MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告分析.docx
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MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告分析
姓名实验报告成绩
评语:
指导教师(签名)
说明:
指导教师评分后,实验报告交院(系)办公室保存。
实验一方程求根
一、实验目的
用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间[a,b]上,或某一点附近的实根。
并比较方法的优劣。
二、实验原理
⑴、二分法
ba
x
对方程f(x)0在[a,b]内求根。
将所给区间二分,在分点2判
bax
断是否f(x)。
;若是,则有根2。
否则,继续判断是否f(a)?
f(x)0,若是,则令bx,否则令axo否则令axo重复此过程直至求出方程f(x)0在[a,b]中的近似根为止。
(2)、迭代法
将方程f(x)0等价变换为x=。
(x)形式,并建立相应的迭代公式
xk1少(x)。
(3)、牛顿法
若已知方程的一个近似根X。
,则函数在点X。
附近可用一阶泰勒多项
式pl(x)f(X。
)f,(X0)(XX。
)来近似,因此方程f(x)。
可近似表示为
f(x。
)
f(x。
)f'dXxx)。
设f'(x。
)。
,则xx0「(x。
)。
取X作为原方程新的近
f(Xk)
似根X1,然后将X1作为X0代入上式。
迭代公式为:
Xk1X0f'(Xk)O
三、实验设备:
MATLAB7.。
软件
四、结果预测
(1)xii=0.09033
(2)x5=0.09052(3)x2=0,09052五、实验内容
(1)、在区间[0,1]上用二分法求方程ex10x2。
的近似根,要求误差不超过0.5103。
f(Xk)
⑵、取初值X00,用迭代公式Xk1X0f'(xk),求方程ex10x20的
3
近似根。
要求误差不超过0.510。
(3)、取初值X00,用牛顿迭代法求方程ex10x20的近似根。
要求误
3
差不超过0.510O
六、实验步骤与实验程序
(1)二分法
第一步:
在MATLAB7.0软件,建立一个实现二分法的MATLA的数文
件agui_bisect.m如下:
functionx=agui_bisect(fname,a,b,e)
%fname为函数名,a,b为区间端点,e为精度
fa=feval(fname,a);%把a端点代入函数,求fa
fb=feval(fname,b);%把b端点代入函数,求fb
iffa*fb>0error('两端函数值为同号');
end
哪口果fa*fb>0,则输出两端函数值为同号
k=0
x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e)%循环条件的限制
fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数,求fx
iffa*fx<0%如果fa与fx同号,则把x赋给b,把fx赋给fb
b=x;
fb=fx;
else
%®果fa与fx异号,则把x赋给a,把fx赋给fa
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
%计算二分了多少次
x=(a+b)/2%当满足了一定精度后,跳出循环,每次二分,都得新的
区间断点a和b,则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步:
在MATLA蹄令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下
>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>>x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10A-3)
第三步:
得到计算结果,且计算结果为
k
x
0
0.50000000000000
1
0.25000000000000
2
0.12500000000000
3
0.06250000000000
4
.0937********
5
0.07812500000000
6
.0859********
7
.0898********
8
.0917********
9
.0908********
10
.0903********
11
.0903********
CommandWindow
CommandWindow
Inlinefunction:
0.125COOOOOCOOOO
furJi)=exp»x)+13*x-2»x=agLi_bi-sect(fun.D,l,0.5*13A-3)
O.SOCCOOOMOCOCO
C.062500000CDOOO
0.25000000000000
0.093750OO0C0CO0
CommandWindow
CommandWindow
0.07&12500000000
.0859********
0,C91796875DODOO
.0908********
.0903********
0898********
0.090332D3125G0C
(2)迭代法
第一步:
第一步:
在
MATLA7.0软件,建立一个实现迭代法的
MATLAB
函数文件agui_main.m如下:
functionx=agui_main(fname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数,x0为迭代初值
%e为精度,N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0;%把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
whileabs(x0-x)>e&k x0-x的绝对值大于某一精度, 和迭代次数小于N k=k+1%显示迭代的第几次 x0=x; x=(2-exp(x0))/10%迭代公式 disp(x)%显示x end ifk==Nwarning。 已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到 最大迭代次数 第二步: 在MATLA蹄令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >>x=agui_main(fun,0,1,0.5*10A-3) 第三步: 得出计算结果,且计算结果为 k x 1 0.10000000000000 2 0.08948290819244 3 .0906******** 4 0.09051261667437 5 0.09051261667437 以下是结果的屏幕截图 Command\AJindaur 0.08948290S19244 CommandWindow f皿- Inlinefaction: funfej.=e即皿10哪2 >>X二双uijnain(fumQ口.5*10'-3) U.0906******** 0.lOQDOOOOQPQOOQ Q.09051201667437 k- a 0.09051261667437 K二 0.08948290819244 (3)牛顿迭代法 第一步: 第一步: 在MATLAB7.0软件,建立一个实现牛顿迭代法的 MATLAB1数文件=agui_newton.m如下: functionx=agui_newton(fname,dfname,x0,e) %fname为函数名dfname的函数fname的导数,x0为迭代初值 %e为精度,N为最大迭代次数(默认为100) N=100; x=x0;%把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0 x0=x+2*e; k=0; whileabs(x0-x)>e&k x0-x的绝对值大于某一精度, 和迭代次数小于N k=k+1%显示迭代的第几次 x0=x; x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式 disp(x)%显示x end ifk==Nwarning。 已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到 最大迭代次数 第二步: 在MATLA蹄令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >>dfun=inline('exp(x)+10') >>x=agui_newton(fun,dfun,0,0.5*10A-3) 第三步: 得出结果,且结果为 k x 1 .0909******** 2 0.09052510858339 3 0.09052510858339 以下是结果的屏幕截图 CommandWinctowWindow (1)xii=0.09033 (2)x5=0.09052 八、实验分析与结论 funCx)-ukp以)十】。 松一? >>dfun=inlxn.Erexp(耳)+ICT) dfim- Inlinefunction: dfun(x)=esp0 »x=afui_Tievrton(fun,d/un,0,0.5*IO,Y I 0.03090509090909 Z 0.09052510658339 ■Q9Q52slM8339 (3)x2=0,09052 由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果,我们 可以得出这样的结论: 二分法要循环k=11次,迭代法要迭代k=5次,牛 顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5103的要求,而且方程ex10x20 的精确解经计算,为0.0905250,计算量从大到小依次是: 二分法,迭代法, 牛顿法。 由此可知,牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。 而这三种 方法中,牛顿法不仅计算量少,而且精确度高。 从而可知牛顿迭代法收敛 速度明显加快。 可是迭代法是局部收敛的,其收敛性与初值x0有关。 二 分法收敛虽然是速度最慢,但也有自己的优势,可常用于求精度不高的近 似根。 迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问 题。 对与不同的题目,可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。 >>fun=irLlin«fexp(i)+10*x-2T) fun= Iniinefun.ction; -sip(w)+l0*x-2 >>dfim=inline(? ezpis^+lO*12**) dfun= Irilinefunfition: dfun(x)=exp(耳)+1Q 》》K=agni_'nevrton《fun』dfvin.,%CL5*1T-3)k= 1 0909******** k= 2 D.09052510858J39 七、实验结果
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- MATLAB 计算方法 迭代法 牛顿 二分法 实验 报告 分析