北师大版数学必修全套教案.docx
- 文档编号:30631355
- 上传时间:2023-08-18
- 格式:DOCX
- 页数:95
- 大小:889.68KB
北师大版数学必修全套教案.docx
《北师大版数学必修全套教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版数学必修全套教案.docx(95页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版数学必修全套教案
(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!
)
(北师大版)数学必修4全套教案
§1周期现象与周期函数(1课时)
教学目标:
知识与技能
(1)了解周期现象在现实中广泛存在;
(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法
通过创设情境:
单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义,再在实践中加以应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点:
感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。
难点:
周期函数概念的理解,以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法:
数学来源于生活,又指导于生活。
在大千世界有很多的现象,通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义,再应用于实践。
教学用具:
实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境,揭示课题】
同学们:
我们生活在海南岛非常幸福,可以经常看到大海,陶冶我们的情操。
众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如,[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象。
所以,我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)
【探究新知】
1.我们已经知道,潮汐、钟表都是一种周期现象,请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片),注意波浪是怎样变化的?
可见,波浪每隔一段时间会重复出现,这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)
(板书:
一、我们生活中的周期现象)
2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?
教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容,并思考回答下列问题:
①如何理解“散点图”?
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?
③如何理解图1-1中的“Hm”和“t°(n°>0)的角,圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1,点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r>0)和rl(rl>0),由初中所学的弧长公式有l=r,l1=r1,所以==,这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值,与所取的半径大小无关,只与角α的大小有关.
用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进行换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算.
3.角度制与弧度制的换算.
现在我们知道:
1个周角=360°=r,所以,(板书)360°=2πrad,由此可以得到180°=πrad,1°=≈0.01745rad,1rad=()°≈57.30°=57°18’。
说明:
在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住180°=πrad这一关系式.
今后我们用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写这个角所对应的弧度数.例如,角α=2就表示是2rad的角,sin就表示rad的角的正弦,但用角度制表示角时,“度”或“°”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如45°=rad,不必写成45°=0.785弧度.
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法,而角度制与弧度制可以相互转化,所以与角α终边相同的角(连同角α在内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致.
角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:
每一个角都有唯一的一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应,就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化,发展思维】
1.例题讲评
例1.把45°化成弧度。
解:
45°=×45rad=rad.
例2.把rad化成度。
解:
rad=×180°=108°.
例3.利用弧度制证明扇形面积公式S=lr,其中l是扇形的弧长,r是圆的半径。
证:
∵圆心角为1的扇形的面积为·πr2,又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为,∴扇形的面积S=··πr2=lr.
2.学生课堂练习
(1)填表
度
0°
45°
60°
180°
360°
弧度
说明:
一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去进行换算.
(2)用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理,整体认识
(1)主要学习了弧度制的定义;角度与弧度的换算公式;特殊角的弧度数。
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
六、布置作业:
习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思
§4.1锐角的正弦函数§4.2任意角的正弦函数§4.3正弦函数y=sinx的图像(2课时)
教学目标:
知识与技能
(1)回忆锐角的正弦函数定义;
(2)熟练运用锐角正弦函数的性质;(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义;(4)掌握任意角的正弦函数的定义;(5)理解有向线段的概念;(6)了解正弦函数图像的画法;(7)掌握五点作图法,并会用此方法画出[0,2π]上的正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数,是通过直角三角形中给出定义的;由于我们已将角推广到任意角的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重要方法,在第二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用;讲解例题,总结方法,巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习,使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识;在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点:
1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点:
1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中,我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦,当把锐角放在直角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意角时,通过函数定义的形式引出正弦函数的定义;作正弦函数y=sinx图像时,在正弦函数定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时§4.1锐角的正弦函数§4.2任意角的正弦函数
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。
请同学们回忆
(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念;
(2)初中所学的正弦函数是如何定义的?
并想一想它有哪些性质?
学生思考回答以后,教师小结。
(板书课题)
【探究新知】
在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:
sinα=,
如图:
sinA=,由于a是直角边,c是斜边,所sinA∈(0,1)。
由于我们通常都是将
角放到平面直角坐标系中,我们来看看会发生什么?
在直角坐标系中,(如图所示),设角α(α∈(0,))
的终边与半经为r的圆交于点P(a,b),则角α的正弦值是:
sinα=.根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α,都不会随圆的半经的改变而改变。
为简单起见,令r=1(即为单位圆),那么sinα=b,也就是说,若角α的终边与单位圆相交于P,则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数?
