第三章 一元一次方程 山东郯城实验中学期末复习课学案.docx
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第三章一元一次方程山东郯城实验中学期末复习课学案
第三章一元一次方程
一、知识梳理
1.方程
(1)方程的定义:
含有未知数的等式叫做方程.
(2)方程的解:
能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
(3)解方程:
求方程解的过程叫做解方程.
2.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.
3.解一元一次方程的步骤:
①去分母,在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数,注意不要漏乘不含分母的项,分子为多项式的要加上括号;
②去括号,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,注意不要漏乘括号里的项,当括号前是“-”时,去掉括号时注意括号内的项都要变号;
③移项,将含有未知数的项移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边,注意移项要变号,移项和交换位置不同;
④合并同类项,将同类项合并成一项,把方程化为ax=b(a≠0)的形式,注意只合并同类项的系数;
⑤系数化为1,在方程ax=b的两边都除以a,求出方程的解x=
,注意符号,不要把方程ax=b的解写成x=
。
4.列方程解应用题的步骤:
(1)读题找相等关系:
认真读题,理解题意,分清已知与未知,找出相等关系.
(2)设出适当的未知数:
根据问题的实际情况,设未知数可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
(3)列方程:
根据问题中的一个相等关系列出方程.
(4)解方程:
解所列的方程,求出未知数的值.
(5)写出所求解的答案:
求到方程的解,要检验它是否符合实际意义,如果符合实际意义,要写出完整的答案.
5.实际问题的常见类型
(1)利息问题:
①相关公式:
本金×利率×期数=利息(未扣税);②相等关系:
本息=本金+利息.
(2)利润问题:
①相关公式:
利润率=利润÷进价;②相等关系:
利润=售价-进价.
(3)等积变形问题:
①相关公式:
长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高.
②相等关系:
变形前的体积=变形后的体积.
(4)工程问题
①数量关系:
工作量=工作时间×工作效率.②相等关系:
总工作量=各部分工作量的和.
(5)行程问题:
①相关数量关系:
路程=时间×速度;
②相等关系:
(相遇问题)两者路程和=总路程;
(追及问题)两者路程差=相距路程.
二、思想方法总结
1.方程的思想:
方程的思想就是把末知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参与运算,这是一种很重要的数学思想,很多问题都能归结为方程来处理。
2、数形结合的思想:
数形结合的思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把数和形结合起来分析问题的思想方法。
本章在列方程解应用题时常采用画图,列表格的方法展示数量关系。
使问题更形象、直观。
3、“化归思想”:
所谓化归思想,是指在如解数学问题时,如果对当前的问题感到困惑,可把它先进行交换,使之筒化,并得到解决的思维方法。
如本章解方程的过程,就是把形式比较复杂的方程,逐步化简为最简方程ax=b(a=0),从而求出方程的解,通过对解一元一次方程的学习要体会并掌据化归这一数学思想方法。
三、易错点突破
1、应用等式的基本性质时出现错误
例1.下列说法正确的是( )
A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=c
B、在等式a=b两边都除以c2+1可得
C、在等式
两边都除以a,可得b=c
D、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b
剖析:
A中a代表任意数,当a≠0时结论成立;但当a=0时,不能运用等式的性质
(2)结论不一定成立,如0·3=0·(-1)但3≠-1,所以,等式两边同时除以一个数,要保证除数不为0才能行。
B中c2+1≠0所以成立C用的性质错误,应在等式两边都乘以a,D中一b这一项没除以2,应为x=a-
选B
2、去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误;移项不变号,错把解方程的过程写成“连等”的形式。
例2.解方程
.
错解:
=3x-2+10=x+6=2x=-2=x=-1
剖析:
错解的原因是对方程的变形理解不深,受到代数式运算时使用连等式的习惯影响。
正解:
去分母得3x-2+10=x+6
移项合并同类项得2x=-2,所以x=-1
3、列方程解应用题时常出现的错误
(1)审题不清,没有弄请各个量所表示的意义;
(2)列方程出现错误;
(3)应用公式错误; (3)单住不统一; (4)计算方法出现错误。
考点例析
考点一考查基本概念
例1.若关于x的方程2(x-1)-a=0的解是3,则a的值是()
A.4B.-4C.5C.-5
分析:
方程的解是指能使方程左右两边相等的未知数的值,将x=3代入方程,左右两边相等,从而可以解出a.
解:
把x=3代入方程,得2×(3-1)-a=0,解得a=4.
例2.一个一元一次方程的解为2,请写出这个方程:
.
分析:
解为2的一元一次方程有无数个,故此题的答案不惟一.解决此题我们可以利用等式的基本性质在x=2的两边同时加(或减)同一个整式,或同时乘上(或除以)同一个数.
