浙江专版高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修21.docx
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浙江专版高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修21
1.1
1.1.1 命 题
预习课本P2~3,思考并完成以下问题
1.命题、真命题、假命题的概念分别是什么?
2.在命题“若p,则q”的形式中,p、q分别叫做命题的什么?
命题
[点睛]
(1)判断一个语句是命题的两个要素:
①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;
②可以判断真假.
(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“集合{a,b,c}有3个子集”是命题( )
(2)“x2-3x+2=0”是命题( )
答案:
(1)√
(2)×
2.语句“若a>b,则a+c>b+c”( )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题D.不能判断真假
答案:
B
3.下列语句中,是假命题的是( )
A.一条直线有且只有一条垂线
B.不相等的两个角一定不是对顶角
C.直角的补角必是直角
D.两直线平行,同旁内角互补
答案:
A
4.命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______,结论q为________.
答案:
一个正整数 不是合数就是素数
命题的判断
[典例] 判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)
是有理数;
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)x2-x+7>0.
[解]
(1)“
是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?
”是疑问句,所以它不是命题.
(4)因为x2-x+7=
2+
>0,所以“x2-x+7>0”是真的,故是命题.
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
[活学活用]
判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;
(2)任何集合都是它自己的子集;
(3)对顶角相等吗?
(4)x>3.
解:
(1)是陈述句,能判断真假,是命题.
(2)是陈述句,能判断真假,是命题.
(3)不是陈述句,不是命题.
(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
判断命题的真假
[典例] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)正方形既是矩形又是菱形;
(2)当x=4时,2x+1<0;
(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.
[解]
(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.
(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.
(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0.
(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列.
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法:
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法:
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
[活学活用]
下列命题中真命题有( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;
②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;
③互相包含的两个集合相等;
④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选A ①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.
命题的结构形式
[典例] 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
[解]
(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐含,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一.
[活学活用]
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)奇数不能被2整除;
(2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1;
(3)两个相似三角形是全等三角形;
(4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.
解:
(1)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命题.
(2)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题.
(3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形,是假命题.
(4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直线平行,是假命题.
层级一 学业水平达标
1.下列语句不是命题的有( )
①若a>b,b>c,则a>c;②x>2;③3<4;④函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
解析:
选C ①③是可以判断真假的陈述句,是命题;②④不能判断真假,不是命题.
2.下列命题是真命题的是( )
A.所有质数都是奇数
B.若
>
,则a>b
C.对任意的x∈N,都有x3>x2成立
D.方程x2+x+2=0有实根
解析:
选B 选项A错,因为2是偶数也是质数;选项B正确;选项C错;因为当x=0时x3>x2不成立;选项D错,因为Δ=12-8=-7<0,所以方程x2+x+2=0无实根.
3.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中,假命题是( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
解析:
选D 由已知a⊥α,b⊥β,若α,β相交,a,b有可能异面.
4.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-3
解析:
选C 方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=0时适合条件.
5.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
,则其体积缩小到原来的
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
相切.
其中真命题的序号为( )
A.①②③B.①②
C.①③D.②③
解析:
选C 对于命题①,设球的半径为R,则
π
3=
·
πR3,故体积缩小到原来的
,命题正确;
对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据:
1,3,5和3,3,3的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;
对于命题③,圆x2+y2=
的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=
=
,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确.
6.下列语句中是命题的有________(写出序号),其中是真命题的有________(写出序号).
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.
解析:
①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.
答案:
②③④ ④
7.给出下面三个命题:
①函数y=tanx在第一象限是增函数;
②奇函数的图象一定过原点;
③若a>b>1,则0 其中是真命题的是________.(填序号) 解析: ①是假命题,反例: x=2π+ 和x= ,tan = ,tan =1,2π+ > ,但tan2π+ . ②是假命题,反例: y= 是奇函数,但其图象不过原点. ③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题. 答案: ③ 8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析: ∵ax2-2ax-3>0不成立, ∴ax2-2ax-3≤0恒成立. 当a=0时,-3≤0恒成立; 当a≠0时,则有 解得-3≤a<0. 综上,-3≤a≤0. 答案: [-3,0] 9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么. (1)乘积为1的两个实数互为倒数; (2)奇函数的图象关于原点对称; (3)与同一直线平行的两个平面平行. 解: (1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”.它是真命题. p: 两个实数乘积为1;q: 两个实数互为倒数. (2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题. p: 一个函数为奇函数;q: 函数的图象关于原点对称. (3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交. p: 两个平面与同一条直线平行;q: 两个平面平行. 10.已知A: 5x-1>a,B: x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题. 解: 若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x> ,则x>1”.由命题为真命题可知 ≥1,解得a≥4; 若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x> ”.由命题为真命题可知 ≤1,解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x> ”. 层级二 应试能力达标 1.在空间中,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 解析: 选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时,两平行直线的平行投影不重合.B中两直线也可以相交或异面.C中两平面可以相交.D正确.故选D. 2.下面的命题中是真命题的是( ) A.y=sin2x的最小正周期为2π B.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根同号,则 >0 C.如果M⊆N,那么M∪N=M D.在△ABC中,若 · >0,则B为锐角 解析: 选B y=sin2x= ,T= =π,故A为假命题;当M⊆N时,M∪N=N,故C为假命题;在三角形ABC中,当 · >0时,向量 与 的夹角为锐角,B应为钝角,故D为假命题.故选B. 3.下列命题为真命题的是( ) A.若 = ,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若x 解析: 选A 很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A. 4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( ) A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直 D.这个四边形是平行四边形 解析: 选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直.”故选C. 5.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)”条件p: ________,结论q: ________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”). 解析: a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立, ∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域(包括边界), ∴命题为真命题. 答案: a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真 6.定义“正对数”: ln+x= 现有四个命题: ①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a; ②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b; ③若a>0,b>0,则ln+ ≥ln+a-ln+b; ④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 解析:
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