高中数学总复习四十三讲第二讲 简易逻辑.docx

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高中数学总复习四十三讲第二讲简易逻辑

第二讲简易逻辑

最新命题特点

对本部分内容的考查呈现以下特点：

1．逻辑是研究思维的方式及规律的基础学科，逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在高考题中，几乎每一题都要用到逻辑知识；

2．高考中多以选择题和填空题出现，在难度上以易题为主，若以函数、数列、立体几何知识为载体，也考查解答题；另外，逻辑推理知识是一个新的命题背景；

3．高考中主要考查逻辑连接词及其判断复合命题的真假，命题的四种形式及相互关系；充要条件；反证法．

4．预计：

典型例题中仍然以真空或选择题形式出现．逻辑推理知识是新的命题背景．

应试高分瓶颈

1．对某些概念理解不清，有关定义不能熟记，因而不能正确判断命题的真伪而导致丢分；

2．不能准确地进行四种命题的转换，导致丢分；

3．判断两个命题的充分、必要关系时方向不清．

内容

命题点1真假命题及四种命题的概念

命题点2充要条件

命题点1真假命题及四种命题的概念

本类考题解答锦囊

解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题，主要掌握以下几点：

1．对数学概念要有准确的记忆和深层次的理解；

2．掌握真值表是判断真假的前提；

3．判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解；证明一个结论成立时，也常转化为证明其逆否命题成立．

4．解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式，准确地运用真值表进行判断．

Ⅰ高考最新热门题

1（2005·上海）设数列{an}的前n项和为sn（n∈N*），则关于数列{an}有下列三个命题：

（1）若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1（n∈N*）；

（2）若sn=an2+bn（a，b∈R），则{an}为等差数列；

（3）sn=1-（-1）n，则{an}是等比数列．

这些命题中正确命题的序号是_________

命题目的与解题技巧：

本题以“命题”为工具，主要考查等差、等比数列的基础知识．解决本题的关键是准确掌握等差、等比数列的定义，an和sn的关系等知识．说明命题为真命题需要证明，说明一个命题为假命题只需单一个反例．

[解析]

（1）∵{an}为等差数列，设公差为d，则由题意an-d,an，an+d为等比数列，∴a

=（an-d）（an+d），所以d=0正确,∴

（1）正确．

（2）当n=1时，a1=s1=a+b；当n≥2时，an=sn-sn-1=2an-a+b；因n=1适合上式，所以an=sn-sn-1=2an-a+b而an+1-an=2a（常数），所以{an}为等差数列．（3）同

（2）得an=（-1）n-1·2，而

=-1（常数）．所以{an}为等比数列．

[答案]

（1）

2（典型例题）在空间中：

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________

答案：

②指导：

①中的逆命题是：

若四点任何三点都不共线，则这四点不共面．用正方体AC1做模型来观察：

上底面A1B1C1D1

中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①中逆命题不真．②中逆命题是：

若两条直线是异面直线，则两条

直线没有公共点，所以②中逆命题是真命题．

3（典型例题）已知函数y=f（x）（定义域为D，值城为A）有反函数y=f-1（x），则f（x）=0有根为a且f（x）>x（x∈D）的充要条件是y=f-1（x）满足________

答案：

f-1（0）=a，且f-1（x）

指导：

因为y=f（x）有反函数，则y=f（x）必为单调函数，由方程y=f（x）=0有解x=a，则y=f（a）=0．

又y=f（x）>x，说明在定义域D内，函数y=f（x）的图象在直线y=x的上方．而y=f（x）的反函数y=f-1（x）与y=f（x）

的图象关于直线y=x对称．因此，从代数角度回答有y=f-l（0）=a，且y=f-1（x）

4（典型例题）α,β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：

①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________

答案：

指导：

以m上n作为结论，其余S个论断作为前提条件，检查命题是否正确：

因为

所以n//α或n

α.当n

α时,

得

当n//α时，过作一平面与平面a相交于直线n’,则由前证知，根据线面平行性质这时n//n’故得

.

5（典型例题）命题p：

若a、b∈R则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件．命题q函数y=

的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞）．则

A．“P或q”为假B．“p且q”为真

C．“p真q假”D．“p假q真”

答案：

D指导：

∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要而不充分条件，即p假；由|x-1|-2≥0，得x≤-1，

或x≥3，即q真．∴选D．

Ⅱ题点经典类型题

1（2005·合肥）给出命题：

p：

3≥3，命题q：

函数f（x）=

x≥0x<0在R上是连续函数，则在下列三个复合命题：

“p且q”“p或q”“非p”中，真命题的个数为

A．0B．1C．2D．3

命题目的与解题技巧：

本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表．解决本题的关键是准确连续函数的定义及基本知识．要判断三个复合命题的真假，必须先判断P与叮的真假，再结合复合函数的真值表进行判断．

[解析]要判断三个复合命题的真假，先必须判断p与q的真假，再结合复合命题的真假表作出判断，p:

