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分析力学阅读材料
分析力学(analyticalmechanics)一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变数,以牛顿运动定律为基础,运用数学分析的方法研究宏观现象中的力学问题。
1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》一书,为这门学科奠定了基础。
∙基本原理
∙研究的对象
∙研究的主要内容
∙•基本原理
∙•研究的对象
∙•研究的主要内容
分析力学-基本原理
有虚功原理和达朗伯原理。
前者是分析静力学的基础;两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统的动力方程。
分析力学-研究的对象
是质点系。
质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。
例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可由1到无穷。
又如太阳系可看作自由质点系。
研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学同分析力学密切相关,在方法上互相促进。
分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数随之降低,更易于求解。
分析力学-研究的主要内容
∙导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日方程、正则方程,非完整系统的阿佩尔方程等;
∙研究力学的变分原理,如哈密顿原理、最小作用量原理等;
∙寻求各种力学定理和积分,如对应于可遗坐标的广义动量积分等;
∙探讨各种动力方程的求解方法以及一切与这个目标靠近的理论,例如研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以判别系统的稳定性等。
在量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。
从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。
但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。
例如用分析力学知识求出哈密顿函数,再化成哈密顿算符,又自哈密顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程──薛定谔方程等。
A.爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。
分析力学(analyticalmechanics)一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变数,以牛顿运动定律为基
础,运用数学分析的方法研究宏观现象中的力学问题。
1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》一书,为这门学科奠定了基础。
目录
∙•介绍
∙•基本原理
∙•研究的对象
∙•研究的主要内容
∙•发源
∙•与理论力学的区别
∙•介绍
∙•基本原理
∙•研究的对象
∙•研究的主要内容
∙•发源
∙•与理论力学的区别
∙•应用
∙•参考资料
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分析力学-介绍
经典力学最初的表达形式由牛顿给出,称为矢量力学(有时也叫牛顿力学)。
拉格朗
分析力学
日,哈密顿,雅可比等人使用广义坐标和变分原理,建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。
同矢量力学相比,分析力学的表述方法具有更大的普遍性。
很多在矢量力学中极为复杂的问题,运用分析力学可以较为简便的解决。
分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中,在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。
分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。
前者以拉格朗日量刻划力学系统,运动方程称为拉格朗日方程,后者以哈密顿量刻划力学系统,运动方程为哈密顿正则方程。
分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系,它的研究对象是质点系。
质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型,例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可由一到无穷。
又如太阳系可看作自由质点系,星体间的相互作用是万有引力,研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学,同分析力学密切相关,在方法上互相促进;工程上的力学问题大多数是约束的质点系,由于约束方程类型的不同,就形成了不同的力学系统。
例如,完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。
不同的系统所遵循的运动微分方程不同;研究大量粒子的系统需用统计力学;量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。
但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。
分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数陆之降低,更易于求解。
分析力学-基本原理
有虚功原理和达朗伯原理。
前者是分析静力学的基础;两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统的动力方程。
分析力学-研究的对象
是质点系。
质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。
例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合
体都可看作质点系,质点数可由1到无穷。
又如太阳系可看作自由质点系。
研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学同分析力学密切相关,在方法上互相促进。
分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数随之降低,更易于求解。
分析力学-研究的主要内容
∙导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日方程、正则方程,非完
分析力学
∙整系统的阿佩尔方程等;
∙研究力学的变分原理,如哈密顿原理、最小作用量原理等;
∙寻求各种力学定理和积分,如对应于可遗坐标的广义动量积分等;
∙探讨各种动力方程的求解方法以及一切与这个目标靠近的理论,例如研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以判别系统的稳定性等。
在量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。
从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。
但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。
