16不等式组的应用含答案.docx
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16不等式组的应用含答案
16.不等式(组)的应用
知识纵横
在客观世界中,相等的关系是相对的、局部的,不等的关系是绝对的、普遍的,因此,我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计,列出不等式(组),运用不等式(组)的相关知识予以求解。
不等式(组)的应用主要表现在:
作差或作商比较数的大小;求代数式的取值范围;求代数式的最值,列不等式(组)解应用题。
列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿,一般步骤是:
1.弄清题意和题中的数量关系,用字母表示未知数;
2.找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系;
3.列出不等式(组);
4.解这个不等式(组),求出解集并作答。
例题求解
【例1】(“希望杯”邀请赛试题)给出四个自然数a、b、c、d,其中每三个数之和分别是180、197、208、222,则a、b、c、d中最大的数是______.
思路点拨较繁的一般解法是解关于a、b、c、d的四元一次方程组,由题意知a、b、c、d互不相等,不妨设a
解:
89提示:
整体叠加,先求出(a+b+c+d)的值.
【例2】(2000年山东省竞赛题)甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条
元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是().
A.a>bB.a 思路点拨把买卖的钱数作差比较,推导出a与b的关系. 解: 选A提示: -(3a+2b)= <0,得a>b. 【例3】已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a1的最大值.(2003年北京市竞赛题) 思路点拨设a1 设a、b为整数,若a 解: 设a1 故a1的最大值为19. 【例4】(2003年广州市中考题)现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元. (1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的关系式; (2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案? (3)在上述方案中,哪个方案运费最省? 最少运费为多少元? 思路点拨 (2)解关于x的不等式组,由正整数x的值确定安排车厢的不同方案. 解: (1)y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32 (2)由 得24≤x≤26 因为x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应的装车方案是: ①24节A型和16节B型车厢;②25节A型和15节B型车厢;③26节A型和14节B型车厢. (3)当x=26时,y最小=26.8(万元) 【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币,他要求硬币总数为150枚,且每种硬币不少于20枚,5分的硬币要多于2分的硬币,请你据此设计兑换方案.(2003年河北省竞赛题) 思路点拨引入字母,列出含等式、不等式的混合组,把解方程组、解不等式组结合起来. 解: 设兑换成的1分、2分、5分硬币分别为x枚、y枚、z枚,则 由①,②得 将x,y代入③,④得 解得40 故z=41,42,43,44,45. 由此得出x、y的对应值,于是得到5种方案: (x,y,z)=(73,36,41);(x,y,z)=(76,32,42);(x,y,z)=(79,28,43);(x,y,z)=(82,24,44);(x,y,z)=(85,20,45). 学力训练 一、基础夯实 1.若方程 │x│-x-1997=0只有负数根,则a的取值范围是________. 2.若方程组 的解x、y都是正数,则m的取值范围是________. (2002年河南省中考题) 3.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息: (1)生产该种化肥的工人数不能超过200人; (2)每个工人全年工作时数不得多于2100人; (3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋; (4)每生产一袋该化肥需要工时4个; (5)每袋该化肥需要原料20千克; (6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2002年可以补充1200吨. 根据上述数据,确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是________. (2001年江苏徐州中考题) 4.设P= Q= 则P、Q的大小关系是(). A.P>QB.P 5.某种出租车的收费标准是: 起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米以后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计),某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米,那么x的最大值是(). A.11B.8C.7D.5(2002年南京市中考题) 6.韩日“世界杯”期间,重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A、B两个出租车队,A队比B队少3辆车,若全部安排乘A队的车,每辆坐5人,车不够,每辆坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满,则A队有出租车(). A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆(2002年重庆市中考题) 7.(2002年宁波市中考题)为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8: 00至22: 00用电每千瓦时0.56元(“峰电”价),22: 00至次日8: 00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元. (1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时? (2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时,使用“谷电”合算? (精确到1%)。 8.(2003年黑龙江省中考题)为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表: A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1 经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元. (1)请你设计该企业有几种购买方案; (2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案; (3)在第 (2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元? (注: 企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) 二、能力拓展 9.大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于2003,中数减小数之差等于1000,那么这三个正整数的和为_________.(2003年北京市竞赛题) 10.已知a+b+c=0,a>b>c,则 的取值范围是________.(第17届江苏省竞赛题) 11.适合方程 的正整数x的值是_________. 12.设x1,x2,……,x7为自然数,且x1 13.