解:
如x-1=1;2x=4;3x-2=4等.
考点二考查一元一次方程的构建
例3.如果单项式4x2ya+3与-2x2y3-2a是同类项,那么a为()
A.-2B.-1C.0D.1
分析:
同类项是指所含字母相同,相同字母的指数也相同的项,所以a+3=3-2a,从而可以解出a.
解:
根据同类项的定义,知a+2=3-2a,解得a=0.故选C.
例4.某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%,求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x元,则得到方程()
A.x=150×25%B.25%x=150C.150-x=25%xD.150-x=25%
分析:
根据利润率=
,得150-x=25%x.解:
选C.
考点三考查一元一次方程的解法
例5.解方程:
x-
=2-
.
分析:
这是一道一元一次方程的求解题,按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五个步骤逐步求解,解时要留意每步的注意点.
解:
去分母,得6x-3(x-1)=12-2(x+1).
去括号,得6x-3x+3=12-2x-2.
移项,得6x-3x+2x=12-2-3.
合并同类项,得5x=7.
系数化为1,得x=
.
考点三考查一元一次方程的应用
例6.某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同,书包单价也相同,英语学习机和书包单价之和是452元,且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元.
(1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元?
(2)某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打7.5折销售;超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包,那么在哪一家购买更省钱?
分析:
(1)设书包的单价为x元,则英语学习机的单价为(4x-8)元,根据“英语学习机和书包单价之和是452元”列出方程,求出书包和英语学习机的单价;
(2)分别求出在超市A、B购买看中的英语学习机、书包的费用,通过比较大小即可知道那种方式购买更省钱.
解:
(1)设书包的单价为x元,则英语学习机的单价为(4x-8)元.
根据题意,得4x-8+x=452,
解得x=92.
4x-8=4×92-8=360.
答:
该同学看中的英语学习机单价为360元,书包单价为92元.
(2)在超市A购买英语学习机与书包各一件,需花费现金:
452×75%=339(元);
因为339<400,所以可以选择超市A购买.
在超市B可先花费现金360元购买英语学习机,再利用得到的90元购物券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金:
360+2=362(元);
因为362<400,所以也可以选择在超市B购买.
但是,由于362>339,所以在超市A购买英语学习机与书包,更省钱.
专题练习一
(内容:
一元一次方程3.1---3.2)
一、选择题(每题4分,共40分)
1.下列方程中是一元一次方程的是()
A.3x+2y=5B.y2-6y+5=0C.
x-3=
D.4x-3=0
2.下列方程的解正确的是()
A.x-3=1的解是x=-2B.
x-2x=6的解是x=-4
C.3x-4=
(x-3)的解是x=3D.-
x=2的解是x=-
3.在下列方程中,解是x=-1的是()
A.2x+1=1B.1-2x=1C.
=2D.
=2
4.已知x=y,则下面变形错误的是()
A.x+a=y+aB.x-a=y-aC.2x=2yD.
5.如果
,那么
=()
A.15B.16C.17D.19
6.方程
m+
m=5-
m的解是()
A.5B.10C.15D.30
7.方程2-
去分母得()
A.2-2(2x-4)=-(x-7)B.12-2(2x-4)=-x-7
C.12-4x-8=-(x-7)D.12-2(2x-4)=x-7
8.与方程x-
=-1的解相同的方程是()
A.3x-2x+2=-1B.3x-2x+3=-3C.2(x-5)=1D.
x-3=0
9.若关于x的一元一次方程
=1的解为x=-1,则k的值为()
A.
B.1C.-
D.0
10.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),按收方由密文→明文(解密),已知加密规则为明文a,b,c对应的密文a+1,2b+4,3c+9,例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18,如果接收的密文7,18,15,则解密得到的明文为()
A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,
二、填空题(每题4分,共20分)
11.若
是一元一次方程,则m=_______.
12.合并下列相同字母的项:
(1)
______________.
(2)
____________.
13.方程
的解是.
14.当
时,代数式
与
的值相等.
15.若方程
与方程
的解相同,则
.
三、解答题(共40分)
16.解方程(每小题5分,共10分)
(1)
(2)
17.解方程(每小题5分,共10分)
(1)
(2)
18.(共10分)x取什么数时,
的
是
的相反数?
9.(共10分)当
时,多项式
的值是
,那么当
时,这个多项式的值是多少?
