关系,掌握解题思路,来培养学生分析问题和解决问题的能力。
重视学生获取知识的思维过程,如注意引导学生在学习过程中进行比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维活动,以培养学生的逻辑思维能力。
只有有了一定的逻辑思维作基础,才有可能更好地发展创新思维能力。
实验教材重视让学生经历创设情境,抽象成数学模型,解释与应用的过程。
实际上对于四则运算的数学模型来说,就是数量关系。
因此,要重视分析数量关系,但要在教师的启发下,引导学生独立分析数量关系的意识和能力,这样才能培养自主学习的能力。
小学阶段主要有以下这些数量关系式。
速度Х时间=路程 单价Х数量=总价 工效Х时间=工作总量
单产Х面积=总产耗油量/千米Х千米数=总耗油量
消耗量/天Х天数=总消耗量合格率=合格产品数÷产品总数Х100%
面积和体积公式由数量关系式演变的及其他的正比例关系和反比例关系
案例:
求两数相差多少。
理解求小雪比小磊多得几朵,就是把两个数量进行比较,利用一一对应的直观图示,去掉同样多的部分,剩余的就是小雪比小磊多得的部分。
根据减法的含义,从总数中去掉一部分用减法计算。
(图略)
3.理解生活及数学语言。
从实验教材解决问题的素材上看,内容丰富,提问题的方式多样;不像旧教材应用题的提问题那样数学化。
这样就要求学生多接触社会、深入生活,知道数学在生活中的各种应用。
这样才能理解生活语言,进而转化成数学语言,再结合四则运算的意义通过分析数量关系建立模型。
案例:
100以内的退位减法。
(图略)
4.掌握解题步骤。
解决问题强调探索性和开放性,但它与解决问题方法和步骤的规范性并不矛盾。
解决问题方法和步骤的规范性并不影响探索性和开放性,有利于提高解决问题的效率和能力。
传统应用题的解题步骤为:
(1)理解题意,找出已知条件和所求问题;
(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么……最后算什么;
(3)确定每一步的算法,列出算式,算出复数;
(4)进行检验,写出答案。
解决问题的步骤可规范,便于形成科学的思考方法,可灵活多样,检验一般
是口算检验,是否写答不作规定。
分步列式还是综合列式都是可以的,只要解答正确便可。
但要引导学生在分步列式的基础上列综合算式,以便于学习四则混合运算的顺序和简便运算,以及列方程解决问题。
5.渗透数学思想方法。
数学思想方法是数学的灵魂。
那么,要想学好数学、用好数学,就要深入到数学的“灵魂深处”。
要加强对学生数学思想方法的培养。
实验教材重视对数学思想方法的渗透,如结合有关内容,使学生了解转化的思想、类比的思想、简单的统计思想和方法,集合、函数、方程、归纳等数学思想和方法,优化思想、分类思想、模型思想、实验猜测的方法等等。
在培养学生解决问题的能力方面,注重培养学生用数学的思想方法来解决问题。
培养学生养成用数学的思想、方法和态度去观察问题、收集数据和信息、解释并得出结论、做出决策的意识和能力;能用数学的思想、方法和态度去预测事物的发展。
案例1:
用分数和百分数解决问题。
(图略)
案例2:
鸡兔同笼问题。
一道数学奥林匹克竞赛题:
某科学考察组进行科学考察,要越过一座山。
上午8时上山,每小时行3千米,到达山顶时休息1小时。
下山时,每小时行5千米,下午2时到达山底。
全程共行了19千米。
上山和下山的路程各是多少千米?
分析:
此题表面上看似一道行程问题,但实质上只不过是一道典型的“鸡兔同笼”问题的变化题型。
其特征是:
(1)已知两种事物的单值:
上山速度为3千米;下山速度为5千米。
(2)已知这两种不同事物的总个数:
除去休息1小时的5小时;全程19千米。
(3)要求的是这两种不同事物的个数:
上山和下山的时间各是多少?
可见此题的解答方法与"鸡兔同笼"问题的解答方法完全相同。
假设5小时都是上山时间,则共走路程为3×5=15(千米),比实际走的19千米少了19-15=4(千米),原因是由于把下山时间也当作了上山时间,则下山时间为4÷(5-3)=2(小时)。
从而可以推出下山路程是5×2=10(千米),上山路程是19-10=9(千米)。
当然我们也可以假设5小时都是下山时间来类推求解。
数学中所有公式定理的运用就是类比思想的直接反映。
案例3:
铺地砖问题。
有一个长70分米、宽45分米的长方形房间,最大可用边长为多少分米的正方形砖,正好整块铺完?