例如用分析力学知识求出哈密顿函数,再化成哈密顿算符,又自哈密顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程──薛定谔方程等。
A.爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。
分析力学-发源
从十八世纪开始,在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系,即分析力学。
这个体系的特点
分析力学
是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。
为了避免未知理想约束力的出现,分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系,导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程-拉格朗日第一类方程。
分析力学的另一种方法是从独立坐标出发,利用纯数学分析方法,将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达,克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。
这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。
上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。
以拉格朗日方程为基础的分析力学,称为拉格朗日力学。
1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式,将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理,从而建立了哈密顿力学。
对于一个动力学系统,尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧,但它的数学推导过程相当繁琐,因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难,并且容易出错。
利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题,与矢量动力学的一般方法一样,尽管建立方程比较容易,但其求解规模很大。
正是由于这个原因,在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越,而被搁置一边。
随着近代计算技术的发展,解决具有程式化特征的数学问题,规模再大也能迎刃而解。
故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。
可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中,均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。
分析力学
1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。
分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。
两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统的动力方程。
1760~1761年,拉格朗日用这两个原理和理想约束结合,得到了动力学的普遍方程,几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年,汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程,称为正则方程。
汉密尔顿体系在多维空间中,可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始,到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止,基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究,对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学-与理论力学的区别
原则上讲是一样的,但实际上的课本里,理论力学要先讲一些普通力学的知识,最后一章才讲分析力学,也就是说:
理论力学是简单易学的分析力学,较为初等的分析力学。
分析力学-应用
一般力学的一个分支。
以广义坐标为描述质点系的变量,以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础,运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。
1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。
1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程,把分析力学推进一步。
1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类,从此开始非完整系统分析力学的研究。
分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法。
近20年来,又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。
分析力学是经典物理学的基础之一,也是整个力学的基础之一。
它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域,也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。
分析力学-参考资料
拉格朗日力学,分析力学中的一种,由拉格朗日在1788年建立,是对经典力学的一种的新的数学表述。
经典力学
最初的表述形式由牛顿建立,它着重分析位移,速度,加速度,力等矢量间的关系,又称为矢量力学。
拉格朗日引入了广义坐标的概念,运用达朗贝尔原理,得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。
但拉格朗日方程具有更普遍的意义,适用范围更广泛。
并且,选取恰当的广义坐标,可以使拉格朗日方程的求解大大简化。
目录
∙•简介
∙•拉格朗日生平
∙•自由度
∙•广义坐标
∙•拉格朗日量
∙•简介
∙•拉格朗日生平
∙•自由度
∙•广义坐标
∙•拉格朗日量
∙•拉格朗日方程
∙•扩展
∙•拉格朗日的科学成就
∙•参见
∙•参考书籍
∙•参考资料
∙•相关条目
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拉格朗日力学-简介
分析力学中的一种,由拉格朗日在1788年建立,是对经典力学的一种的新的数学表述。
经典力学最初的表述形式由牛顿建立,它着重分析位移,速度,加速度,力等矢量间的关系,又称为矢量力学。
拉格朗日引入了广义坐标的概念,运用达朗贝尔原理,得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。
但拉格朗日方
拉格朗日
程具有更普遍的意义,适用范围更广泛。
并且,选取恰当的广义坐标,可以使拉格朗日方程的求解大大简化。
力学系统由一组坐标来描述。
比如一个质点的运动(在笛卡尔坐标系中)由x,y,z三个坐标来描述。
一般的,N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。
力学系统中常常存在着各种约束,使得这3N个坐标并不都是独立的。
力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。