专题练习二
(内容:
一元一次方程3.3---本章末)
一、选择题(每题4分,共40分)
1.下列方程中,属于一元一次方程的是()
A.x-3B.x2-1=0C.2x-3=0D.x-y=3
2.下列方程中,解是2的方程是()
A.3x+6=0B.-
x+
=0C.
x=2D.5-3x=1
3.已知x=-2是方程2x+m-4=0的一个解,则m的值是()
A.8B.-8C.0D.2
4.已知等式a=b,c为任意有理数,则下列等式中,不一定成立的是()
A.a-c=b-cB.a+c=b+cC.-ac=-bcD.
5.一件标价为250元的商品,若该商品按八折销售,则该商品的实际售价是()
A.180元B.200元C.240元D.250元
6.下列四组变形中,变形正确的是()
A.由5x+7=0得5x=-7B.由2x-3=0得2x-3+3=0
C.由
=2得x=
D.由5x=7得x=35
7.下列各组方程中,解相同的方程是()
A.x=3与4x+12=0B.x+1=2与2(x+1)=2x
C.7x-6=25与
=6D.x=9与x+9=0
8.解方程
=1去分母正确的是()
A.2(x-1)-3(4x-1)=1B.2x-1-12+x=1
C.2(x-1)-3(4-x)=6D.2x-2-12-3x=6
9.一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,现由甲独做4小时,剩下的甲、乙合做,还需几小时?
设剩下部分要x小时完成,下列方程正确的是()
10.甲、乙两种衣服售价均为60元,其中一件衣服赢利20%,另一件衣服亏损20%。
当商家同时卖出这两种衣服各一件时()
A.不赢不亏B.赢利5元C.亏损5元D.赢利6元
二、填空题(每题4分,共20分)
11.方程6x+5=3x的解是.
12.若x=3是方程2x-10=4a的解,则a=.
13.一张试卷上有只有20道选择题,做对一道题得4分,做错一道题倒扣1分,某学生做了全部试卷共得70分,他做对了道.
14.敌我两军相距14千米,敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑,现我军以7千米/小时的速度追击,小时后可追上敌军.
15.某超市规定,如果购买不超过50元的商品时,按全额收费;购买超过50元的商品时,超过部分按九折收费.某顾客在一次消费中,向售货员交纳了212元,那么在此次消费中该顾客购买了价值元的商品.
三、解答题(共40分)
16.解方程(每小题5分,共10分)
(1)
(2)
17.(10分)如图所示,在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片,这些卡片的大小相同,卡片之间露出了三块正方形的空白,在图中用斜线标明.已知卡片的短边长度为10厘米,想要配三张图片来填补空白,需要配多大尺寸的图片.
18.(10分)下表为某相馆的价目表,今逢开业周年庆,底片冲洗与照片冲洗皆打八折,小颖带了一卷底片去冲洗相纸为“布纹”的照片若干张,打折后共付了16.8元。
请问小颖洗了多少张照片?
项目
费用
底片冲洗费
3元/卷
相知规格(布纹)照片冲洗费
0.50元/张
19.(10分)某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
专题训练三
(应用题专项)
和差倍分问题(年龄问题、比例问题、日历问题)
1、姐姐4年前的年龄是妹妹的2倍,今年年龄是妹妹的1.5倍,求姐姐今年的年龄。
2、1992年,妈妈52岁,儿子25岁,哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍.
3、爸爸和女儿两人岁数加起来是91岁,当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的时候,女儿岁数是爸爸现在岁数的,那么爸爸现在的年龄是多少岁,女儿现在年龄是多少岁.
4、建筑工人在施工中,使用一中混凝土,是由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成的,这四种原料的重量的比是0.7:
1:
2:
4.7,搅拌这种混凝土2100千克,分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克?
5、小名出去旅游四天,已知四天日期之和为65,求这四天分别是哪几日?
等积问题
1、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中,刚好倒满20杯,求小杯子的高。
2、用60米长的篱笆,围成一个长方形的花圃,若长比宽的2倍少3米,则长方形的面积是多少?
3、将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块,锻造成一个底面边长为12厘米的正方形的长方体零件钢坯。
试问是锻造前长方体钢块的表面积大,还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大?
请计算回答。
行程问题(航行问题、相遇问题、追及问题、火车过桥问题)
1、一艘轮船,航行于甲、乙两地之间,顺水用5小时,逆水比顺水多用2小时。
已知轮船在静水中的速度是每小时52千米,求水流的速度?
2、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练,小红的速度为85米/分,小明比她快10米/分,
(1)如果两人同时同向同一地点开跑,多少分钟两人会相遇?
(2)如果两人同时相向同地开跑,多少分钟两人会相遇?
(3)如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑,多少分钟两人会相遇?
3、甲乙两人骑自行车,从相距60千米的两地相向而行,甲每小时走12千米,乙每小时走10千米,如甲走15分钟后乙再出发,问甲出发后几小时与乙相遇?
