版理数练习第三章 第四节 yAsinωx+φ的图像及应用.docx
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版理数练习第三章第四节yAsinωx+φ的图像及应用
课时作业
A组——基础对点练
1.将函数y=cos2x的图像向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)·cosx的图像,则f(x)的表达式可以是( )
A.f(x)=-2sinx B.f(x)=2sinx
C.f(x)=sin2xD.f(x)=(sin2x+cos2x)
解析:
将y=cos2x的图像向左平移个单位长度后得y=cos=-sin2x=-2sinxcosx的图像,所以f(x)=-2sinx,故选A.
答案:
A
2.(2018·福州市质检)要得到函数f(x)=sin2x的图像,只需将函数g(x)=cos2x的图像( )
A.向左平移个周期 B.向右平移个周期
C.向左平移个周期D.向右平移个周期
解析:
因为f(x)=sin2x=cos(2x-)=cos[2(x-)],且函数g(x)的周期为=π,所以将函数g(x)=cos2x的图像向右平移个单位长度,即向右平移个周期,得到函数f(x)=sin2x的图像,故选D.
答案:
D
3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( )
A.y=cos(2x+)B.y=sin(2x+)
C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx
解析:
采用验证法.由y=cos(2x+)=-sin2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A.
答案:
A
4.函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,所得图像经过点(,0),则ω的最小值是( )
A.B.2
C.1D.
解析:
依题意得,函数f(x+)=sinω(x+)(ω>0)的图像过点(,0),于是有f(+)=sinω(+)=sinωπ=0(ω>0),ωπ=kπ,k∈Z,即ω=k∈Z,因此正数ω的最小值是1,选C.
答案:
C
5.三角函数f(x)=sin+cos2x的振幅和最小正周期分别是( )
A.,B.,π
C.,D.,π
解析:
f(x)=sincos2x-cossin2x+cos2x=cos2x-sin2x==cos,故选B.
答案:
B
6.(2018·石家庄市质检)已知函数f(x)=sin(2x+)+cos2x,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A.[,]B.[-,]
C.[-,]D.[-,]
解析:
f(x)=sin(2x+)+cos2x=sin2x+cos2x+cos2x=sin2x+
cos2x=sin(2x+).由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的一个单调递减区间为[,],故选A.
答案:
A
7.将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图像关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.B.
C.D.
解析:
将函数y=cosx+sinx=2cos的图像向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图像的函数解析式为y=2cos.因为所得的函数图像关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈N),即m=kπ+(k∈N),所以m的最小值为,故选B.
答案:
B
8.若函数f(x)=sinωx-cosωx,ω>0,x∈R,又f(x1)=2,f(x2)=0,
且|x1-x2|的最小值为,则ω的值为( )
A.B.
C.D.2
解析:
由题意知f(x)=2sin(ωx-),设函数f(x)的最小正周期为T,因为f(x1)=2,f(x2)=0,所以|x1-x2|的最小值为=,所以T=6π,所以ω=,故选A.
答案:
A
9.已知f(x)=2sin(2x+),若将它的图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的图像的一条对称轴的方程为( )
A.x=B.x=
C.x=D.x=
解析:
由题意知g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),令2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+π,k∈Z,当k=0时,x=,即函数g(x)的图像的一条对称轴的方程为x=,故选C.
答案:
C
10.函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.
解析:
因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinx·cosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),
-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.
答案:
1
11.(2018·昆明市检测)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),A,B是函数y=f(x)图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2,则f
(1)=.
解析:
设f(x)的最小正周期为T,则由题意,得=2,解得T=4,所以ω===,所以f(x)=sin(x+),所以f
(1)=sin(+)=sin=.
答案:
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像如图所示,则f(0)的值为.
解析:
由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像可知,其最小正周期T=2π,则ω=1.又f(-)=sin(-+φ)=0,0<φ<π,∴φ=,∴f(0)=sin=sin(+)=cos=.
答案:
13.已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图像如图所示,则φ的值为.
解析:
函数f(x)=sin2x的图像在y轴右侧的第一条对称轴为x=,直线x=关于x=对称的直线为x=.由图像可知,图像向右平移之后,横坐标为的点平移到横坐标为的点,所以φ=-=.
答案:
B组——能力提升练
1.(2018·广州市检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )
A.f(x)在(0,)上单调递减
B.f(x)在(,)上单调递减
C.f(x)在(0,)上单调递增
D.f(x)在(,)上单调递增
解析:
f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),因为0<φ<π且f(x)为奇函数,所以φ=,即f(x)=-sinωx,又直线y=与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,所以函数f(x)的最小正周期为,由=,可得ω=4,故f(x)=-sin4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此时f(x)在(,)上单调递增,故选D.