对于N个质点组成的力学系统,若存在m个约束,则系统的自由度为
S=3N−m
在矢量力学中,约束的存在体现于作用于系统的约束力。
约束力引入额外的未知量,通常使问题变得更为复杂。
但若能选取适当的s个完全满足约束条件的独立坐标,则约束不再出现在问题中,只需要求解关于s个未知变量的方程,使问题得以大大简化。
这样的s个坐标不再局限于各质点的位置坐标,而可以是任何能描述系统的几何参量,因此称为“广义坐标”。
哈密尔顿量H可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换得到。
哈密尔顿量是经典力学的另一种表述哈密尔顿力学的基础。
拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的切丛上的函数,而哈密尔顿量是相对应的余切丛上的函数。
哈密尔顿量在量子力学中到处出现(参看哈密尔顿量(量子力学))。
1948年,费曼发明了路径积分表述,将最小作用原理扩展到量子力学。
在该表述中,粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径;特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。
在经典力学的范围,路径积分表述简单的退化为哈密尔顿原理。
拉格朗日力学-拉格朗日生平
拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。
父亲是法国陆军骑兵里的一名军官,后由于经商破产,家道
宇宙的多重结构
中落。
据拉格朗日本人回忆,如果幼年是家境富裕,他也就不会作数学研究了,因为父亲一心想把他培养成为一名律师。
拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
到了青年时代,在数学家雷维里的教导下,拉格朗日喜爱上了几何学。
17岁时,他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后,感觉到“分析才是自己最热爱的学科”,从此他迷上了数学分析,开始专攻当时迅速发展的数学分析。
18岁时,拉格朗日用意大利语写了第一篇论文,是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商,他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。
不久后,他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。
这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心,相反,更坚定了他投身数学分析领域的信心。
1755年拉格朗日19岁时,在探讨数学难题“等周问题”的过程中,他以欧拉的思路和结果为依据,用纯分析的方法求变分极值。
第一篇论文“极大和极小的方法研究”,发展了欧拉所开创的变分法,为变分法奠定了理论基础。
变分法的创立,使拉格朗日在都灵声名大震,并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授,成为当时欧洲公认的第一流数学家。
1756年,受欧拉的举荐,拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。
1764年,法国科学院悬赏征文,要求用万有引力解释月球天平动问题,他的研究获奖。
接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题),为此又一次于1766年获奖。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说,在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。
于是他应邀前往柏林,任普鲁士科学院数学部主任,居住达20年之久,开始了他一生科学研究的鼎盛时期。
在此期间,他完成了《分析力学》一书,这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。
书中运用变分原理和分析的方法,建立起完整和谐的力学体系,使力学分析化了。
他在序言中宣称:
力学已经成为分析的一个分支。
1783年,拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院",他被任命为名誉院长。
1786年腓特烈大帝去世以后,他接受了法王路易十六的邀请,离开柏林,定居巴黎,直至去世。
拉格朗日力学
这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会,并出任法国米制委员会主任。
1799年,法国完成统一度量衡工作,制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位,拉格朗日为此做出了巨大的努力。
1791年,拉格朗日被选为英国皇家学会会员,又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。
1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后,拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。
此后,他才重新进行研究工作,编写了一批重要著作:
《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》,总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。
1813年4月3日,拿破仑授予他帝国大十字勋章,但此时的拉格朗日已卧床不起,4月11日早晨,拉格朗日逝世。
拉格朗日力学-自由度
力学系统由一组坐标来描述。
比如一个质点的运动(在笛卡尔坐标系中)由x,y,z三个坐标来描述。
一般的,N
个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。
力学系统中常常存在着各种约束,使得这3N个坐标并不都是独立的。
力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。
对于N个质点组成的力学系统,若存在m个约束,则系统的自由度为
S=3N-m
拉格朗日力学-广义坐标
在矢量力学中,约束的存在体现于作用于系统的约束力。
约束力引入额外的未知量,通常使问题变得更为复杂。
但若能选取适当的s个完全满足约束条件的独立坐标,则约束不再出现在问题中,只需要求解关于s个未知变量的方程,使问题得以大大简化。
这样的s个坐标不再局限于各质点的位置坐标,而可以是任何能描述系统的几何参量,因此称为“广义坐标”。
拉格朗日力学-拉格朗日量
拉格朗日力学的一个基本假设是:
具有n个自由度的系统,其运动状态完全由n个广义坐标及它们的微商(广义速度)决定。
或者说,力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述:
拉格朗日量
这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。
拉格朗日力学-拉格朗日方程
拉格朗日力学中,运动方程由n个二阶微分方程(拉格朗日方程)给出:
拉格朗日方程
其中拉格朗日量L=T-V为动能与势之差。
拉格朗日方程的地位等同于牛顿力学中的牛顿第二定律,但具有更普遍的意义。
拉格朗日力学-扩展
哈密尔顿量H可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换得到。
哈
密尔顿量是经典力学的另一种表述哈密尔顿力学的基础。
拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的切丛上的函数,而哈密尔顿量是相对应的余切丛上的函数。
