六年级上数学第一章整数和整除练习课教案.docx
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六年级上数学第一章整数和整除练习课教案
2013年六年级(上)数学第一章整数和整除练习课教案
教问姓名:
韩老师年级:
六年级学员姓名:
课次:
总课次,第1次
授课时间
2013年9月7日(星期六)13时00分至15时00分
课题
第一章整数和整除
教学目标
及
重难点
教学目标:
1.理解整数的概念与分类
2.掌握整除的概念和条件
3.理解因数和倍数的概念
4.能不遗漏地找出一个数所有的因数
5.能快速找到一个数的倍数
6.知道因数和倍数的依存与对应关系
7.理解能被2、5整除的数的特征
8.理解奇数和偶数的概念
教学重点:
1.理解和掌握整除的概念
2.理解掌握因数和倍数的意义和求法
3.理解因倍数是互相依存的
4.掌握能被2、5整除的数的特征
教学难点:
1.“除”和“除以”、“能”和“能被”的关系
2.因数、倍数的求法
3.掌握同时被2、5整除的数的特征
课前检查
作业完成情况:
优□良□中□差□
教学步骤
【知识精要】
整数:
正整数、零、负整数,统称为整数。
零和正整数统成为自然数。
正整数
整数0
负整数
整除:
整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。
整除的条件:
(3整1零)
(1)除数、被除数都是整数;
(2)被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
a÷b,读作a除以b或者b除a;a被b除或者b去除a。
(由第4题引出)
凡是整除一定能除尽,但除尽的不一定能整除;除尽包含整除,整除是除尽的一种特殊情况。
(由第5题引出)
因数与倍数:
如果数a能被数b整除,那么a就叫做b的倍数,b叫做a的因数(也称为约数)。
因数、倍数是互相依存的。
不能说a是倍数、b是因数!
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
1只有一个因数1,除1以外的整数,至少有2个因数。
求法:
因数的求法有2种,列乘法算式和列除法算式。
(第6题和第8题引出这一点)
一个整数的倍数有无数个,没有最大的倍数,最小的倍数是它本身。
性质:
一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数。
1是任何一个整数的因数,任何整数都是1的倍数。
0是任何一个不为0的整数的倍数,任何一个不等于0的整数都是0的因数。
能被2、5整除的数:
能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8;能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0;能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.
能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数。
能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数。
能被4整除的数:
末两位组成的数被4整除;被25整除的数,末两位组成的数被25整除。
能被6整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数而且个位上的数字是0、2、4、6、8。
(既能被2整除又能被3整除)
能被8整除的数:
末三位组成的数被8整除;被125整除的数,末三位组成的数被125整除。
能被9整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是9的倍数.(证明方法在初一课本上)
能被11整除的数:
奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除。
能被7、11、13整除:
后3位数减去前面的数,所得的数被7整除,则这个数能被7、11、13整除。
例如:
6139是否能被7整除的过程如下:
后三位减去前一位139-6=133,133÷7=69能除开,所以6139能被7整除。
数的整除还具有如下性质:
性质1如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。
例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7=63整除。
素数、合数与分解素因数:
正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.
素数(质数)只有1和它本身两个因数;合数至少要有3个因数。
最小的素数是2;最小的合数是4;既不是素数也不是合数的正整数是1.
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数。
分解素因数常用的方法有:
树枝分解法、短除法、口算法等。
【精解名题】
例题1
下列算式中,被除数能被除数整除的是(D)
A.25÷4B.25÷0.5C.2.5÷5D.5÷5
整除有“3整1零”
例题2
12÷4=3,下列说法不正确的是(D)
A.12是4的倍数B.4是12的因数C.4是12的约数D.12是倍数
倍数和因数是相互依存的,绝对不可以单独说谁是因数谁是倍数。
例题3
下面哪些数能被2整除?
哪些能被5整除?
哪些能同时被2和5整除?
35、85、60、108、321、1234、2010
能被2整除:
60、108、1234、2010
能被5整除:
35、85、60、2010
能同时被2和5整除:
60、2010
例题4
下列数中,哪些是奇数?
哪些是偶数?
13、24、37、10、9、123、88、0、345
奇数:
13、37、9、123、345
偶数:
24、10、88、0
例题5
两个2位数的积是216,这两个数的和是多少?
两数相乘得216,说明这两个数都是216的约数。
那么,216的约数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216
只有12×18是两个2位数,所以这2个数就是12和18,它们和是30.
例题6
除式21÷5=4……1,如果除数不变,要使这个除式成为整除,那么被除数至少增加4,这时候商为5.55551+?
