学年北师大版必修三 连续型随机变量教案.docx

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学年北师大版必修三连续型随机变量教案

北师大版必修三连续型随机变量

教案

1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．（难点）

2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（重点）

[基础·初探]

教材整理　正态分布

阅读教材P63～P65，完成下列问题．

1．正态分布

（1）在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的__________，这条曲线对应的函数称为X的__________．

（2）若随机变量X的分布密度函数为f（x）＝______，其中μ与σ分别是随机变量X的________与________，则称X服从参数μ和σ2的正态分布，记作X～N（μ，σ2）．

【答案】　

（1）分布密度曲线　分布密度函数　

（2）

·

　均值　标准差

2．正态曲线的性质

（1）函数图像关于直线________对称；

（2）σ（σ>0）的大小决定函数图像的________；

（3）P（μ－σ

P（μ－2σ

P（μ－3σ

【答案】　

（1）x＝μ　

（2）胖、瘦　（3）68.3%　95.4%　99.7%

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．（　　）

（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．（　　）

（3）正态曲线是一条钟形曲线．（　　）

（4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．（　　）

【解析】　

（1）×　因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．

（2）√　因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．

（3）√　由正态分布曲线的形状可知该说法正确．

（4）×　因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线（函数）描述．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2．若X～N（1,0.04），则P（X＞1）＝________.

【解析】　由X～N（1,0.04）知，正态曲线关于直线x＝1对称，故P（X＞1）＝0.5.

【答案】　0.5

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

正态曲线及其性质

（1）如图261，曲线C1：

f（x）＝

（x∈R），曲线C2：

φ（x）＝

（x∈R），则（　　）

图261

A．μ1＜μ2

B．曲线C1与x轴相交

C．σ1＞σ2

D．曲线C1，C2分别与x轴所夹的面积相等

（2）如图262是三个正态分布X～N（0,0.25），Y～N（0,1），Z～N（0,4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的______，______，______.（填写序号）

图262

（3）如图263所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式，则总体随机变量的均值为________，方差为________．

图263

【精彩点拨】　着眼点：

（1）方差的大小；

（2）正态曲线的特征及意义；（3）参数的几何意义．

【自主解答】　

（1）由曲线C1，C2对称轴的位置知，μ1＞μ2，由曲线C1瘦于C2知σ1＜σ2，由f（x）＞0知，曲线C1在x轴上方，故选D.

（2）由0.25＜1＜4，得X，Y，Z对应的曲线分别是图中的①②③.

（3）从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为

，所以μ＝20，

＝

，解得σ＝

.

于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：

φμ，σ（x）＝

·

，x∈（－∞，＋∞）．

总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝（

）2＝2.

【答案】　

（1）D　

（2）①②③　（3）20　2

利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：

（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ；

（2）正态曲线在x＝μ处达到峰值

，由此性质结合图像可求σ.

[再练一题]

1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f（x）＝

，则（　　）

【导学号：

62690047】

A．μ＝2，σ＝3　　　　　B．μ＝3，σ＝2

C．μ＝2，σ＝

D．μ＝3，σ＝

【解析】　由f（x）＝

，得μ＝2，σ＝

.

【答案】　C

服从正态分布变量的概率问题

（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）＝（　　）

A．0.6B．0.4

C．0.3D．0.2

（2）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1,4），求正态总体X在（－1,1）内取值的概率．

【精彩点拨】　

（1）根据正态曲线的对称性性质进行求解；

（2）题可先求出X在（－1,3）内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在（－1,1）内取值的概率就等于在（－1,3）内取值的概率的一半．

【自主解答】　

（1）∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），

∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P（ξ<4）＝0.8，

∴P（ξ≥4）＝P（ξ<0）＝0.2，

∴P（0<ξ<4）＝0.6，∴P（0<ξ<2）＝0.3.故选C.

【答案】　C

（2）由题意得μ＝1，σ＝2，

所以P（－1＜X≤3）＝P（1－2＜X≤1＋2）＝0.6830.

