新湘教版必修4高中数学 等差数列.docx
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新湘教版必修4高中数学等差数列
9.2
等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[读教材·填要点]
1.等差数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这样的数列称为等差数列.这个常数叫作数列的公差,常用字母d表示.
2.等差中项
如果b=,那么数b称为a和c的等差中项.
3.等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表:
递推公式
通项公式
an-an-1=d(n≥2)
an=a1+(n-1)d
[小问题·大思维]
1.等差数列的公差d可以为负数、正数、零吗?
[提示] 可以,当an
当an=an+1时,d=0,
当an>an+1时,d<0.
2.b=是a,b,c成等差数列的什么条件?
[提示] 充要条件
3.如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系?
[提示] 在数列{an}中,若已知首项a1,且满足an-an-1=d(n∈N+,n≥2,d为常数)或an+1-an=d(n∈N+,d为常数),则数列{an}为等差数列.
可见,等差数列的意义用符号语言表示,即a1=a,an=an-1+d(n≥2),其本质是等差数列的递推公式.
等差数列定义的应用
(1)已知数列{an}为等差数列且a5=11,a8=5,求an.
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.
(3)100是不是等差数列2,9,16,…的项?
如果是,是第几项?
如果不是,说明理由.
[解]
(1)设数列{an}的公差为d,由等差数列的通项公式及已知条件可得解得
∴an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21.
(2)由于a1=10,d=-2,
∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,
∴a20=-2×20+12=-28.
(3)由于a1=2,d=7,∴an=2+(n-1)×7=7n-5,
由7n-5=100,得n=15.∴100是这个数列的第15项.
先根据两个独立的条件解出两个量a1和d,进而再写出an的表达式,有几个独立的条件就可以解出几个未知量,这是方程思想的重要应用.
1.已知等差数列{an}中,a5=10,a12=31,求a10和d.
解:
由等差数列的定义,可知
a12-a5=7d=31-10=21,
∴d=3.
∴a10=a12-2d=31-6=25.
等差中项的应用
已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.
[解] 在等差数列{an}中,
∵a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.
∴解得或
当时,a1=16,d=-5.
an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.
当时,a1=-4,d=5.
an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.
等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:
an-1+an+1=2an(n≥2).因此在等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项;反之,如果一个数列从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,那么这个数列是等差数列.在具体解题过程中,如果a,b,c成等差数列,常转化为a+c=2b的形式去运用;反之,如果要证明a,b,c成等差数列,只需证a+c=2b即可.
2.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=________.
解析:
由an-1+an+1=2an(n≥2)知,数列{an}是等差数列,∴a2,a5,a8成等差数列.
∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=21.
答案:
21
3.已知,,成等差数列,求证:
,,也构成等差数列.
证明:
∵,,为等差数列,
∴=+,即2ac=b(a+c).
∵+=
==
==.
∴,,为等差数列.
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?
(2)求证:
对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.
[解]
(1)欲使{an}是等差数列,则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0.
即p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:
因为an+1-an=2pn+p+q,
所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.
而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数,
所以{an+1-an}是等差数列.
判断一个数列是否为等差数列的常用方法
方法
符号语言
定义法
an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)
等差中项法
2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N+)
通项公式法
an=kn+b(k,b为常数,n∈N+)
4.已知数列{an},满足a1=2,an+1=,数列是否为等差数列?
说明理由.
解:
数列是等差数列,
理由如下:
∵a1=2,an+1=,
∴==+,
∴-=,
即是首项为=,
公差为d=的等差数列.
等差数列通项公式及其应用
已知等差数列{an}中,a3+a5=-14,2a2+a6=-15,求a8.
[解] a3+a5=-14⇒a1+2d+a1+4d=2a1+6d=-14⇒a1+3d=-7.①
又2a2+a6=-15⇒2(a1+d)+a1+5d=-15⇒3a1+7d=-15.②
解①②联立的方程组得
∴an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5,
∴a8=-3×8+5=-19.
等差数列的通项公式是本节的重点,在应用时要注意方程思想的应用.有两种情况:
(1)已知an,a1,n,d中任意三个量可求第四个量,即“知三求一”.
(2)已知等差数列中的任意两项,就可以确定等差数列中的任一项.,
5.数列{an}各项的倒数组成一个等差数列,若a3=-1,a5=+1,求a11.
解:
设bn=(n∈N+),则{bn}为等差数列,公差为d.
由已知得b3===+1,
b5===-1.
∴解得
∴b11=b1+10d=-7,
∴a11===.
[随堂体验落实]
1.△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于( )
A.30° B.60°
C.90°D.120°
解析:
选B ∵A+B+C=180°且B=,
∴3B=180°,B=60°.
2.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于( )
A.B.
C.D.
