选修12教材分析.docx

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选修12教材分析

高中新课程选修1-2

第一部分统计案例

一、知识要求及变化

1．《课程标准》中对本模块的内容及要求：

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题.学生在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步领会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用.

2．课程标准要求与大纲比较

内容

《标准》目标表述

《大纲》目标表述

回归分析的基本思想及其初步应用

①通过典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用.

②通过典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用.

了解线性回归的方法和简单应用.

独立性检验的基本思想及其初步应用

③通过典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用.

④通过典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.

新增内容

3．阶段性要求与终结要求的说明

（1）会求回归直线方程

回归直线方程是在学习《数学》必修3后，继续对线性相关问题的进一步研究。

内容包括作散点图，求回归直线方程

以及回归系数

等.

了解求回归直线方程的一般步骤：

①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数

→③写出回归直线方程

，并利用回归直线方程进行预测说明.

如，提问：

根据所求方程能否求出给定身高的女大学生的体重？

也就是身高为172厘米的女大学生的体重一定是60.316吗？

对你的预测可以做一下解释吗？

例：

研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x（m）

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

2.10

流速y（m/s）

1.70

1.79

1.88

1.95

2.03

2.10

2.16

2.21

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95m时水的流速y是多少？

回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程标准的继续实施和新课程高考改革的不断深入，考查学生数据处理能力，特别是运用计算器等现代技术工具对进行数据处理的能力，将是改革的方向之一.

求解：

回归直线方程时要遇到很复杂的运算，为准确运算，可借助计算器与计算机，先列表求出相关数据，然后求回归系数

.从而写出回归直线方程.

（2）了解随机误差的概念及其它对预报变量的影响

从散点图中我们可以看到，样本点分布在某一直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系，这时我们把身高与体重的关系用下面的线性回归模型来表示：

y=bx+a+e,其中a,b为待定的未知参数，e称为随机误差.

（3）能进行简单回归分析

能从散点图直观的判断相关关系，但散点图不明显时，我们就要进行相关性检验，根据相关系数

判断：

|

越接近1时，线性相关程度越强；|

越接近0时，线性相关程度越弱.

在确定具有线性关系后，就需建立回归模型，而建立回归模型的基本步骤是：

①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.

③由经验确定回归方程的类型.

④按一定规则估计回归方程中的参数

（最小二乘法）；

⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.

例：

为研究重量

（单位：

厘米）的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，数据如下表：

5

10

15

20

25

30

7．25

8．12

8．95

9．90

10．9

11．8

①画出散点图；

②如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求

与

之间的回归直线方程；

③对

、

两个变量进行相关性检验；

④画出残差图，并说明它是否异常.

线性回归分析是统计中额定一个重要内容，随着新课标的实施和新课程高考改革的不断深入，这部分的内容也将回越来越受到重视.

非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时候我们可以画出已时数据的散点图，把它与必修模块数学1中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等）图象比较，挑选一种跟这些点拟合最好成的函数，然后采取适当的置换，把问题化为线性回归问题，使其得到解决（如课本的例2）.

（4）有关理论要求学生理解，公式也不需要死记硬背.

二、重点和难点

1．教学重点：

①通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤；

②尝试做散点图，求回归直线方程；

③能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思想.

④了解独立性检验的常用方法：

三维柱形图和二维条形图，及其K²（或R²）的大小关系.

⑤并能运用自己所学的知识对具体案例进行检验.

确定以上内容为教学重点是基于以下考虑：

⑴它与我们的生活息息相关，密不可分，是我们以后要经常面对和解决的问题，学习它有着积极的现实意义.而且他渗透比较抽象的数学建模思想入门时学生会感到有一定的难度，理解需要一个过程。

内容的教学也要求学生具有较好的运算能力与使用计算机的能力.

⑵问题的解决是要先通过求出回归直线方程然后进行回归分析，因此它是要进行回归分析的前提.虽然前面学生也曾接触过，但学生未必会完全掌握.

⑶学习知识的目的之一在于会运用它解决有关实际问题，因此就需要掌握它的基本思想与一般步骤，而学生往往缺乏独立自主的对实际问题进行理性思考.

⑷因为直接利用三维柱形图和二维条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但它无法精确的给出所得结论的可靠程度，因而只做粗略估计，而不做具体运算.而运用随机变量K²进行判断检验，比较精确，而且能给出所得结论的可靠程度.

⑸让学生从实际问题中发现问题，并学会主动探求解决问题的方法，正确把握独立性检验的方法与技巧，从而达到在此基础上得出解决这一类问题的一般方法.

（2）教学难点：

①求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.

②掌握回归分析的实际价值与基本思想.