又因为正态曲线关于x＝1对称，

所以P（－1＜X＜1）＝P（1＜X＜3）＝

P（－1＜X＜3）＝0.3415.

1．求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．

2．常用结论有：

（1）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；

（2）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；

（3）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）．

[再练一题]

2．若η～N（5,1），求P（5<η<7）．

【解】　∵η～N（5,1），∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1.

∵该正态曲线关于x＝5对称，

∴P（5<η<7）＝

×P（3<η<7）＝

×0.954＝0.477.

[探究共研型]

正态分布的实际应用

探究1　若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？

【提示】　零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.

探究2　某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），若零件的外直径在（3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种零件中约有多少件一等品？

【提示】　P（3.5<ε≤4.5）＝P（μ－σ<ε<μ＋σ）＝0.6830，所以1000件产品中大约有1000×0.6830＝683（件）一等品．

探究3　某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4，0.25）．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？

【提示】　由于圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），

由正态分布的特征可知，正态分布N（4,0.25）在区间（4－3×0.5,4＋3×0.5），

即（2.5,5.5）之外取值的概率只有0.003，而5.7∈（2.5,5.5）．

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．

　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），且知试卷满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格（不低于90分）的人数和130分以上的人数．

【精彩点拨】　要求及格的人数，即要求出P（90≤X≤150），而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．

【自主解答】　∵X～N（110,202），

∴μ＝110，σ＝20，P（110－20

∴X>130的概率为：

×（1－0.683）＝0.1585；

X≥90的概率为：

0.683＋0.1585＝0.8415.

∴及格的人数为54×0.8415≈45人，

130分以上的人数为54×0.1585≈9人．

解此类问题一定要灵活把握P（μ－σ＜ξ≤μ＋σ），P（μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ），P（μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ）进行转化，然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.

[再练一题]

3．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N（90,100）．

（1）试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少．

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人．

【解】　∵ξ～N（90,100），∴μ＝90，σ＝

＝10.

（1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70,110）内的概率就是0.954.

（2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，

由于正态变量在区间（μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有2000×0.683＝1366（人）．

[构建·体系]

1．正态分布密度函数为φμ，σ（x）＝

，x∈（－∞，＋∞），则总体的平均数和标准差分别是（　　）

A．0和8　　　B．0和4

C．0和2D．0和

【解析】　由条件可知μ＝0，σ＝2.

【答案】　C

2.如图264是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（　　）

图264

A．σ1>1>σ2>σ3>0

B．0<σ1<σ2<1<σ3

C．σ1>σ2>1>σ3>0

D．0<σ1<σ2＝1<σ3

【解析】　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f（x）＝

.在x＝0时，取最大值

，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.

【答案】　D

3．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.

【解析】　由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P（X≤μ）＝

.

【答案】　

4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）＝0.84，则P（X≤0）＝________.【导学号：

62690048】

【解析】　由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<4）＝1－0.84＝0.16.

【答案】　0.16

5．一批灯泡的使用时间X（单位：

小时）服从正态分布N（10000,4002），求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率．

【解】　依题意得μ＝104，σ＝400.

∴P（104－800

由正态分布性质知P（X<104－800）＝P（X>104＋800）．

故2P（X>10800）＋P（104－800

∴P（X>10800）＝

＝0.023，

故使用时间超过10800小时的概率为0.023.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）　

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．设随机变量ξ～N（2,2），则D

＝（　　）

A．1　　　　　B．2　　　　　

C.

　　　　　D．4

【解析】　∵ξ～N（2,2），∴Dξ＝2.

∴D

＝

Dξ＝

×2＝

.