解析:
选C ∴a=,b=x.
∴=.
3.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=( )
A.-2B.-
C.D.2
解析:
选B 由题意知a1+6d-2(a1+3d)=-1,①
a1+2d=0,②
由①②可得d=-,a1=1.
4.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
解析:
设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得
解得
∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1.
∴a6=2×6+1=13.
答案:
13
5.设{an}是等差数列,若am=n,an=m(m≠n),求am+n.
解:
法一:
由
得
∴am+n=a1+(m+n-1)d
=(m+n-1)-(m+n-1)
=0.
法二:
∵am=an+(m-n)d,
∴n=m+(m-n)d,
∵m≠n,∴d=-1,
∴am+n=am+[(m+n)-m]d=n+n×(-1)=0.
[感悟高手解题]
已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列?
说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
[解]
(1)当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
∴{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,令a2=b1=1,
a3=b2=3,
a4=b3=5,
…
an=bn-1=1+2[(n-1)-1]=2n-3.
又a1=1,
∴an=
[点评] 在
(1)问中由an-an-1=2(常数),直接得出{an}为等差数列,这是易出错的地方,事实上,数列{an}从第2项起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an=f(n)应该表示为“分段函数”型.因此我们在判断等差数列时,要严格按其定义判断.
一、选择题
1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,则a4等于( )
A.5 B.6
C.7D.9
解析:
选C a4=a3+d=a2+2d=a1+3d=1+3×2=7.
2.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2019的值是( )
A.1008B.1009
C.1010D.1011
解析:
选D 由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
所以an=2+(n-1)=,
所以a2019==1011.
3.设{an}是递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1B.2
C.4D.6
解析:
选B 设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,
解得a=4且d=±2,又{an}递增,∴d>0,即d=2,
∴a1=2.
4.等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n-2(n∈N+)B.an=2n+4(n∈N+)
C.an=-2n+12(n∈N+)D.an=-2n+10(n∈N+)
解析:
选D 由⇒⇒
所以由an=a1+(n-1)d=8+(n-1)×(-2),
得an=-2n+10.
二、填空题
5.已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于________.
解析:
由题意可得解得d=-3.
答案:
-3
6.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为________.
解析:
an=2+(n-1)×3=3n-1,
bn=-2+(n-1)×4=4n-6,
令an=bn,得3n-1=4n-6,∴n=5.
答案:
5
7.数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n-1(n≥2),又a1=5,则使得为等差数列的实数λ=________.
解析:
a1=5,a2=23,a3=95,
令bn=,
则b1=,b2=,b3=,
∵b1+b3=2b2,∴λ=-.
答案:
-
8.一个等差数列的前三项为:
a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________.
解析:
∵a+(3-a)=2(2a-1),∴a=.
∴这个等差数列的前三项依次为,,.
∴d=,an=+(n-1)×=+1.
答案:
an=n+1
三、解答题
9.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,则{bn}是否为等差数列?
并说明理由.
解:
∵{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,
∴an+1-an=d,
∴bn+1-bn=3an+1+4-3an-4
=3(an+1-an)=3d.
∵d为常数,∴3d也为常数,
∴{bn}是等差数列.
10.已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:
(1)证明:
∵an=4-(n≥2),
∴an+1=4-(n∈N+).
∴bn+1-bn=-=-=-==.
∴bn+1-bn=,n∈N+.
∴{bn}是首项为,公差为的等差数列.
(2)由
(1)知b1=,d=.
∴bn=b1+(n-1)d=+(n-1)=.
∴=,∴an=2+.
第二课时 等差数列的性质
[读教材·填要点]
等差数列的常用性质
(1)对称性:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;
(2)m+n=p+q⇒am+an=ap+aq;
(3)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;
(4)an=am+(n-m)d;
(5)若数列{an}成等差数列,则an=pn+q(p,q∈R);
(6)若数列{an}成等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)仍为等差数列;
(7){an}和{bn}均为等差数列,则{an±bn}也是等差数列;
(8){an}的公差为d,若d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列.
[小问题·大思维]
1.如果等差数列{an}中,m+n=2w(m,n,w∈N+),那么am+an=2aw是否成立?
[提示] 如果等差数列的项的序号成等差数列,那么对应的项也成等差数列,事实上,若m+n=2w(m,n,w∈N+),则am+an=[a1+(m-1)d]+[a1+(n-1)d]
=2[a1+(m+n-2)d]
=2[a1+(w-1)d]=2aw.
2.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,能利用等差数列的性质求a3+a9的值吗?
[提示] ∵a3+a9=a2+a10=2a6.
∴a6=,∴a3+a9=2×=.
等差数列性质的应用
(1)已知在等差数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,求a7+a8+a9+a10+a11的值.
