新课标精品卷最新华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》同步练习题1及答案.docx
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新课标精品卷最新华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》同步练习题1及答案
(新课标)2017-2018学年华东师大版八年级下册
第十九章第一节19.1.2矩形的判定
同步练习
一、选择题
1.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知下列6个条件:
①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD;则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥
答案:
C
解答:
A中①AB∥DC;②AB=DC可判定四边形是平行四边形,再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定;B中②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°,可根据题意判断出全等三角形,进而得出四边形是矩形进行判定;C中⑤OA=OC;⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形,再加②AB=DC也不能判定是矩形;D中⑤OA=OC;⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形,再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定;故选C.
分析:
根据矩形的判定方法:
①矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可.
2.对角线互相平分且相等的四边形是( )
A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形
答案:
B
解答:
∵该四边形的对角线互相平分,∴该四边形是平行四边形,又∵该平行四边形的对角线相等,∴该平行四边形是矩形,故选B.
分析:
根据对角线互相平分得出平行四边形,再加上对角线相等即可得出矩形.
3.下列关于四边形是矩形的判断中,正确的是( )
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分且垂直D.对角线互相平分且相等
答案:
D
解答:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是矩形,故A选项错误;对角线互相垂直不一定是矩形,菱形对角线也互相垂直,故B选项错误;对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,不是矩形,故C选项错误;对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故D选项正确;故选D.
分析:
根据矩形的判定方法:
①矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”),针对每一个选项进行分析,可选出答案.
4.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CDB.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC
答案:
C
解答:
可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形,∴四边形ABCD是矩形,故选C.
分析:
四边形ABCD的对角线互相平分,则说明四边形是平行四边形,由矩形的判定定理知,只需添加条件是对角线相等.
5.如果四边形对角线互相垂直,则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
答案:
B
解答:
如下图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,连接各边的中点E,F,G,H,则形成中位线EG∥AC,FH∥AC,EF∥BD,GH∥BD,又因为对角线AC⊥BD,所以GH⊥EG,EG⊥EF,EF⊥FH,FH⊥HG,根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形.故选B.
.
分析:
根据三角形中位线的性质,可得到这个四边形是平行四边形,再由对角线垂直,能证出有一个角等于90°,则这个四边形为矩形.
6.平行四边形ABCD的两条对角线相等,则平行四边形ABCD一定是( )
A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形
答案:
B
解答:
对角线相等的平行四边形是矩形.
分析:
本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊平行四边形的特点.
7.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BCB.AC⊥BD C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
答案:
C
解答:
A中是邻边相等,不可判定平行四边形ABCD是菱矩形;B中是对角线互相垂直,不可判定平行四边形ABCD是矩形;C中是一内角等于90°,可判断平行四边形ABCD成为矩形;D中是对角线平分对角,不可判定平行四边形ABCD是矩形.故选C.
分析:
本题主要应用的知识点为,矩形的判定:
①对角线相等且相互平分的四边形为矩形;②一个角是90度的平行四边形是矩形.
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是( )
A.AC=BDB.AC⊥BDC.AC=BD且AC⊥BD D.AB=AD
答案:
A
解答:
A选项是对角线相等,可判定平行四边形ABCD是矩形.而B、C、D不能.
分析:
矩形的判定定理有:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;
有三个角是直角的四边形是矩形;
对角线互相平分且相等的四边形是矩形;据此分析判断.
9.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( )
A.4 B.4.8 C.5.2 D.6
答案:
B
解答:
如图,连接PA,∵在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,∴
,∴∠BAC=90°,又∵PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.∴∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形PEAF是矩形,AP=EF,当PA最小时,EF也最小,即当AP⊥CB时,PA最小,∵
AB•AC=
BC•AP,即AP=
=
=4.8,∴线段EF长的最小值为4.8;故选B.
分析:
先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形;连接PA,则PA=EF,所以要使EF,即PA最短,只需PA⊥CB即可;然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值.
10.下列命题错误的是( )
A.平行四边形的对边相等
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.矩形的对角线相等
答案:
C
解答:
平行四边形的性质有平行四边形的对边相等,故A选项错误;平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故B选项错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故C选项正确;矩形的性质有矩形的对角线相等,故D选项错误;故选C.
分析:
根据平行四边形的性质即可判断A;根据平行四边形的判定即可判断B;根据矩形的判定即可判断C;根据矩形的性质即可判断D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是( )
A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大 D.先增大后减少
答案:
C
解答:
如图下图所示,连接AP,∵∠A=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,由垂线段最短可得AP⊥BC时,AP最短,则线段EF的值最小,∴动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大;故选C.
分析:
连接CP,先判断出四边形CFPE是矩形,根据矩形的对角线相等可得EF=CP,再根据垂线段最短可得CP⊥AB时,线段EF的值最小,即可判断出动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,线段EF的值大小变化情况.
12.已知下列命题中:
矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;
两条对角线相等的四边形是矩形;
有两个角相等的平行四边形是矩形;
两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形;其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
答案:
C
解答:
矩形是轴对称图形,对边中点连线所在的直线是它的对称轴,并且有两条,故该选项正确;
只有两条对角线相等的平行四边形是矩形;故该选项错误;
所有的平行四边形对角都相等,但不一定是矩形,故该选项错误;
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,再加对角线相等则为矩形,故该选项正确;所以其中正确的有
和
,故选C.
分析:
根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数.
13.下列关于矩形的说法中正确的是( )
A.矩形的对角线互相垂直且平分B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是矩形
答案:
B
解答:
矩形的对角线互相平分,且相等,但不一定互相垂直,A项错误;矩形的对角线相等且互相平分,B项正确;对角线相等的四边形不一定为矩形,例如等腰梯形对角线相等,但不是矩形,C项错误;对角线互相平分的四边形为平行四边形,不一定为矩形,D项错误;
故选B.