【答案】　C

2．下列函数是正态密度函数的是（　　）

A．f（x）＝

，μ，σ（σ>0）都是实数

B．f（x）＝

C．f（x）＝

D．f（x）＝

【解析】　对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝

，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．

【答案】　B

3．已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（　　）

A．0.1588B．0.1587

C．0.1586D．0.1585

【解析】　由于X服从正态分布N（3,1），

故正态分布曲线的对称轴为x＝3，

所以P（X＞4）＝P（X＜2），

故P（X＞4）＝

＝0.1587.

【答案】　B

4．某厂生产的零件外直径X～N（8.0,0.0225），单位：

mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为（　　）

A．上、下午生产情况均为正常

B．上、下午生产情况均为异常

C．上午生产情况正常，下午生产情况异常

D．上午生产情况异常，下午生产情况正常

【解析】　根据3σ原则，在（8－3×0.15,8＋3×0.15]即（7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．

【答案】　C

5．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0

A．0.0215B．0.723

C．0.215D．0.64

【解析】　由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，

∴X～N（3,1），

∴P（μ－3σ

P（μ－2σ

P（0

∴P（0

【答案】　A

二、填空题

6．已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝________时达到最高点．

【解析】　由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2.

【答案】　0.2

7．已知正态分布总体的数据落在区间（－3，－1）内的概率和落在区间（3,5）内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．

【解析】　区间（－3，－1）和区间（3,5）关于直线x＝1对称，所以均值μ为1.

【答案】　1

8．（2016·哈尔滨高二检测）如果随机变量ξ～N（－1，σ2），且P（－3＜ξ≤－1）＝0.4，则P（ξ≥1）＝________.

【解析】　P（ξ≥1）＝P（ξ≤－3）＝0.5－P（－3＜ξ≤－1）＝0.5－0.4＝0.1.

【答案】　0.1

三、解答题

9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N（2，σ2）（σ>0），若X在（0,2]内取值的概率为0.2，求：

（1）X在（0,4]内取值的概率；

（2）P（X>4）．

【解】　

（1）由于X～N（2，σ2），对称轴x＝2，画出示意图如图．

因为P（0

（2）P（X>4）＝

[1－P（0

（1－0.4）＝0.3.

10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N（8,22），质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？

【解】　由于X～N（8,22），根据正态分布的性质可知，正态分布在（8－3×2,8＋3×2）之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在（2,14）内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．

[能力提升]

1．设随机变量ξ服从正态分布N（2,9），若P（ξ>c＋1）＝P（ξ

（　　）

A．1　　　　B．2　　　　

C．3　　　　D．4

【解析】　∵ξ～N（2,9），

∴P（ξ>c＋1）＝P（ξ<3－c）．

又∵P（ξ>c＋1）＝P（ξ

【答案】　B

2．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N（110，52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内（　　）【导学号：

62690049】

A．（90,110）B．（95,125）

C．（100,120）D．（105,115）

【解析】　P（100＜X＜120）＝P（110－2×5＜X＜110＋2×5）＝95.4%，

又95.4%×60＝57.24%≈57%.

故选C.

【答案】　C

3．已知正态分布N（μ，σ2）的密度曲线是f（x）＝

，x∈R.给出以下四个命题：

①对任意x∈R，f（μ＋x）＝f（μ－x）成立；

②如果随机变量X服从N（μ，σ2），且F（x）＝P（X

③如果随机变量X服从N（108,100），那么X的期望是108，标准差是100；

④随机变量X服从N（μ，σ2），P（X<1）＝

，P（X>2）＝p，则P（0

其中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）

【解析】　画出正态分布N（μ，σ2）的密度曲线如图：

由图可得：

①图象关于x＝μ对称，故①正确；

②随着x的增加，F（x）＝P（ξ

③如果随机变量ξ服从N（108,100），那么ξ的期望是108，标准差是10；

④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.

【答案】　①②④

4．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

图265

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P（187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用①的结果，求EX.

附：

≈12.2.

若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ

【解】　

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数

和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

（2）①由

（1）知，Z～N（200,150），从而P（187.8

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.683，依题意知X～B（100,0.683），所以EX＝100×0.683＝68.3.