4、敌军和我军相距27千米,敌军以4千米/小时的速度逃跑,我军迅速以7千米/小时的速度追击敌军,需几小时可以追上?
5、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥,用了半分钟,则火车本身的长度为多少米?
6、小强、小芳、小亮在郊游,看到远处一列火车匀速通过一个隧道后,产生了以下对话.各位同学,请根据他们的对话求出这列火车的长。
劳力调配及配套问题
1、甲车队有15辆汽车,乙车队有28辆汽车,现调来10辆汽车分给两个车队,使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆,应分配到甲乙两车队各多少辆车?
2、某车间有工人85人,平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人,又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套,问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套?
3、某队有55人,每人每天平均挖土2.5方或运土3方,为合理安排劳力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土人数?
销售盈亏问题
1、某种衣服因换季打折销售,每件衣服如果按标价的5折出售将亏60元;而如果按标价的8折出售将赚120元。
问这件衣服的标价和成本各是多少元?
2、某商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少元?
3、团体购买公园门票,票价如下:
购票人数:
1~50人51~100人100人以上
每人门票价分别是65元55元45元
问题:
今有甲,乙两个旅游团,若分别购票,两团总计应付门票费6570元,若合在一起作为一个团体购票,总计应须付5040元,问这两个旅游团各有多少人?
银行利率问题
1.小颖的爸爸为了准备小颖3年后读高中的费用,准备用1万元参加教育储蓄,已知教育储蓄一年期的利率为2.25%,三年期的利率为2.70%,现在有两种存法
(1)一年,下一年连本带息再存一年,到期后连本带息再存一年
(2)接存一个三年期.请你帮着计算一下,小颖的爸爸应选择哪一种储蓄方式?
数字问题
1.有一个两位数,个位数字是十位数字的4倍,把这个两位数的数字对调位置后,新的两位数比原两位数多54,则原两位数为多少?
2.若有一个七位自然数,它的第一位数字是3,若把3移到末位,其他数位上的数字顺序不变,则新数等于这个原数的2倍还多11,求原来的七位数?
余不足问题
1、用化肥若干千克给一块麦田施肥,每亩用6千克,还差17千克;每亩用5千克,还多3千克,这块麦田有多少亩?
2、毕业生在礼堂入座,1条长凳坐3人,有25人坐不下;1条长凳坐4人,正好空出4条长凳,则共有多少名毕业生?
长凳有多少条?
3、有一次数学竞赛共20题,规定做对一题得5分,做错或不做的题每题扣2分,小景得了86分,问小景对了几题?
工程问题
1、有一个水池,用两个水管注水。
如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开乙管,5小时注满水池.
(1)如果甲、乙两管先同时注水20分钟,然后由乙单独注水。
问还需要多少时间才能把水池注满?
(2)假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。
如果三管同时开放,多少小时才能把一空池注满水?
2、一项工程,甲单独完成需要9天,乙单独完成需要12天,丙单独完成需要15天。
若甲、丙先做3天后,甲因故离开,由乙接替甲工作,问还需多少天能完成这项工程的?
方案问题
1、某中学要添置某种教学仪器,方案1:
到商店购买,每件需要8元;方案2:
学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的租用费120元,设需要仪器x件.
(1)分别求出方案1和方案2的总费用;
(2)当购制仪器多少件时,两种方案的费用相同;
(3)若学校需要仪器50件,问采用哪种方案便宜?
请说明理由.
2、张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动,甲旅行社说:
“如果老师买全票一张,则学生可享受半价优惠。
”乙旅行社说:
“包括老师在内按全票价的6折优惠。
”若全票价为240元,当学生从数为多少人时,两家旅行社的收费一样多?
3、某校七年级组织学生秋游,如果租用若干辆45座的客车,则有15人无座位;如果租用60座的客车,则可比45座的客车少租2辆,且保证人人有座而无空位。
求:
(1)七年级共有多少名学生?
(2)若45座客车的租金为每辆420元,60座客车的租金为每辆600元,那么应如何安排客车的型号和数量,使得租金最少?
是多少元?
其它问题
有一个只允许单向通过的窄道口,通常情况下,每分种可以通过9人,一天,王老师到达道口,此时,自己前面还有36个人等待通过(假定先到的先过,王老师过道口的时间忽略不计),通过道口,还需7分钟到达学校。
(1)此时,若绕道而行,要15分钟到达学校,从节省时间考虑,王老师应选择绕道去学校,还是选择是通过拥挤的道口去学校?
(2)若在王老师等人的维持下几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期间,每分钟若有3人通过道口),结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口问维持秩序的时间是多少?
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