分析:
此题考查了矩形的判定与性质,是一道概念性试题,熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键.
14.对角线 的平行四边形是矩形()
A.互相垂直且平分B.互相平分C.互相垂直D.相等
答案:
D
解答:
根据矩形的判定:
对角线相等的平行四边形是矩形,故选D.
分析:
根据矩形的判定定理:
对角线相等的平行四边形是矩形.
15.在四边形ABCD中,∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的周长( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答:
如下图所示,延长BC、AD交于O,∵∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,∴∠B=∠CDO=90°,∠O=30°,∵AB=4,CD=2,∴OA=2AB=8,CO=2CD=4,由勾股定理得:
,
,∴
,
,∴AB+AD+DC+BC=
,故选A.
分析:
延长BC、AD交于O,求出OA、OD、OC、OB的值,求出BC、AD,即可求出答案.
二、填空题
16.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 (只填一个).
答案:
∠ABC=90°或AC=BD(不唯一)
解答:
根据矩形的判定定理:
对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故添加条件:
∠ABC=90°或AC=BD,故答案为∠ABC=90°或AC=BD.
分析:
根据矩形的判定定理:
①对角线相等的平行四边形是矩形,②有一个角是直角的平行四边形是矩形,直接添加条件即可.
17.对角线 的四边形是矩形.
答案:
相等且互相平分
解答:
根据矩形的判定:
对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故填“相等且互相平分”.
分析:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,而对角线又相等故为矩形.
18.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是 .(填上你认为正确的一个答案即可)
答案:
∠A=90°
解答:
添加的条件是∠A=90°,理由是:
∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故答案为:
∠A=90°.
分析:
根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形,再根据矩形的定义即可得出答案.
19.如图所示,已知平行四边形ABCD,下列条件:
①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明平行四边形ABCD是矩形的有(填写序号) .
答案:
①④
解答:
能说明平行四边形ABCD是矩形的有:
①对角线相等的平行四边形是矩形;④有一个角是直角的平行四边形是矩形.
分析:
矩形是特殊的平行四边形,矩形有而平行四边形没有的特征是:
矩形的四个内角是直角;矩形的对角线相等且互相平分;可根据这些特点来选择条件.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE、BF.当∠ACB为 度时,四边形ABFE为矩形.
答案:
60
解答:
如果四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°.
分析:
本题主要考查了矩形的性质:
矩形的对角线相等且互相平分.
三、解答题
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.
(1)求证:
△AEF≌△BED;
答案:
解答:
证明:
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠EDB,∵E为AB的中点,∴EA=EB,在△AEF和△BED中,
,∴△AEF≌△BED(ASA).
(2)若BD=CD,求证:
四边形AFBD是矩形.
答案:
四边形AFBD是矩形
解答:
证明:
∵△AEF≌△BED,∴AF=BD,∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BD,∴四边形AFBD是矩形.
分析:
(1)AAS或ASA证全等;
(2)根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形,再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°,进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
22.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:
BD=CD;
答案:
解答:
证明:
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,
,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,∵AF=BD,∴BD=CD.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
答案:
四边形AFBD是矩形
解答:
四边形AFBD是矩形,理由:
∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AF=BD,又∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形,∴四边形AFBD是矩形.
分析:
(1)先由AF∥BC,利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE,而E是AD中点,那么AE=DE,∠AEF=∠DEC,利用AAS可证△AEF≌△DEC,那么有AF=DC,又AF=BD,从而有BD=CD;
(2)四边形AFBD是矩形.由于AF平行等于BD,易得四边形AFBD是平行四边形,又AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三线合一定理,可知AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.
23.如图,在△ABC中,点O在AB边上,过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,过点B作BE⊥BD交直线OD于点E.
(1)求证:
OE=OD;
答案:
解答:
证明:
∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC;∵ED∥BC,∴∠ODB=∠DBC=∠ABD,∴△OBD为等腰三角形,∴OB=OD,在Rt△EBD中,OB=OD,那么O就是斜边ED的中点.∴OE=OD.
(2)当点O在AB的什么位置时,四边形BDAE是矩形?
说明理由.
答案:
O为AB的中点时,四边形BDAE为矩形
解答:
解:
∵四边形BDAE为矩形,∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形,OA=OB=OE=OD,∵Rt△AEB中,OE=OA=OB,∴O为斜边AB的中点,∴O为AB的中点时,四边形BDAE为矩形.
分析:
(1)根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB=OD,再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点,即OE=OD;
(2)设定四边形BDAE为矩形,可求出Rt△AEB中,O点为斜边AB的中点.
24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:
四边形AECD是矩形.
答案:
解答:
证明:
∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD,∴四边形AECD是平行四边形,∵AB=AC,点E是BC的中点,∴AE⊥BC,即∠AEC=90°,∴平行四边形AECD是矩形..
分析:
先判断四边形AECD为平行四边形,然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形.
25.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长至点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
(1)求证:
△ABF≌△ECF;
答案:
解答:
证明:
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠AEC,又∵CE=CD,∴AB=CE,在△ABF和△ECF中,
,∴△ABF≌△ECF(AAS).
(2)连接AC、BE,则当∠AFC与∠D满足什么条件时,四边形ABEC是矩形?
请说明理
答案:
当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形
解答:
解:
当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AB∥DC,AB=DC,∴∠BCE=∠D,AB∥EC,又∵CE=DC,∴四边形ABEC是平行四边形,∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形.
分析:
(1)由四边形ABCD是平行四边形,CE=DC,易证得∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,则可证得△ABF≌△ECF;
(2)首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.
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