③能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.

确定以上内容为教学难点是基于以下考虑

⑴求回归直线方程和对实际问题进行回归分析需要一定的运算能力，还要求学生具备一定的理解能力，掌握其中的规律性之后才能完成的.

⑵绝大部分学生适应具体的、表面化的、摸得着的感性内容学习，而不善于理性的、抽象性的内容的思考.特别是对有的问题只会做，不善于表达，说理就更加难了.象独立性检验的基本思想就是利用小概率事件不会发生的事实来解释的，而它却偏偏发生了，从而否定前面的假设.

例：

某地区羊患某种疾病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的.今研制了一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病.问此药是否有效.

凭经验一定会认为此药一定有效，这是因为服药后羊都没有患病.若仔细想一下，又可能有问题？

嗯，大部分羊不服药也不患病？

而且患病的羊只占0.4左右.这5只羊不患病未必是药的作用.因此可以这样设想：

如果药无效的话，就随机抽取5只羊，看它们都不患病的可能性大不大.若这件事的发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在这几只羊确实都未患病，那么就应是药的效果，也就是说药是有效的.

现在我们假设药是无效的，那么5只羊都不发病的概率是：

，显然这个概率是很小的，因此该事件几乎是不会发生的，但现在却发生了，那就说明我们的假设是不对的，所以药是有效的.

但同时还要指出，当我们作出判断“药有效”时，也是可能犯错误的.犯错误的概率是0.078.那么也就是说有接近92%的把握认为药是有效的.

评注：

独立性检验在科学研究、日常生活中有着广泛的应用，有时可以帮助我们采取正确的决策，我们也要重点关注.

本章内容为新课程标准中新添加的知识点.回归分析的侧重点应先求回归直线方程，并进行相应的估计预测，但这类的题数据的处理与计算量可能很大，教学中应谨慎把握.对于独立新检验问题，应以K²的计算与临界值的比较来判断分类变量的相关与无关为主.

教学要求说明举例

1．下列两个变量具有相关关系的是（）.

A．正方体的体积与它的边长B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间

C．人的身高与体重D．人的身高与视力

2．设一个回归方程为

，解释变量x增加一个单位时，则（）.

A．

B.

C．

D.A．

3．投掷一枚硬币，设事件A=“出现正面”，B=“出现反面”，则有（）.

A．A与B相互独立B.P（AB）=P（A）P（B）

C.A与B不相互独立D.P（AB）=

4．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

冷漠

不冷漠

总计

多看电视

68

42

110

少看电视

20

38

58

总计

88

80

168

则大约有____________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.

5．设一个回归方程为

.

6．加工某种零件需要经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的合格率分别是

并且每道工序是相互独立的，互相没有影响，则生产出的零件的合格率是.

7．某5名学生的饿和化学成绩如下表：

数学成绩x

88

76

73

66

63

化学成绩y

78

65

71

64

61

（1）画出散点图；

（2）如果x、y成线性相关，

①求y对x的线性回归方程；

②求x对y的线性回归方程.

8、在一次恶劣天气的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况如下表所示，请你根据所给的数据判断是否在恶劣天气飞行中男人比女人更容易晕机？

晕机

晕机

合计

男人

24

31

55

女人

8

26

34

合计

32

57

89

9、袋子A和B中各装若干个质地均匀的红球和白球，从A处摸出一个红球的概率是

.

（1）从A袋中有放回的摸球，每次摸出一个球，工摸5次.求：

①恰好有3次摸出红球的概率；②第一次、第三次、第五次均摸出红球的概率.

（2）若A、B两个袋子中的球数之比是1：

2，将两个袋子中的球混合在一起后，从中摸出一个红球的概率为

，求p的值.

第二部分推理与证明

一、知识要求与变化

1．课程标准要求

（1）合情推理与演绎推理

①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

②体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

③了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别.

（2）直接证明与间接证明

①了解直接证明的两种基本方法：

分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点.

②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点.

2、阶段性要求与终结性要求的说明

①对于“合情推理”，仅限于“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义”，而不追求对概念的抽象表达，要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”.因此，应结合教材提供的具体实例组织教学，补充的实例也应以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，不宜再拓宽、加深，拔高要求.

②对于“演绎推理”的教学，也应以“结合已学过的数学中的实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理”为准，不要拔高要求.

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系与差别.

合情推理

演绎推理

归纳推理

类比推理

过程

由部分到整体、个别到一般

由特殊到特殊

由一般到特殊

结论

不一定正确，有待证明

不一定正确，有待证明

在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确

作用

猜测和发现结论、探索和提供证明思路

证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程

④通过具体的实例和教材中“阅读与思考”材料的学习，体会并认识合情推理、演绎推理在科学发现中的作用.