答案:
D
2.将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的最小值为( )
A.B.
C.D.
解析:
将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数y=sin=sin的图像,则由+φ=kπ+,得φ=kπ+(k∈Z),所以φ的最小值为,故选C.
答案:
C
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+)-1(ω>0)的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是( )
A.3B.
C.D.
解析:
将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到图像的函数解析式为y=2sin[ω(x-)+]-1=2sin(ωx-+)-1,所以=2kπ,k∈Z,所以ω=3k,k∈Z,因为ω>0,k∈Z,所以ω的最小值为3,故选A.
答案:
A
4.若关于x的方程2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根,则m的取值范围是( )
A.(1,)B.[0,2]
C.[1,2)D.[1,]
解析:
2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根等价于函数f(x)=2sin(2x+)的图像与直线y=m有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=m的图像,由图可知m的取值范围是[1,2).
答案:
C
5.函数f(x)=cos(2x-)+4cos2x-2-(x∈[-,])所有零点之和为
( )
A.B.
C.2πD.
解析:
函数f(x)=cos(2x-)+4cos2x-2-(x∈[-,])的零点可转化为函数g(x)=cos(2x-)+4cos2x-2与h(x)=的交点的横坐标g(x)=cos(2x-)+4cos2x-2=sin2x+cos2x=sin(2x+),h(x)==,可得函数g(x),h(x)的图像关于点(,0)对称.函数g(x),h(x)的图像如图所示.
结合图像可得在区间[-,]上,函数g(x),h(x)的图像有4个交点,且关于点(,0)对称.所有零点之和为2×+2×=,故选B.
答案:
B
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且对任意x∈R,都有f(x)≤f成立,则f(x)图像的一个对称中心的坐标是( )
A.B.
C.D.
解析:
由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,即×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,得φ=,故f(x)=sin,将各选项代入验证,可知选A.
答案:
A
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9
C.7D.5
解析:
因为x=-为函数f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,所以=+(k∈Z,T为周期),得T=(k∈Z).又f(x)在(,)上单调,所以T≥,k≤,又当k=5时,ω=11,φ=-,f(x)在(,)上不单调;当k=4时,ω=9,φ=,f(x)在(,)上单调,满足题意,故ω=9,即ω的最大值为9.
答案:
B
8.(2018·衡水中学调研)已知点(a,b)在圆x2+y2=1上,则函数f(x)=acos2x+bsinxcosx--1的最小正周期和最小值分别为( )
A.2π,-B.π,-
C.π,-D.2π,-
解析:
因为点(a,b)在圆x2+y2=1上,所以a2+b2=1,可设a=cosφ,
b=sinφ,代入原函数f(x)=acos2x+bsinxcosx--1,得f(x)=cosφcos2x+
sinφsinxcosx-cosφ-1=cosφ(2cos2x-1)+sinφsin2x-1=cosφcos2x+
sinφsin2x-1=cos(2x-φ)-1,故函数-的最小正周期为T==π,函数f(x)的最小值f(x)min=--1=-,故选B.
答案:
B
9.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将f(x)的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称,则函数f(x)的图像
( )
A.关于直线x=对称B.关于直线x=对称
C.关于点对称D.关于点对称
解析:
∵f(x)的最小正周期为π,∴=π,
ω=2,∴f(x)的图像向右平移个单位后得到g(x)=sin=sin的图像,又g(x)的图像关于原点对称,∴-+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=sin.当x=时,2x-=-,
∴A,C错误;当x=时,2x-=,∴B正确,D错误.
答案:
B
10.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=.
解析:
依题意,x==时,y有最小值,即sin=-1,则ω+=2kπ+(k∈Z).所以ω=8k+(k∈Z).因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.
答案:
11.已知函数f(x)=cos,其中x∈,若f(x)的值域是,则m的最大值是.
解析:
由x∈,可知≤3x+≤3m+,∵f=cos=-,且f=cosπ=-1,∴要使f(x)的值域是,需要π≤3m+≤,解得≤m≤,即m的最大值是.
答案:
12.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为.
解析:
f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),因为函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,所以f(ω)=sin(ω2+)=±,所以ω2+=+kπ,k∈Z,即ω2=+kπ,k∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+≤,即ω2≤,取k=0,得ω2=,所以ω=.
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