线段图解
方法提炼:
若a÷b=c……2,其中a、b、c都是正整数,且a>b,如果除数b不变,要使此除式整除,则被除数至少要加b-2,这时商为c+1。
例题7
1到100之间,因数个数是奇数的自然数有哪些?
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100
都是平方数。
注:
一个数的因数都是成对出现的,因数的个数出现奇数的情况是:
它有两个相同的因数。
先举例让学生自己发现解题方法。
【应用题精讲】
1.三年级共有75名学生参加春游,交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元,求每位学生最多可能交多少元?
解:
先求出满足条件的最大五位数。
75=25×3,则这个五位数是25和3的倍数。
因为是25的倍数,所以十位为7或2,设千位为x,
如十位为7,则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9,得此五位数为29775;
如十位为2,则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8,得此五位数为28725。
所以,满足题意的最大五位数为29775。
29775÷75=397(元),
即每位学生最多可能交397元。
2.小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件,可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”,“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同),你能帮他算出这两个数字吗?
解:
“*679.*”能被72除尽,则“*679*”应是72的倍数。
72=8×9,先考虑8,末三位数字79*应满足被8整除,所以十分位数字是2;考虑9,已知数字之和是6+7+9+2=24,所以原数的千位上应是3,即这两个数字分别是3和2。
3.有三个连续的四位数,它们的和也是四位数,并且是3333的倍数,求中间那个数可能的最小取值。
解:
设中间的数为a,则另外两个数是(a-1)和(a+1),所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数,那么a是1111的倍数,又3a<10000,所以a≤3333,所以a可取1111、2222、3333。
所以。
取可能的最小的值为1111。
4.一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时,这个整数可以被7整除吗?
请证明你的判断。
解:
设末三位数字组成的数为m,末三位以前数字组成的数为n,则m-n=7d(d为整数),即n=m-7d,原数为m+1000n=m+1000×(m-7d)=1001m-7000d,1001=13×11×7,7000d=7×1000d,所以原数是7的倍数。
5.小明有一些数字卡片,现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张,任选4张,能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数,它能组成几种呢?
解:
75=3×5×5,
要被75整除,必可被3整除,所以有4、5、7、8,2、4、7、8和2、4、5、7三种选法;
又要被25整除,所以未两位为25或75,所以排除2、4、7、8的选法。
则4、5、7、8的选法有2种组合,2、4、5、7的选法有4种组合,所以共可组成6种符合要求的四位数。
【巩固练习】
1.能被5、4、3整除的最大四位数是( )。
2.在5、46、2、15、18、47、30、210中,
(1)能被2整除的有( )。
(2)能被3整除的有( )。
(3)能被5整除的有( )。
(4)能同时被3、5整除的有( )。
(5)能同时被2、3、5整除的有( )。
3.有一个能同时被2、3、5整除的数,已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12,那么,这个数的个位上的数字是( )。
4.1~100内,所有不能被3整除的数的和是( )。
5.能被3整除的最小三位数是( )。
6.在150以内,一个数除以18和12,正好都能整除,这个数最大是( )。
7.上课时,小丸子的老师告诉大家:
“数字中存在这样一些四位数,将它从中间划分成前后两个两位数时,前面的数能被4整除,后面的数能被5整除。
而这个四位数本身还能被7整除。
”小丸子通过一系列计算知道了所有这样的四位数中最小的一个,那么它应该是( )。
8.一个两位数或三位数,是11的倍数,且它的各位数字和为17,这样的数最大是( )。
9.在1~1040间选出一些数,使任意两数之和是34的整数倍,最多可选( )个。
10.若质数,m、n满足5m+7n=129,则m+n=( )。
(河北省竞赛题)
11.在853后面补上3个数字组成一个六位数,使这个六位数能同时被
3,4,5整除。
这样的六位数中最大的是多少?
12.判断34101能不能被7或11或13整除。
13.由4,5,6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数?
14.在内填上适当的数,使29能被2,3,5整除。
15.五位数2A10B能被72整除,这样的五位数有几个?
16.在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
17.一个能被11整除的四位数,去掉它千位数和个位上的数字,是一个能同时被2、5、3整除的最大两位数,符合要求的四位数中最小一个数是?
18.从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
【课后练习】
一、整数
1、下列说法中,错误的是:
()
A.最小的整数是0B.最大的正整数不存在
C.最大的负整数是-1D.最大的自然数不存在
2、最小的正整数是_______,最大的负整数是_________。
3、把下列各数填入相应的横线上:
-3,18,-143,0,5,100.
