从数学测量到测量数学的研究.docx

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从数学测量到测量数学的研究

全国第七届初等数学研究学术交流会大会报告论文

从数学测量到测量数学的研究

（湖南师范大学数学与计算机科学学院，湖南长沙410081）

沈文选

高考是一种重要的教育测量方式，高考是一项偏重于考查能力的选拔性测量.选拔性测量不仅要判断、评价被测试者是否达到某种水平，而且要按照选拔的标准和选拔人数，从水平较高及相近的被测试群体中挑选出最佳人选.在高考中，由于数学学科的特殊地位，高考数学测量是人们最为关注的一种数学测量.特别是在进行高考内容和形式的改革研究中，提出了要加强对能力和素质的考查宗旨，因而，高考数学测量成为人们更关注的焦点，成为研究的重点课题之一.

经过多年的努力，人们对数学测量理论与实践体系进行了较深入的探讨，不仅研究了数学测量的意义、目的、性质与理论基础，数学测试题的类型与特点，测量内容的范围与要求，考试设计与测量评价等等[1]；还通过一年一度的高考实践，检验其测量理论，并运用统计学理论将其度量化（如信度、效度、区分度等）来完善其体系.

1形势的发展，给高考数学测量提出了新的挑战

数学是一门思维的科学，是培育理性精神的主要园地.在基础教育中，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维与精神，打好数学基础并培养提高数学能力.

高考数学测量，就是要测试被测者必备的数学基础和一定的数学能力（特别是学术倾向能力）.数学知识的积累和数学技能的掌握是最重要的数学学习目标，是解决一切问题的基础，因此数学知识和技能及所形成的各种能力是数学测量目标的主体结构.与知识内容密切相关的是数学思想方法，数学本身就是具有方法论意义的学科，各种方法具有普遍意义，因而数学思想方法也是数学测量的重要目标.

当前，数学及数学教育的研究不断深入，并出现许多新的观点、思想，如张景中院士的“教育数学”思想的提出，又如计算机正改变数学面貌的观点等，使得人们对数学的认识也发生了深刻的变化.世界范围的数学教育正在出现新的发展趋势，我国的基础教育也开始了新一轮的课程改革，评价理论和测量理论也汇聚了新的研究成果.所有这些都对我国的数学高考测量改革产生了积极影响，要求我们在新的理论指导下，研究新的命题理论，创新试题设计.

在高考数学测量中，如何适应新的形势，突出思维模式、思维容量和思维层次的考查中更好地体现如上目标与要求就成为一种新的挑战.

2迎接高考数学测量的新挑战提出了新的研究课题

为了全面推进素质教育，实现评价制度的改革，数学测量的内容应注意在考查知识的基础上注重考查能力，考查被测者在新的情景中运用基础知识的能力，试题的解答有一定的开放度，提倡发散性思维和创新精神，降低测试题的绝对难度，从试题的能力要求上体现区分度.在这种思想的指导下，数学测量的命题理念要发生质的变化，从知识立意转向能力立意。

数学测量中的试卷和试题也要发生深刻的变化：

突出能力立意，创设新的情景，结合双基考查能力，试题条件结论开放，拓展被测者思维空间，提供新的信息，考查被测者获取信息、加工信息的能力，淡化知识结构的完整性和系统性，不强调知识点的覆盖率，减少运算量，降低试题数学内容的难度，让计算器进入数学测试等.因而测量内容的知识量、运算量、推理量、思维量都应研究出科学依据。

这是测量内容科学性的量度课题.

一道试题如何体现对数学思想方法及综合能力的测量，也是有文章可作的.例如，客观型试题虽以考查数学基础知识、基本技能为主，但对数学思想和方法的考查也要蕴含其中；解答题不仅要更深刻地体现对数学思想和方法的测量，还要能对数学综合能力进行测量.这是测量内容科学性的角度课题.

数学学科中的能力主要包括：

思维能力、运算能力、空间想象能力、学习新的数学知识的能力、探究数学问题的能力、运用数学知识解决实际问题的能力、数学创新能力等【2】.这些能力的测量都是以各种各样的数学问题来体现的.例如，体现学习能力型问题，就包括概念学习型、定理（公式）学习型、方法学习型等问题；体现探究能力型问题，就包括探究规律型、判断存在型、判断真假型、结论开放型、追溯条件型等问题；体现应用能力型问题，就包括简单应用型、数学建模型等问题；体现创新能力型问题，就包括类比发现型、拓展推广型、设计构造型等问题。

如此，这一些都是测量内容科学性的维度课题.

当然,测量问题对能力的测量应以测量逻辑思维能力为核心，全面测量各种能力，强调综合性、应用性，切合被测者实际。

运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算.对运算能力的测量，随着学习年段增加，逐步以含字母的式的运算为重点，同时也要兼顾算理和逻辑推理的测量.空间想象力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图象的变换都要注意与推理相结合.分析问题和解决问题的能力是上述三种基本数学能力的综合体现.各种能力要求在测量中的地位是相同的，可以用不同的材料，通过不同的形式测评.由于各种能力因素是有内在联系的，这种联系在测量问题表现为一道问题可能有多种能力要求.这些是测量内容科学性的梯度课题.

总之,一道试题如何体现能力立意、如何体现量度、角度、维度、梯度等都是有深刻的内涵的，这就需要我们运用教育学、心理学、数学测量学的理论来对数学问题进行改造.同样的空间形式、同样的数量关系，可以用不同的数学命题，可以设计不同的提问方式，以不同的测量目标来反映。

这是测量内容科学性的呈现课题.