正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿A→B→C→D→E→A的方向行走,甲的速度为50m/min,乙的速度为46m/min,则出发后经过_______min,甲、乙第一次行走在同一条边上.(2003年河北省竞赛题) 14.如果│x│+││x│-1│=1,那么() A.(x+1)(x-1)>0B.(x+1)(x-1)<0 C.(x+1)(x-1)≥0D.(x+1)(x-1)≤0(1999年山东省竞赛题) 15.小林拟将1,2,……,n这n个数输入电脑,求平均数.当他认为输入完毕时,电脑显示只输入了(n-1)个数,平均数为35 假设这(n-1)个数输入无误,则漏输入的一个数为(). A.10B.53C.56D.67(第14届江苏省竞赛题) 16.(2002年重庆市竞赛题)已知0≤a-b≤1且1≤a+b≤4,则a的取值范围是(). A.1≤a≤2B.2≤a≤3C. ≤a≤ D. ≤a≤ 17.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运往B市销售,现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下: 运输单位 运输速度 (千米/时) 运输费用 (元/千米) 包装与装卸时间(时) 包装与装卸费用(元) 甲公司 60 6 4 1500 乙公司 50 8 2 1000 丙公司 100 10 3 700 解答下列问题: (1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A、B两市的距离(精确到个位); (2)如果A、B两市的距离为S千米,且这批水果在包装与装卸及运输过程上损耗为300元/时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家公司? (2003年南通市中考题) 18.(北京市竞赛题)今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克,现要配制浓度为7%的盐水100克,问甲种盐水最多可用多少克? 最少可用多少克? 三、综合创新 19.某企业有员工300人生产A种产品,平均每人每年可创造利润m万元(m为大于零的常数).为减员增效,决定从中调配x人去生产新开发的B种产品.根据评估,调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%,生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元. (1)调配后企业生产A种产品的年利润为_______万元,生产B种产品的年利润为______万元(用含m的代数式表示),若设调配后企业全年的总利润为y万元,则y关于x的关系式为__________. (2)若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四,生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方案? 请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留3个有效数字). (3)企业决定将 (2)中的年最大总利润(m=2)继续投资开发新产品,现有六种产品可供选择(不得重复投资同一种产品),各产品所需资金以及所获利润如下表: 产品 C D E F G H 所需资金(万元) 200 348 240 288 240 500 年利润(万元) 50 80 20 60 40 85 如果你是企业决策者,为使此项投资所获年利润不少于145万元,你可以投资开发哪些产品? 请你写出两种投资方案.(2002年江苏镇江市中考题) 20.一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位,生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 答案 1.-1997≤a≤1997提示: 若x>0,则x= 得a>1997, 若x<0,则x= 得a>-1997.2. 3.8万到9万袋之间提示: 设2002年生产该化肥x袋,从工时上、从原料上、从销售量上考虑有 4.A提示: 设21999=x,则P= Q= 作商比较.5.B 6.B提示: 设A队有出租车x辆,则B队有出租车(x+3)辆, 则(Ⅰ) (Ⅱ) 解(Ⅰ)9 得 解(Ⅱ)得8 其公共部分为9 7. (1)“峰电”140千瓦时,“谷电”60千瓦时; (2)设当“峰电”用电占每月总电量的百分率为z时,使用“谷电”合算,月用电总量为a,由0.56az+0.28a(1-z)<0.53a,得z<89%. 8. (1)设购买污水处理设备A型x台,则B型(10-x)台,由12x+10(10-x)≤105,得x≤2.5, x可取0,1,2,由此可得三种购买方案. (2)由240x+200(10-x)≥2040,得x≥1, 故x=1或2. 当x=1时,购买资金为: 12×1+10×9=102(万元); 当x=2时,购买资金为: 12×2+10×8=104(万元), 所以,为了节约资金,应选购A型1台,B型9台. (3)能节约资金为: 2040×12×10×10(元)-(102+10×10)(万元) =244.8(万元)-202(万元)=42.8(万元) 9.2004 10.b=-a-c,-a-c-c, >-2, 又把b=-a-c代入b>c,得-a-c>c, <- 故-2< <- 11.x=1提示: 由x+1 则 12.61提示;159=x1+x2+…x7≥x1+(x1+1)+(x1+2)+…+(x1+6), 解得x1≤19 即x1的最大值为19, 同理x2、x3的最大值分别为20、22. 13.设甲走完x条边时,两人走在同一条边上, 此时甲走了400xm,乙走了46× =368xm, 甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m, 所以(368x+800)-400x≤400,解得x≥12.5, 而x为整数,取x=13, 所以,甲、乙走了 =104min后走到一条边上. 14.D提示: 令│x│=a≥0,即a+│a-1│=1,所以-1≤x≤1,于是(x+1)(x-1)≤0. 15.C提示: 设漏输入的一个数是k,则 解得69 ≤n≤71 又7│n-1,则n=71,于是 解得k=56. 16.C 17. (1)217千米; (2)设选择三家运输公司所需的总费用分别为y、y、y, 由于三家运输公司包装与装卸及运输所需的时间分别为: 甲公司( +4)小时,乙公司( +2)小时,丙公司( +3)小时,所以 y=6S+1500+( +4)×300=11S+2700. y=8S+1000+( +2)×300=14S+1600. y=10S+700+( +3)×300=13S+1600. ∵S>0,∴y2>y3恒成立,所以只要比较y1与y3的大小. ∵y1-y3=-2S+1100, ∴①当S<550(千米)时,y1>y3,又y2>y3,故此时选择丙公司较好; ②当S=550(千米)时,y2>y1=y3,此时选择甲公司或丙公司; ③当S>550(千米)时,y2>y3>y1,此时选择甲公司较好. 18.提示: 设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克、y克、z克,则 解得 从而 解得35≤x≤49. 19. (1)(300-x)(1+20%)m,1.54mx.y=(300-x)(1+20%)m+1.54mx. (2)由题意,得 解之,得97 因为x为正整数,所以x只能取98,99,100. 故共有三种调配方案: ①202人继续生产A种产品,调98人生产B种产品;②、③类似. 又y=0.34mx+360m,而0.34m>0, 故y随x增大而增大,从而知当x=100时,即200人继续生产A种产品,调配100人去生产B种产品,获得的总利润最大. (3)当m=2时,最大利润为788万元,故可投资额最大为788万元,要使获取年利润不少于145万元,可投资开发产品F、H,或C、D、E,或C、D、G或C、F、G. 20.提示: 设小熊和小猫的个数分别为x、y,总售价为z,则 当总售价为z=2200小时,即为 也即 解得14≤x≤14,此时y=24,当x=14,y=24时,z=80×14+45×24=2200(元) 故安排生产小熊14个、小猫24个可达到总售价2200元.
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