与名师对话新课标A版数学文一轮复习课时作业73.docx
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与名师对话新课标A版数学文一轮复习课时作业73
课时作业(四十一)
一、选择题
1.已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
解析:
c与b不可能是平行直线,否则与条件矛盾.
答案:
C
2.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=M,则平面ABC与β的交线是( )
A.直线AC B.直线AB
C.直线BC D.直线CM
解析:
通过直线AB与点C的平面,为面ABC,M∈AB.∴M∈面ABC,而C∈面ABC,又∵M∈β,C∈β.∴面ABC和β的交线必通过点C和点M.
答案:
D
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
解析:
分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F,则BA1∥DE,AC1∥EF,所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角),设AB=AC=AA1=2,则DE=EF=
,DF=
,由余弦定理得,∠DEF=120°.
答案:
C
4.(2013·浙江杭州第二次质检)如图,平面α与平面β交于直线l,A,C是平面α内不同的两点,B,D是平面β内不同的两点,且A,B,C,D不在直线l上,M,N分别是线段AB,CD的中点,下列判断正确的是( )
A.若AB与CD相交,且直线AC平行于l时,则直线BD与l可能平行也有可能相交
B.若AB,CD是异面直线时,则直线MN可能与l平行
C.若存在异于AB,CD的直线同时与直线AC,MN,BD都相交,则AB,CD不可能是异面直线
D.M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交
解析:
对于A,直线BD与l只能平行;对于B,直线MN与l异面;对于C,AB与CD可能为异面直线.当直线AB与CD的中点M,N重合时,必有直线AC∥l,故不可能相交,综上所述,故选D.
答案:
D
5.(2013·河北高三质量监测)已知α、β是两个不同的平面,给出下列四个条件:
①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.可以推出α∥β的是( )
A.①③B.②④C.①④D.②③
解析:
对于②,平面α与β还可以相交;对于③,当a∥b时,不一定能推出α∥β,所以②③是错误的,易知①④正确,故选C.
答案:
C
6.(2013·江西南昌第一次模拟)设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊆α,b⊆β,且α⊥β”的平面α,β( )
A.不存在B.有且只有一对
C.有且只有两对D.有无数对
解析:
在平面β内l与b夹角为30°,且γ⊥β,与γ平行的平面有无数个,每个平面内均有直线与l平行,且与b异面,故选D.
答案:
D
二、填空题
7.在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线PC与AB所成角的大小是________.
解析:
分别取PA,AC,CB的中点F,D,E,连接FD,DE,EF,AE,则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角.
设PA=AC=BC=2a,在△FDE中,易求得FD=
a,DE=
a,FE=
=
a,
根据余弦定理,得cos∠FDE=
=-
,所以∠FDE=120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
答案:
60°
8.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
解析:
①、②、④对应的情况如下:
用反证法证明③不可能.
答案:
①②④
9.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
解析:
图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN;
因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
∴GH与MN异面.
所以图②、④中GH与MN异面.
答案:
②④
三、解答题
10.
如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:
EH、FG、BD三线共点.
解:
(1)∵
=
=2,∴EF∥AC.
∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH,且平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH.∴
=
=3,
即AH∶HD=3∶1.
(2)证明:
∵EF∥GH,且
=
,
=
,∴EF≠GH.
∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,所以P∈面ABD,P∈FG,FG⊂平面BCD,所以P∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
解:
(1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,
易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD-A1B1C1D中,
AC⊥BD,AC∥A1C1,
∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
12.如图所示,在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=
,且AD⊥BC,对角线BD=
,AC=
,求AC和BD所成的角的大小.
解:
如图所示,分别取AD,CD,AB,DB的中点E,F,G,H,
连接EF,FH,HG,GE,GF,
则由三角形中位线定理知EF∥AC
且EF=
AC=
,
GE∥BD且GE=
BD=
,
GH∥AD,GH=
AD=
,
HF∥BC,HF=
BC=
,
从而可知GE与EF所成的锐角(或直角)即为BD和AC所成的角,GH和HF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角.
∵AD⊥BC,∴∠GHF=90°
∴GF2=GH2+HF2=1.
在△EFG中,EG2+EF2=1=GF2,
∴∠GEF=90°,即AC与BD所成的角为90°.
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13.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直B.相交但不垂直
C.异面且垂直D.异面但不垂直
解析:
在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.
答案:
C
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