负整数:
_;正整数:
__;整数:
__.
二、整除
4、下列各组数中,第一个数能被第二个数整除的是:
()
A.4和12B.24和5C.35和8D.91和7
5、除式9÷1.5=6表示()
A.9能被1.5整除B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切
6、28能被a整除,a一定是()
A.4或7B.2、4或7
C.2、4、7、14或28D.1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2,我们就说能被整除或能整除.
8、能整除14的数是。
三、因数和倍数
9、6的因数有()
A.8个B.6个C.4个D.2个
10、6的倍数有()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
11、已知14能整除a,那么a是()
A.1和14B.2和14C.14的因数D.14的倍数
12、下列说法错误的是()
A.一个数的因数的个数是有限的,最小的是1,最大的是它本身
B.一个正整数的倍数的个数是无限的,最小的是它本身
C.12在100以内的倍数共有10个
D.一个数既是16的因数,又是16的倍数,这个数就是16
四、能被2、5整除的数
13、末位数字是的数一定能被2整除。
14、能同时被2、5整除的数,它的个位上的数必是.
15、能被5整除的最大的两位数是,最小的两位数是.
16、奇数与偶数的积必定是。
17、两个连续自然数的和是。
18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数。
五、素数、合数与分解素因数:
19、在正整数1到20中,奇数有个,偶数有个,素数有个,合数有个。
20、在1、2、9这三个数中,既是素数又是偶数,既是合数又是奇数,既不是素数也不是合数。
21、老师将259本新书平均分给六
(2)班全体同学,你认为六
(2)班有同学位。
课后笔记
巩固练习
答案与解析
1.解:
9960。
[3,4,5]=60,60×166=9960,没有比9960更大的满足条件的四位数了。
2.解:
能被2整除的有46、2、18、30、210,
能被3整除的有15、18、30、210,
能被5整除的有5、15、30、210,
能同时被3、5整除的有15、30、210,
能同时被2、3、5整除的有30、210。
3.解:
0。
能被5整除,个位是5、0;
又能被2整除,则个位只能是0;
又因其他位数字的和为12,所以肯定能被3整除。
4.解:
3367。
1~100内,能被3整除的数之和为:
3+6+…+99=(3+99)÷2×33=1683。
而1+2+…+100=5050,所以不能被3整除的数之和为:
5050-1683=3367。
5.解:
能被3整除的三位数要求个位、十位、百位的数字之和能被3整除,这样的数最小是102。
6.解:
最小能同时整除18和12的数是36,只要150之内是36的倍数就符合条件,最大的为144。
7.解:
能被4整除的两位数最小为12,能被5整除的数个位是0或5,因此这样的四位数为12□0或12□5,又能被7整除,估算可知这个数是1225。
8.解:
若是两位数,必为“XX”型,2X=17。
则X=8.5,舍去;
如为三位数“abc”,则a+c-b=11,又a+b+c=17,
得b=3,a+c=14,
“最大为9,此时c=5,所以935为所求。
9.解:
①若每一个数均为34的整数倍,则任意两数之和也为34的整数倍。
都选34的倍数,有[1040÷34]=30(个),
②若每一个数均为17的奇数倍,则任意两数之和必为17的偶数倍,即34的整数倍,选34的整数倍加17,有[(1040-17)÷34]+1=31(个),
方法②最多,有31个。
10.19或25
11.解题思路:
因为3,4,5两两互质,所以853□□□末两位可以是20,40,60,80,00,再根据能被3整除的数的特征,8+5+3+9+8+0=33,这个数最大是853980。
解:
这样的六位数中最大的是853980。
做练习题。
12.解题思路:
根据能被7,11,13整除的数的特征,用末三位101减去末三位前面的数34,即101-34=67,看这个差能不能被7、11、13整除就可以判断出34101能不能被7、11、13整除。
解:
101-34=67
67不能被7整除,所以34101不能被7整除。
67不能被11整除,所以34101不能被11整除。
67不能被13整除,所以34101不能被13整除。
13.解题思路:
卡片6可以看成9,所以能被2整除的有564,654,594,954,456,546。
解:
6个。
14.解题思路:
要使29能被2,3,5整除,这个四位数就要同时具备能被2,3,5整除的数的特征。
能同时被2和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0,因此个位上的里填0。
再考虑百位上的数字是多少,即各位上的数字和能不能被3整除,也就是2++9+0的和能被3整除,那有几种呢?