(2)已知{an}为等差数列,a10=5,a30=20,求a50.
[解]
(1)由已知条件得a3+a15=6=2a9,
解得a9=3.
因此a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.
(2)法一:
∵{an}为等差数列,
∴a10,a20,a30,a40,a50也成等差数列,
设其公差为d,
∴a30=a10+2d,∴d=,a50=a30+2d=35.
法二:
∵a30为a10和a50的等差中项,
∴2a30=a10+a50,∴a50=35.
法三:
设{an}的公差为d,则
解得
∴a50=a1+49d=35.
等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
(3)若{kn}成等差数列,则{akn}也是等差数列.
1.
(1)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,求a37+b37;
(2)在等差数列{an}中,已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
解:
(1)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,
则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,
c2=a2+b2=100,
∴{cn}的公差d=c2-c1=0.
∴c37=100,即a37+b37=100.
(2)∵a2+a3+a4+a5=34,
∴a2+a5=a3+a4=17.
又a2·a5=52,∴a2=13,a5=4或a2=4,a5=13.
当a2=13,a5=4时,d=-3;
当a2=4,a5=13时,d=3.
等差数列的运算
(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;
(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
[解]
(1)法一:
设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,
依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,
化简得d2=16,于是d=±4,
故这三个数为-2,2,6或6,2,-2.
法二:
设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,
依题意,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,
所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,
得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,
即d2=16,于是d=±4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.
(2)法一:
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
法二:
设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),
依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a=1-d代入a(a+3d)=-8,
得=-8,即1-d2=-8,
化简得d2=4,所以d=2或-2.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,
故所求的四个数为-2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地有如下规律:
当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:
…a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:
…a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.
2.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这5个数成等差数列,则插入的三个数为________.
解析:
法一:
设a1=-1,a5=7.
∴7=-1+(5-1)d⇒d=2.
∴所求的数列为-1,1,3,5,7.
法二:
∵-1,a,b,c,7成等差数列,
∴b是-1与7的等差中项.
∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,∴a==1.
又c是3与7的等差中项,∴c==5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
答案:
1,3,5
3.已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.
解:
设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.
由已知有
∴∴a=1,d=±.
所以当d=时,这5个数分别是
-,,1,,.
当d=-时,这5个数分别是
,,1,,-.
等差数列的实际应用
某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解] 由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司会出现亏损.
设从第1年起,第n年的利润为an,则
a1=200,an-an-1=-20,n≥2,n∈N+.
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20.从而an=a1+(n-1)d=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
求解与等差数列有关的应用性问题,最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型,将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解.
4.某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润?
(设最低档次为第一档次)
解:
设在相同的时间内,从低到高每档产品生产件数分别为a1,a2,…,a10.
对应每档产品的利润分别为b1,b2,…,b10.
则{an},{bn}均为等差数列且a1=60,d=-3,b1=8,d′=2.
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6.
所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)
=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
∵n=1,2,…,10,
∴当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
故在相同时间内,生产第9档次的产品可以获得最大利润.
[随堂体验落实]
1.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A. B.±
C.-D.-
解析:
选D 由等差数列的性质得
a1+a7+a13=3a7=4π,
∴a7=.
∴tan(a2+a12)=tan2a7=tan
=tan=-.
2.《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升B.升
C.升D.升
解析:
选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有
即
解得则a5=a1+4d=,
故第5节的容积为升.
3.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( )
A.4B.6
C.8D.10
解析:
选C 由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,
∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8)
=(a6+a8-a8)=a6=8.
4.在等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的根,则a5+a8=________.
解析:
由已知得a3+a10=3.
又数列{an}为等差数列,
∴a5+a8=a3+a10=3.
答案:
3
5.已知等差数列{an}中,a2+a3+a10+a11=36,求a5+a8.
解:
法一:
设等差数列{an}的公差为d,则a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d
=4a1+22d=36,
∴2a1+11d=18,
∴a5+a8=2a1+11d=18.
法二:
∵a2+a11=a3+a10=a5+a8,∴2(a5+a8)=36,
∴a5+a8=18.
[感悟高手解题]
已知等差数列{an}的首项a1=,a10是第一个比1大的项,求此等差数列公差d的取值范围.
[解] 由题意得即
解得,∴<d≤.
故公差d的取值范围为.
[点评] 将题设误解为a10>1,而忽视了“a10是第一个比1大的项”,即“a9≤1”,从而造成条件遗漏.这是容易出错的地方.
一、选择题
1.在a和b间插入n个数构成一个等差数列,则其公差为( )
A. B.
C.D.
解析:
选C 插入n个数后共有n+2个数,则b=a+(n+1)d,
∴d=.
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( )
A.12B.8
C.6D.4
解析:
选B 由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8,又d≠0,∴m=8.
3.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a
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