⑤结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

⑥结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

直接证明

间接证明

综合法

分析法

反证法

思路过程

见人教版教材P45的框图

见人教版教材P48的框图

否定之否定等于肯定

特点

由因导果，即从已知看可知，再逐步推向未知

由果索因，即从未知看需知，再逐步靠近已知

①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论

⑦本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结，教学中注意引导学生通过实例认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧不宜作过高的要求.

⑧在证明中，能够正确地将文字语言、符号语言、图形语言进行转换，能够将题设中的隐含条件明确地表达出来.

二、重点和难点

1．教学重点：

①能利用归纳和类比等进行简单的合情推理.

②掌握利用综合法、分析法、反证法进行证明的基本过程.

《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例.”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程.合情推理的实质是“发现---猜想”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，培养探究能力.

综合法、分析法是基本的直接证明方法，反证法是基本的间接证明方法，它们在证明数学结论中起到主导作用.

2．教学难点：

①类比推理：

归纳、演绎等推理方式，学生在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言学生比较为陌生.教学的初期应防止出以下问题：

一是找不到类比的对象，二是有了类比对象，却发现不了两类事物间的相似性或一致性.

②反证法：

综合法、分析法学生在以往的学习中经常使用，比较熟悉，而反证法虽然也接触过，但应用不多，比较生疏.学生在学习过程中往往会两个方面出现困难：

一是“否定结论”部分，把握不清结论的“反”是什么？

例如，在证明“当

有两个不相等的非零实数根时，

”时，学生对于“

”的否定应该有①b=c=0；②b=0，c≠0；③b≠0，c=0三种情况分不清楚.

二是“导出矛盾”部分，有时是与已知条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾，因此学生弄不明白究竟是与什么矛盾.

3．对重点和难点深广度的说明

我们认为，在学习中学生能够了解归纳推理、类比推理、演绎推理的含义，能进行简单的推理，了解综合法、分析法、反证法等证明方法及它们的思维过程和特点，即达到课程标准的要求.具体来说，学生能独立解答教材中的练习题、习题A组中的习题，通过使用学习，交流探究，能够解决习题B组中的习题即达标.

4．教学案例

[课本P35例5的教学设计]

教法、学法设计：

学生自主探究、合作交流.

教具准备：

课前布置学生准备好用硬纸片剪的半径不等的圆片若干，针三根.

活动准备：

学生按四人一组分组，各组自主安排操作员，记录员；老师交待操作规则.

教学活动：

①各小组学生相互协作，探究如何完成操作.记录员准确记录操作过程、次数.

②各小组学生合作研究各次操作记录的次数的变化规律，“发现”这些数据与圆片数n间的“关系”，再依此“猜想”：

把n片圆片从1号针移动到3号针，最少需要移动的次数为

.

③在某（些）小组的探究活动受阻（如操作不符合规范、发现不了操作次数1、3、7、15与片数n取值1、2、3、4间的联系）时，教师及时给予点拔、指导.

④课外延伸：

师：

你们猜想“把n片圆片从1号针移动到3号针，最少需要移动的次数

”是否正确？

谁能给出证明？

请有兴趣的同学给出证明.

点评：

1．这种教学设计，能让学生经历“通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想”的探究过程，体会合情推理在数学结论发现中的作用.

2．把公式“

”的证明放在课后，由部分学生完成，这是基于以下理由：

（1）“把移动n个圆片的任务转化为移动两次（n—1）个圆片和一次第n个圆片的任务”的转化思想和整体处理技巧，对于多数学生来说有相当大的难度.

（2）课标只要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”，而要求全体学生都能导出递推公式

，超出了课标的要求.因此，将递推公式

的探求交给数学基础好、对数学有兴趣的学生去解决.

（3）由数学基础好，对数学有兴趣的学生自主探究递推公式

，符合新课程“鼓励学生个性化发展”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.

第三部分数系的扩充与复数的引入

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生和发展是客观的需要.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，在本模块学生将在问题情景中了解数系扩充的过程，了解引进复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

一、知识要求与变化

内容

《标准》目标表述

《大纲》目标表述

数系的扩充和复数的概念

1在问题情景中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及复数与现实世界的联系.

2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

1了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.

2了解从自然数系列复数系的关系及扩充的基本思想.

复数代数形式的四则运算

③能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.

《课程标准》设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突现了数系的扩充的现实需求，实现了基本课程中数系从实数到复数的又一次扩充，《课程标准》强调了复数的代数表示法以及代数形式的加减运算的几何意义，淡化了烦琐的计算和技巧训练，这样处理主要是为了让学生体会数学体系的建构过程、数形结合的思想以及理性思维在数学发展中的作用.