解:
个位上的填0;
百位上的填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
做练习题。
15.解题思路:
因为72=8×9,且8和9互质,这个数必须同时能被8和9整除。
要能被8整除得看末三位,B必须是4;当个位是4时,千位上必须是2(因为2+2+1+0+4=9),所以符合条件的只有1个,即22104。
解:
要使2A10B能被72整除,B=4,因为2+2+1+0+4=9,所以A=2。
16. 解:
如果56□2能被9整除,那么5+6+□+2=13+□应能被9整除,
所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
17.解:
1903
能同时被2、5、3整除的最大两位数是90。
能被11整除的数的特征是奇数位与偶数位上的数字差能被11整除。
要最小,千位取1,个位取3。
18.解:
因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
【课后作业】
一、整数
1、下列说法中,错误的是:
(A)
A.最小的整数是0B.最大的正整数不存在
C.最大的负整数是-1D.最大的自然数不存在
2、最小的正整数是___1____,最大的负整数是____-1_____。
3、把下列各数填入相应的横线上:
-3,18,-143,0,5,100.
负整数:
_-3_-143;正整数:
_18_5_100;整数:
_-318_-143_05_100_.
以上3题考察学生对整数的概念和分类的掌握程度。
由:
正整数
整数零自然数
负整数
可知,没有最大和最小的整数,所以第1题应选A。
第2题可以将整数在数轴上列出,0左边就是-1,右边就是1,所以最小的正整数是1,最大的负整数是-1。
第3题要注意0的归属,0非正非负,但是是整数。
二、整除
4、下列各组数中,第一个数能被第二个数整除的是:
(D)
A.4和12B.24和5C.35和8D.91和7
5、除式9÷1.5=6表示(C)
A.9能被1.5整除B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切
6、28能被a整除,a一定是(D)
A.4或7B.2、4或7
C.2、4、7、14或28D.1、2、4、7、14或28
7、18÷9=2,我们就说18能被9整除或9能整除18.
8、能整除14的数是1、2、7、14。
以上4题考察同学对整除的理解。
第4题需要分清“……能被……整除”和“…能整除…”的概念,若将题目改成“下列各组数中,第一个数能整除第二个数的是”,就得选A了。
第5题考的是“……能被……整除”、“…能整除…”、“除尽”的概念,整除必须满足“3个整”——被除数、除数和商都是整数,而除尽只要“余零”就可以了。
第6题必须不缺不漏地把能整除28的数找出来,方法有2种:
除式和乘式。
找一个数的因数时也可以用这两种方法。
第7题,纯概念题。
第8题,同第6题。
三、因数和倍数
9、6的因数有(C)
A.8个B.6个C.4个D.2个
10、6的倍数有(D)
A.1个B.2个C.3个D.无数个
11、已知14能整除a,那么a是(D)
A.1和14B.2和14C.14的因数D.14的倍数
12、下列说法错误的是(C)
A.一个数的因数的个数是有限的,最小的是1,最大的是它本身
B.一个正整数的倍数的个数是无限的,最小的是它本身
C.12在100以内的倍数共有10个
D.一个数既是16的因数,又是16的倍数,这个数就是16
以上4题考察因数和倍数的掌握程度
第9题考察学生是否能正确找出6的所有因数:
1、2、3和6,共4个。
第10题考倍数的性质,一个整数的倍数有无数个。
第11题考点有2:
1是“能整除”,2是倍数的概念。
第12题,根据求倍数的方法,可以发现100以内12的倍数应有8个,因为12×8=96.
四、能被2、5整除的数
13、末位数字是0、2、4、6、8的数一定能被2整除。
14、能同时被2、5整除的数,它的个位上的数必是0.
15、能被5整除的最大的两位数是95,最小的两位数是10.
16、奇数与偶数的积必定是偶数。
17、两个连续自然数的和是奇数。
18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数30、60、90。
以上5题考察2和5的倍数判别程度。
第13题是纯概念题。
可把2换成5再考同学一遍.
第14题,能被2整除的数,末位0、2、4、6、8;能被5整除的数,末位5或0;那么同时满足两个条件的就是末位是0的数。
第15题需要明白最大两位数是99,最小两位数是10,据此搜索出想要的数。
可将5换成2再考同学一遍。
第16、17题,同学需掌握,偶数×任何数=偶数;奇数+偶数=奇数。
可引申为多个数乘或加。
五、素数、合数与分解素因数:
19、在正整数1到20中,奇数有10个,偶数有10个,素数有8个,合数有11个。
20、在1、2、9这三个数中,2既是素数又是偶数,9既是合数又是奇数,1既不是素数也不是合数。
21、老师将259本新书平均分给六
(2)班全体同学,你认为六
(2)班有同学37位。
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- 六年级 数学 第一章 整数 整除 练习 教案