分析:
由于用的是整块数,所以沿长铺的块数必须是70的因数,沿宽铺的块数必须是45的因数,所以实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最大公因数”的问题,即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题,这种化归思想正是数学能力的表现之一。
6.注意与初中的衔接。
1.初中数学的特点。
从算术到代数
从常量到变量
从直观形象的实验几何到抽象逻辑推理的论证几何
2.初一部分学生过早出现两级分化的原因。
(1)小学数学的基础知识和技能不扎实。
虽然小学数学内容的容量和难度不是很大,但是初中的各种内容都是在小学数学的基础上学习的。
如有理数的计算、解方程及列方程解决问题、函数、几何图形的性质和证明、统计与概率等。
(2)对初中的知识不适应。
学生刚从小学升入初中,思维还停留在算术和常量的阶段,对于突然出现的负数运算、复杂的方程和函数、推理证明等知识不适应,需要通过认真细致的直观的手段慢慢适应。
(3)学生对教师的教学方法不适应。
小学生在思维上以直观形象为主,教师
一般采用操作、直观形象的教学方法,教学层次细致,知识间的坡度小、思维跳跃小;到初中后,由于学科的增加和学习内容的抽象,课堂知识容量增大,教学进度较快,思维跳跃大,部分学生不适应。
如有理数的运算,经常在负数方面出现问题。
(4)学生对教师的管理方法不适应。
小学生年龄小,依赖性强,教师和家长
管得多,进入初中后,对学生来说失去依靠,无所适从。
(5)学生的学习方法不适应中学阶段的学习。
中学的课程多,难度大,要求
学生有较强的自学能力,不能处处依赖教师。
(6)学生的非智力因素障碍。
初一学生大多12岁左右,由儿童期进入少年
期,心理和生理发生骤变,易出现非智力因素障碍。
如自己体形的变化而产生的忧虑、苦恼,对突然增加的知识容量和难度产生紧张、悲观的情绪而失去学习的兴趣、信心和克服困难的意志。
3.注意打好各方面的基础。
(1)小学数与代数的基础。
口算:
20以内的加减法,表内乘法和表内除法要熟练。
笔算:
万以内的加减法,多位数的乘除法保证正确。
方程和函数:
高标准教学,低要求考试。
应用题:
重视分析数量关系,建立模型。
(2)注意方程和函数思想的渗透。
在已知数与未知数之间建立一个等式,把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。
笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题,再把数学问题转化成方程问题,即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系,运用数学的符号语言转化为方程(组),这就是方程思想的由来。
而函数是研究变量的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
在近代数学中,与方程思想密切相关的是函数思想,它利用了运动和变化观点,在集合的基础上,把变量与变量之间的关系,归纳为两集合中元素间的对应。
数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物,对于变量的重要性,恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确:
“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辨证法进入了数学;有了变数,微分与积分也立刻成为必要的了。
”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律,是近代数学发生和发展的重要基础。
在小学数学教材的练习中有如下形式:
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老师,让学生计算完毕,答案正确就满足了。
有经验的老师却这样来设计教学:
先计算,后核对答案,接着让学生观察所填答案有什么特点(找规律),答案的变化是怎样引起的?
然后再出现下面两组题:
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通过对比,让学生体会“当一个数变化,另一个数不变时,得数变化是有规律的”,结论可由学生用自己的话讲出来,只求体会,不求死记硬背。
研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示,这时可以把解析式理解成方程,通过对方程的研究去分析函数问题。
中学阶段这方面的内容较多,有正反比例函数,一次函数,二次函数,幂指对函数,三角函数等等。
小学函数思想虽不多,但也有,如正比例关系、反比例关系,在分数应用题中十分常见,一个具体的数量对应于一个抽象的分数,找出数量和分数的对应恰是解题之关键;在应用题中也常见,如行程问题,客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程,而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程。
利用函数思想,思路较清晰,解法巧妙。
在小学阶段,学生在解应用题时一般用算术方法,在用算术方法解题时,只允许具体的已知数参加运算,算术的结果就是要求未知数,最大的弱点是未知数不允许作为运算对象。
而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算,用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边,而是和已知数一样,接受和执行各种运算,可以从等式的一边移到另一边,使已知与未知之间的数学关系十分清晰,在小学中高年级数学教学中,若不渗透这种方程思想,学生的数学水平就很难提高。
例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等,用代数方法即假设未知数来解答比较简便,因为用字母x表示数后,要求的未知数和已知数处于平等的地位,数量关系就更加明显,因而更容易思考,更容易找到解题思路。
西方较早地在数学研究中引进了符号,十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进,并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学研究的重大拓展,奠定了符号代数的基础,后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容,这就是符号思想。
在数学中各种量的关系,量的变化以及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式来表达大量的信息,如乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c,这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3,也可以表示4、5、6、7……长方形的面积计算公式s=a×b,不管有多少个不同的长方形,都可用它计算出来。
这些都是符号思想的具体体现,它们将所有的数据实例集为一体,把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆,便于运用,正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象,正因为如此,用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。
这种用符号来体现的数学语言是世界性语言,是一个人数学素养的综合反映。
案例1:
2006年广州市中考题。
目前广州市小学和初中在校生共有约128万人,其中小学生在校人数比初中生在校人数的2倍多14万人。
(1)求目前广州市在校的小学生人数和初中生人数。
(2)假设今年小学生每人需交杂费500元,初中生每人需交杂费100
元,而这些费用全部由广州市政府拨款解决,则广州市要为此拨款多少?
分析:
此题与小学五上P70例3相比,稍复杂。
(图略)
案例2:
台州市2006年中考试题。
分析:
此题是一道利用一次函数解决实际问题,实际上就是正比例函数的应用。
其基本的数量关系式是:
单价×数量=总价。
耗油量/千米×千米数=总耗油量
消耗量/天×天数=总消耗量
w=kt,k是每天钱数。
k=数量×单价=300×1/12×4.6=115(元)
k=数量×单价=300×1/15×4.95=99(元)
115t=99t+8000
t=500
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