哈密尔顿量在量子力学中到处出现(参看哈密尔顿量(量子力学))。
1948年,费曼发明了路径积分表述,将最小作用原理扩展到量子力学。
在该表述中,粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径;特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。
在经典力学的范围,路径积分表述简单的退化为哈密尔顿原理。
拉格朗日力学-拉格朗日的科学成就
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。
他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来,使数
拉格朗日
学的独立性更为清楚,从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
拉格朗日总结了18世纪的数学成果,同时又为19世纪的数学研究开辟了道路,堪称法国最杰出的数学大师。
同时,他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果,在使天文学力学化、力学分析化上,也起到了历史性的作用,促进了力学和天体力学的进一步发展,成为这些领域的开创性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年,拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上,作出了有价值的贡献,推动了代数学的发展。
他提交给柏林科学院两篇著名的论文:
《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。
把前人解三、四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。
他试图寻找五次方程的预解函数,希望这个函数是低于五次的方程的解,但未获得成功。
然而,他的思想已蕴含着置换群概念,对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用,最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。
因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。
在数论方面,拉格朗日也显示出非凡的才能。
他对费马提出的许多问题作出了解答。
如,一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等,他还证明了圆周率的无理性。
这些研究成果丰富了数论的内容。
在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中,在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试,他企图把微分运算归结为代数运算,从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量,并想由此出发建立全部分析学。
但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题,他自以为摆脱了极限概念,其实只是回避了极限概念,并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。
不过,他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响,成为实变函数论的起点。
拉格朗日也是分析力学的创立者。
拉格朗日在其名著《分析力学》中,在总结历史上各种力学基本原理的基础
地球空间运输与月面运输
上,发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果,引入了势和等势面的概念,进一步把数学分析应用于质点和刚体力学,提出了运用于静力学和动力学的普遍方程,引进广义坐标的概念,建立了拉格朗日方程,把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式,改变为以能量为基本概念的分析力学形式,奠定了分析力学的基础,为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
他还给出刚体在重力作用下,绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解,对三体问题的求解方法有重要贡献,解决了限制性三体运动的定型问题。
拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献,提出了描述流体运动的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中,约有一半同天体力学有关。
他用自己在分析力学中的原理和公式,建立起各类天体的运动方程。
在天体运动方程的解法中,拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解,即拉格朗日平动解。
此外,他还研究了彗星和小行星的摄动问题,提出了彗星起源假说等。
近百余年来,数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。
所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。
被誉为“欧洲最大的数学家”。
拉格朗日力学-参见
分析力学
哈密顿力学
拉格朗日力学-参考书籍
梁昆淼:
《力学》
朗道:
《力学》
拉格朗日力学-参考资料
拉格朗日-约瑟夫·路易斯·拉格朗日
约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph-LouisLagrange1735~1813)
法国数学家、物理学家。
1736年1月25日生于意大利都灵,1813年4月10日卒于巴黎。
他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出
拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。
父亲是法国陆军骑兵里的一名军官,后由于经商破产,家道中落。
据拉格朗日本人回忆,如果幼年是家境富裕,他也就不会作数学研究了,因为父亲一心想把他培养成为一名律师。
拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
到了青年时代,在数学家雷维里的教导下,拉格朗日喜爱上了几何学。
17岁时,他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后,感觉到“分析才是自己最热爱的学科”,从此他迷上了数学分析,开始专攻当时迅速发展的数学分析。
18岁时,拉格朗日用意大利语写了第一篇论文,是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商,他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。
不久后,他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。
这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心,相反,更坚定了他投身数学分析领域的信心。
1755年拉格朗日19岁时,在探讨数学难题“等周问题”的过程中,他以欧拉的思路和结果为依据,用纯分析的方法求变分极值。
第一篇论文“极大和极小的方法研究”,发展了欧拉所开创的变分法,为变分法奠定了理论基础。
变分法的创
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