一般地,在直角坐标系中(如上图),对任意角α,它的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b)的纵坐标b,所以P点的纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数,记作y=sinα(α∈R)。
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为y=sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明:
角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
它们的正弦值有什么关系?
角和角呢?
-角和角呢?
-角和-角呢?
通过上述问题的讨论,容易得到:
终边相同的角的正弦函数值相等,即
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),说明对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值不变。
所以,正弦函数是随角的变化而周期性变化的,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。
一般地,对于周期函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化,发展思维】
课本P17的思考与交流。
课本P18的练习。
3.若点P(—3,y)是α终边上一点,且sinα=—,求y值.
4.若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在函数y=—3x(x≤0)
的图像上,则sinα=。
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
三、课后反思
第二课时§4.3正弦函数y=sinx的图像
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
三角函数是一种重要的函数,从第一节我们就知道在实际生活中,有许多地方用到三角函数。
今天我们来学正弦函数y=sinx的图像的做法。
在前一节,我们知道正弦函数是一个周期函数,最小正周期是2π,所以,关键就在于画出[0,2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的?
作函数图像的三步骤:
列表,描点,连线。
【探究新知】
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示,
角α的终边与单位圆交于点P(x,y),提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?
如果不能,你能否设计
一种方法加以解决?
引出有向线段的概念.
有向线段:
当α的终边不在坐标轴上时,可以把MP看作是带方向的线段,
y>0时,把MP看作与y轴同向(多媒体优势,利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与y轴同向).
y<0时,把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与y轴反向).
师生归纳:
①MP是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP是从M→P,而PM则是从P→M。
②不论哪种情况,都有MP=y.③依正弦定义,有sinα=MP=y,我们把MP叫做α的正弦线.
(投影仪出示反馈练习)当α为特殊角,即终边在坐标轴上时,找出其正弦线。
演示运动过程,让学生清楚认识到:
当α终边在x轴上时,正弦线变为一个点,即sinα=0。
2.作图的步骤
边作边讲(几何画法)y=sinxx[0,2]
作单位圆,把⊙O十二等分(当然分得越细,图像越精确)
十二等分后得对应于0,,,,…2等角,并作出相应的正弦线,
将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28),若变动比例,今后图像将相应“变形”
取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合
描图(连接)得y=sinxx[0,2]
(6)由于终边相同的三角函数性质知y=sinxx[2k,2(k+1)](kZ,k0)
与函数y=sinxx[0,2]图像相同,只是位置不同——每次向左(右)平移2单位长。
可以得到y=sinx在R上的图像
五点作图法:
由上图我们不难发现,在函数y=sinx,x[0,2]的图像上,起着关键作用的有以下五个关键点:
(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)。
描出这五个点后,函数y=sinx,x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图。
我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。
【巩固深化,发展思维】
1.例题讲评
例1.用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图。
(1)y=-sinx
(2)y=1+sinx
解:
(1)列表
x
0
π
2π
y=-sinx
0
1
0
-1
0
描点得y=-sinx的图像:
(略,见教材P22)
2.学生练习
教材P22
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
三、布置作业
作业:
习题1—4第1,2题.