3≥3为真命题，而q:

f（x）在R上是连续函数是假命题，则这p或q为真，P且q为假，p为假命题．

[答案]B

2（2005·南开中学）今有命题p、q，若命题m为“p且q，则“p或，q”是“m”的

A.充分不必要条件D．必要而不充分条件

C.充要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

C指导：

∵“p且q”的否定为“┐p或┐q∴“┐p或┐q”是“┐m”的充要条件．

3（典型例题）定义在R上且不恒为0的函数f（x），满足f（x）满足f（x+

）+f（x）=0，且函数f（x-

）为奇函数，给出下列命题：

①函数f（x）的最小正周期是

；②函数y=f（x）的图象关于点（-

，0）对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是

A．3B．2C．1D．0

答案：

B指导：

∵

∴最小正周期为3；∵y=f

为奇函数．∴函数y=f对称中心为原点，∴函数y=f（x）以点

为对称中心．∵y=f（x

）为奇函数．

①

又由

比较①②得f（-x）=f（x）.∴y=f（x）为偶数.∴命题②、③正确，①错误∴选B．

4（典型例题）已知原命题：

“若m>0，则关于x的方程x2+x-m=0有实根”，下面结论中正确的是

A.原命题和逆否命题都是真命题

B．原命题和逆否命题都是假命题

C.原命题是真命题，逆否命题是假命题

D．原命题是假命题，逆否命题是假命题

答案：

A指导：

对于方程x2+x-m=0的△=4m+1，当m>0时△>0，∴方程有实根，即原命题是真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，故选A.

Ⅲ新高考命题探究

1已知命题p=不等式|x|+|x-1|>m的解集为R，命题q=函数f（x）=-（5-2m）x是减函数，若p或q为真命题、p且q为假命题，则实数m的取值是______．

答案：

[1，2]指导：

不等式|x|+|x-1|>m的解集为R，则m<1，函数f（x）=-（5-2m）x是减函数，则m<2，又由p或q为真命题、p且q为假命题，则实数m的取值1≤m≤2．

2已知函数f（x）=x2+（a+1）x+1g|a+2|（a∈R，且a≠-2）．

（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；

（2）命题P；函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞]上是增函数；命题Q；函数g（x）是减函数，如果命题p、0有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，比较f

（2）与3-lg2的大小．

答案：

（1）∵y=f（x）=g（x）+h（x），

g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x），

∴f（-x）=-g（x）+h（x）．

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|．

（2）∵函数y=f（x）=

在区间[（a+2）2，+∞]上是增函数，∴（a+1）2≥

解得a≥-1或a≤

且a≠-2．

又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+<0，

∴a<-1且a≠-2．

命题Q为真的条件是：

a<-l，∴命题P为真的条件是：

a≥-1或a≤

且a≠-2．

又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，∴a>

（3）由题意得f

（2）=2a+lg|a+2|+6．

又∵a>

∴f

（2）=2a+lg|a+2|+2|+6．

设函数v（a）=2a+18（a+2）+6，

∴v'（a）=2+

∴函数v（a）在区间[

+∞]上为增函数．

又∵v（

）=3-lg2，∴当a>

时，v（a）>（

），即f

（2）>3-lg2.

命题点2充要条件

本类考题解答锦囊

解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点：

1．判断充要条件要从两方面考虑：

一是：

解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是再看是由条件推出吉论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明．

2．判断充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“

”号：

若p

q且p

q，则p是q的充分不必要条件；

若p

q且p

q，则p是q的必要不充分条件；

若p

q，则p是q的充要条件；

Ⅰ高考最新热门题

1（典型例题）设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别出心裁为集合M和N，那么“

”是“M=N”的

A.充分非必要条件B．必要非充分条件

C.充要条件D．既非充分又非必要条件

命题目的与解题技巧：

本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定．二次不等式是高考中的热点问题，解决本题的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题，熟悉充要条件的判定和方法规律．

[解析]如果

>0则“M=N”，如果

<0，则“M≠N”．∴R反之若M=N=φ，既说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N”“

”．因此，既非充分又非必要条件．

[答案]B

2（典型例题）已知数列{an}，那么“对任意的n∈N，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上”是“{an}为等差数列”的

A.必要而不充分条件B．充分而不必要条件

C.充要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

B指导：

由P：

“对任意的n∈N*，点Pn（n,an）都在直线y=2x+1上”，即P：

“an=2n+l，n∈N*”，故an+1-an=2，∴{an}是以a1=3为首项，d=2为公差的等差数列．q:

{an}为等差数列．故p

q，而qp,∴选B

3（典型例题）函数f（x）=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是

A．a∈（-∞，1）B．a∈[2，+∞]

C．a∈[1，2]D．a∈（-∞，1）∪[2，+∞]

答案：

D指导：

∵f（x）=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f（x）在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1,2]（-∞,a）或[1，2][a，+∞]，既a≥2或a≤1．