教学要求

1．《课程标准》强调，要使学生在问题情景中了解数系的扩充过程，因此教师要认真设计情景，使学生了解为什么引进复数这个概念，引进的意图是什么（从无实根方程和数的运算法则入手）.

2．使学生理解复数的基本概念和复数相等的充要条件，了解虚数不能比较大小的事实，并能利用充要条件进行相关问题的处理.

例1实数m取何值时，复数Z=（m+1）+（m-1）i是（）.

⑴实数⑵虚数⑶纯虚数

解：

当m-1=0时，即m=1时，Z为实数

当m+1≠0时，即m≠1时，Z是虚数

当m+1=0时，即m=-1时，Z是纯虚数

例2已知Z

=1+

Z

=（m-1）+（n-2）

，当m、n为何值时Z

=Z

解：

当m-1=1,n-2=1即m=2,n=3时Z

=Z

3．了解复数的代数表示法及几何意义，了解复数集与平面直角坐标系中的点集，复数集与平面向量的对应关系，知道复数的模的概念.

例3在复平面内，O是原点，OA所在向量对应复数是2+

.

⑴如果点A关于实轴的对应点为点B，求OB所在向量所对应的复数.

⑵如果

（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求C点对应的复数.

例4丨Z丨

-2丨Z丨-3=0，则复数Z所对应点的轨迹是_____.

4．使学生能进行复数代数形式的四则运算，了解复数加减法的几何性质（复数加减法与向量加减法的关系），知道共轭复数的概念

例5化简（3+4i）÷（1+2i）

解：

（3+4

）÷（1+2

）=（3+4

）（1-2

）/（1+2i）（1-2i）=（3-6i+4i+8）/（1+4）=

-

.

例6若丨Z+1丨+丨Z-1丨=4，则丨Z丨的最大值为_________.

二、重点与难点

1．教学重点：

⑴复数的引入与复数的概念、复数相等的充要条件；

⑵复数代数表示法及几何意义；

⑶复数四则运算法则、代数形式加减法的几何意义；

2．教学难点：

复数的引入及复数的概念.

第四部分框图

一、知识要求与变化

1．课程标准要求

（1）流程图：

①通过具体实例，进一步认识程序框图.

②通过具体实例，了解工序流程图.

③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用.

（2）结构图：

①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用.

2．阶段性要求与终结要求的说明

（1）引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程图、某一数学知识的结构关系等.

（2）使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性.

（3）提高学生抽象概括能力和清晰地表达与交流思想的能力.

二、重点和难点

1．教学重点：

（1）程序框图

（2）（知识）结构图

框图的重要性是基于：

框图是表示一个系统各部分、各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，如能够清晰地表明算法，展示工序的流程顺序，揭示知识的内在联系等.使复杂问题简单明了，增加直观性，从而为人们掌握算法、编制程序，安排工程作业进度，分配调整工程作业人员、提高效率，为更深入地领会知识结构、洞悉事物之间的联系等提供帮助.

首先，程序框图是流程图的一种；其次，程序框图是学生已经在《算法》中学习过程序框图、具备了程序框图的初步知识后学习流程图，即“程序框图”在这里起到承上启下的作用.

教材编排的重点是“知识结构图”，“引导学生运用框图表示某一数学知识的结构关系”对于学生理清知识联系，形成知识体系，完善认知结构，有十分重要的作用.

2．教学难点：

①流程图；

②（知识）结构图.

学生的生活经验少，阅历浅，见识不广，如“零件加工工序”之类的应用问题，学生不了解，因此要编制出“工序流程图”是有相当大难度的；又如“解决数学问题的流程图”，对于基础差的学生来说是极难概括出“解题流程”的.所以，“流程图”是学习本节内容的难点.

由于每个模块中各知识要素之间的从属关系的复杂性，如有些表现为“线”形结构，有些表现为“环”形结构，有些又表现为“线形与环形混合”结构.对于基础较差的学生而言，要作出符合要求的知识结构图有很大的困难.

3．对重点和难点深广度的说明

教学要求使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握何时运用框图表达比较清晰的思想，通过具体事例的分析和问题的流程图与结构图形成，体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，不宜过分拔高要求.具体以学生能够自主完成各模块的知识结构图，领会简单问题的解题思路，会用框图表示数学问题解决过程以及简单的事物发生、发展的过程，能够自主解决教材练习题和较为简单的问题，通过合作学习、交流等解决较难的问题.

4．案例

（1）问题：

参照课本中的知识结构图，结合