四、课后反思
§4.4正弦函数的性质(2课时)
教学目标:
知识与技能
(1)进一步熟悉单位圆中的正弦线;
(2)理解正弦诱导公式的推导过程;(3)掌握正弦诱导公式的运用;(4)能了解诱导公式之间的关系,能相互推导;(5)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性;(6)能熟练运用正弦函数的性质解题。
过程与方法
通过正弦线表示α,-α,π-α,π+α,2π-α,从而体会各正弦线之间的关系;或从正弦函数的图像中找出α,-α,π-α,π+α,2π-α,让学生从中发现正弦函数的诱导公式;通过正弦函数在R上的图像,让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题,总结方法,巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:
正弦函数的诱导公式,正弦函数的性质。
难点:
诱导公式的灵活运用,正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上,运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系,引发学生探索出正弦函数的诱导公式;通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用;在正弦函数的图像中,直观判断出正弦函数的性质,并能上升到理性认识;理解掌握正弦函数的性质;以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
在上一节课中,我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终边相同的角的正弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦函数值。
如果还能把0°~360°间的角转化为锐角的正弦函数,那么任意角的正弦函数就可以查表求出。
这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习:
(公式1)sin(360k+)=sin
对于任一0到360的角,有四种可能(其中为不大于90的非负角)
(以下设为任意角)
公式2:
设的终边与单位圆交于点P(x,y),则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y),由正弦线可知:
sin(180+)=sin
4.公式3:
如图:
在单位圆中作出α与-α角的终边,同样可得:
sin()=sin,
公式4:
由公式2和公式3可得:
sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,
同理可得:
sin(180)=sin,
6.公式5:
sin(360)=sin
【巩固深化,发展思维】
例题讲评
求下列函数值
(1)sin(-1650);
(2)sin(-15015’);(3)sin(-π)
解:
(1)sin(-1650)=-sin1650=-sin(4×360+210)=-sin210=-sin(180+30)=sin30=
(2)sin(-15015’)=-sin15015’=-sin(180-2945’)=-sin2945’=-0.4962
(3)sin(-π)=sin(-2π+)=sin=
例2.化简:
解:
(略,见教材P24)
学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
三、课后反思
第二课时正弦函数的性质
教学思路
【创设情境,揭示课题】
同学们,我们在数学一中已经学过函数,并掌握了讨论一个函数性质的几个角度,你还记得有哪些吗?
在上一次课中,我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?
【探究新知】
让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题:
正弦函数的定义域是什么?
正弦函数的值域是什么?
它的最值情况如何?
它的正负值区间如何分?
ƒ(x)=0的解集是多少?
师生一起归纳得出:
定义域:
y=sinx的定义域为R
值域:
引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:
|sinx|≤1(有界性)
再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以y=sinx的值域为[-1,1]
3.最值:
1对于y=sinx当且仅当x=2k+,kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k-,kZ时ymin=-1
2当2k<x<(2k+1)(kZ)时y=sinx>0
当(2k-1)<x<2k(kZ)时y=sinx<0
4.周期性:
(观察图象)1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;
2规律是:
每隔2重复出现一次(或者说每隔2k,kZ重复出现)
3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx也可以说明
结论:
y=sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin(-x)=-sinx(x∈R)y=sinx(x∈R)是奇函数
6.单调性
x
-
…
0
…
…
π
…
sinx
-1
0
1
0
-1
增区间为[-+2kπ,+2kπ](k∈Z),其值从-1增至1;
减区间为[+2kπ,+2kπ](k∈Z),其值从1减至-1。
【巩固深化,发展思维】
例题讲评
例1.利用五点法画出函数y=sinx-1的简图,根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解:
(略,见教材P26)
2.课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?
所涉及的主要数学思想方法有哪些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
三、布置作业:
习题1—4第3、4、5、6、7题.
四、课后反思
§5余弦函数(2课时)
教学目标:
知识与技能
(1)了解任意角的余弦函数概念;
(2)理解余弦函数的几何意义;(3)掌握余弦函数的诱导公式;(4)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像;(5)熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质;(6)能区别正、余弦函数之间的关系;(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余弦函数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:
余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。
难点:
余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。
用五点作图的方法作出y=cosx在[0,2π]上的图像,并由图像直观得到其性质。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα=。
同样地,当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1.余弦函数的定义
在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点P(a,b),
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数,记作:
a=cosα(α∈R).
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示
为y=cosx(x∈R).
如图,有向线段OM称为角α的余弦线。
其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标(a,b),求出|OP|,记为r,则
角α的正弦和余弦分别为:
sinα=,cosα=.
在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。
2.余弦函数的诱导公式
从右图不难看出,角α和角2π+α,2π-α,(-α)的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等;
角α和角π+α,π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数,
所以,它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式:
cos(2π+α)=cosα
cos(-α)=cosα
cos(2π-α)=cosα
cos(π+α)=-cosα
cos(π-α)=-cosα
请同学们观察右图,角α与角+α的正弦、余弦函数值有什么关
系?
由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(+α)
相等;点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(+α)互为相反数。
我们可以得到:
sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
问题与思考:
验证公式sin(+α)=cosα
cos(+α)=-sinα
以上公式统称为诱导公式,其中α可以是任意角。
利用诱导公式,可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化,发展思维】
例题讲评
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北师大 数学 必修 全套 教案