4（典型例题）“cos2α=

的

A.必要非充分条件B．充分非必要条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

答案：

A指导：

∵ó

Ⅱ题点经典类型题

1（典型例题）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件、”“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p:

A>B，q:

BC>AC；

（2）对于实数x，y，p:

x+y≠8，q:

x≠2或y≠6；

（3）在△ABC中，p:

sinA>sinB，q:

tanA>tanB；

（4）已知x，y∈R，p；（x-1）2+（y-2）2=0，q；（x-1）（y一2）=0．

命题目的与解题技巧：

本题主要考查条件的判定，关键是分清条件和结论，条件→结论的充分性，结论→条件的必要性．

[解析]

（1）在△ABC中，显然有A>B

BC>AC，∴p是q的充要条件．

（2）∵逆否命题：

x=2且y=6x+y=8，∴p是q的充分不必要条件．

（3）取A=120°，B=30°，p

q，又取A=30°，B=120°，q

p，∴p是q的既不充分又不必要条件．

（4）∵p={（1，2）}，q={（x，y），|x=1或y=2}，pq,∴p是q的充分不必要条件．

[答案]略

2（典型例题）一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

答案：

C指导：

方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件为x1x2=

<0

∴它的一个充分不必要条件为C选项．

3（2005·河南）给出两个命题：

p：

|x|=x的充要条件是x为正实数；q：

存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是

A.p且qB．p或qC．p且qD．p或q

答案：

D指导：

|x|＝x得x≥0．∴p为假命题，q也为假命题，如：

存在反函数，但不单调．∴选D．

4（2005·西城）已知命题p：

函数y=log（ax+2a）（a>0且a≠1）的图象必过定点（-1，1）；命题q：

如果函数y=f（x-3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于（3，0）点对称．则

A．“p且q”为真B．“p或q”为假

C．p真q假D.P假q真

答案：

C指导：

显然p为真命题，由命题q，得y=f（x）的图象关于（-3，0）点对称．∴选C

5（典型例题）设x，y∈R，求证：

，|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥O．

答案：

充分性是证：

xy≥0|x+y|=|x|+|y|；必要性是证：

|x+y||x|+|y|

xy≥0．

先证充分性：

如果xy=0，那么①x=0，y≠0；②y=0，x≠0；③x=0，y=0．于是|x+y|=|x|+|y|

如果xy>0，即x>0，y>0，或x<0，y<0。

当x>0，y>0时，|x+y|=|x|+|y|

当x<0，y<0时，有|x+y|=-（x+y）=-x+（-y）=|x|+|y|．

总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.再证必要性：

由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R，得（x+y）2=（|x|+|y|）2．

即x2+2xyy2=x2+2|xy|+y2，即|xy|=xy,∴xy≥0．

Ⅲ新高考命题探究

1命题甲：

（

）x,21-x,2x2成等比数列；命题乙：

lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则甲是乙的

A.充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

答案：

B指导：

甲乙而乙甲，故甲是乙的必要非充分条件．

20

A.充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

A指导：

设A={x|0

3已知a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，是各项大于零的数列．命题①a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，不是等比数列；命题②a1+a8

A.充分且必要条件B．充分但不必要条件

C．必要但不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案：

B指导：

若是等比数列，则a1+a8=a1（1+q7）．a4+a5=a1（q3+q4）．所以a1+a8-（a4+a5）=a1（q7-q3-q4+1）=a1（q4-1）（q3-1）．

∵a1>0，q>0，∴al+a8≥a4+a5故命题②

①

考场热身

探究性命题综合测试

1已知直线m、n和平面α，则m∥n的一个必要条件是

A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥α

C．m∥α，n

αD．m、n与α成等角

答案：

D指导：

由m∥n可得m、n与α成等角，由m、n与α成等角不能得m∥n．∴选D

2已知a∈R，b∈R，则a2+b2=0是函数f（x）=x|x+a|+b为奇函数的

A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

C指导：

若a2+b2=0即a=b=0时，f（-x）-x|x+0|+0=-x|x|=-f（x），

∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件．又若f（x）为奇函数即f（-x）=-x|（-x）+a|+b=-（x|x+a|+b），则必有a=b=0即a2+b2=0．

∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件．

3在△ABC中，条件甲：

A

cos2A>cos2B，则甲是乙的

A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

答案：

C指导：

设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，则由正弦定理

＝2R

∴选C

4已知三个不等式：

ab>0，bc-ad>0，

>0（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是

A．0个B．1个C．2个D．3个

答案：

D指导：

①

是真命题；②

是真命题；

③

是真命题.

5已知函数f（x）=2x2+mx+n，求证：

|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1．

答案：

证明：

假设原命题不成立，即|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|都小于1．

则

①+③，得-11<2m+n<-9与②-9<2m+n<-7矛盾，所以假设不成立．

即|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1．