除上述之外,对我国文化大革命结束恢复高考30年以来，从所命制的高考数学试题的情况来看，或多或少地出现了这样或那样的不足，这也给高考数学测量提出了如何改进的问题.这是测量内容科学性的实践检验课题.

综上，形势的发展，迎接高考数学测量的新挑战提出了一系列的研究课题，这些课题我们可以归纳到数学内容研究的范畴，这也就是提出了研究测量数学的新课题.

3关于测量数学的几点认识

3.1什么是测量数学

笔者认为，应当从数学测量这个大系统的全局需要，来提出对数学测量的数学内容、体系的要求，诚如人们认识“从数学应用到应用数学”、“从数学计算到计算数学”、“从数学教育到教育数学”一样，亦有“从数学测量到测量数学”的历史发展的必然性.因而“测量数学”研究课题的提出是水到渠成的事情.

测量数学就是为了更科学地进行数学测量，而对测量内容进行深入地研究，创造或进行再创造出数学测量中的数学内容，使得这些数学内容更科学、更合理、更能体现数学的本质、体现数学的理性精神与数学思想方法，体现数学的求简、求美追求等.因而，测量数学也是教育数学研究中的一个重要方向.

美国学者怀尔德（R·Wilder）在讨探数学发展的动力时，提出了：

与生物的进化相类似，数学的发展也是由其内在力量（即已有的数学工作及数学传统对于进一步研究的影响）和外部力量共同决定的，并称这两种力量分别为“遗传力量”和“环境力量”.3】

如果说，高考数学测量理论为测量数学的提出与发展提供了环境力量的话，那么为了测量数学的发展，我们首先应发掘其遗传力量，其次应探讨测量数学的内容体系与特点.

如何发掘其遗传力量？

什么叫更科学、更合理？

应当有具体的内涵。

笔者认为，除了对测试题的命制方法进行深入研究之外，还应对测试题的命制原则进行深入地研究，以及对测量内容的科学性量度、呈现、标志、实践检验等进行深入地探讨.为了深入地、系统地探讨这些问题，笔者认为，可从已命制出的大量高考测试题中总结经验教训，并以测量数学研究的观点进行探讨。

有了一定的研究基础之后，再探讨测量数学的理论体系的建立与完善.

3.2研究测量数学的着眼点

数学测试题的命制是数学测量的中心环节，也是测量数学研究的主体。

如何将数学材料改造或创造成为成功的数学测试题.这又可以从哪些方面着眼呢？

3.2.1着眼于数学本质、数学理性精神的呈现

数学测量试题应呈现数学本质、数学理性精神，这是理所当然的。

这是命题人员高度关注的重要方面.下面的一道试题是对数学本质、数学理性精神呈现得比较好的一个例子.

例1（2004年高考浙江卷）已知平面上

三点满足

则

的值等于.

此题考查了平面向量数量积的计算方法，突出了对运算技能的考查。

题中涉及内容体现了平面向量的本质特征，各种求解思路体现了数学的理性精神.

由于向量具有“数”与“形”的双重身份，因此其运算形式丰富多彩，独具魅力.向量的符号语言和坐标语言沟通了向量与实数之间的联系，而向量的线性运算及数量积的运算性质为解决该题提供了保证.求解此题有多种方法.方法的多样性体现了对运算能力的考查中包含对思维能力的要求和对思维品质的考查，其中有的思路可巧用对称性，不仅能简化运算，揭示问题的本质，还可以激发学生学习数学的兴趣和培养学生对数学美的感受.

3.2.2着眼于数学思想、方法的贯通

数学测试题对数学思想和方法的渗透是以知识为依托，以能力为目的，贯穿于整份试卷之中的，每道试题也都要蕴含不同层次的要求.特别是在大题中，应对某些典型数学思想或方法进行贯通.

例2（2006年高考全国卷）设

是椭圆

短轴的一个端点，

为椭圆上的一个动点，求

的最大值.

此题是一个以解析几何为素材求最值的问题.我们知道，求最值的方法较多，有几何法和代数法，而代数法中又可以用初等函数的方法、求导的方法、使用平均值定理的方法，等等.实际上，无论使用什么具体的方法，都是对函数求最值，因此可以认为求最值的问题都可以归结为函数问题，是函数思想的集中体现.

此题表面上看是一个解析几何综合题，实际上所用解析几何的知识较少，完全是一个函数题，是二次函数求最值的的问题.题目中没有给出函数，而需要列出函数解析式，然后再研究函数的有关性质，这是函数思想的本质.

3.2.3着眼于对数学能力的深究

数学测量中对数学能力的深究常体现于对思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新意识等方面.对能力的深究要求被测者能够将能力要素进行有机的组合.因此，在试题设计中，要重视对问题信息的配置，使问题能从不同角度、运用不同的途径得到解决.在解决中不仅要提取试题中的有关信息，还要将脑中储存的信息联系起来，进行加工、组合，通过分析和综合，了解事物的状态、性质、特点、本身的意义，发生和发展的过程，与其他事物的关系，还包括预测事物的发展趋势。

因此这包括观察能力和记忆能力，还包括其他一些能力的综合运用.

能力要素之间存在着内在的联系，这种联系反映在试题上就表现为一道试题可能有多种能力要求，因此数学测量对能力的深究可强调综合测试，在测试思维能力时经常与运算能力结合考查，通过具体的计算推导或证明问题的结论.在计算题中也可较多地融入逻辑推理的成分，边推理边计算。

综合测试能力所使用的素材可以是代数、三角，也可以是立体几何、解析几何.在知识网络的交汇处设计试题往往更能体现对能力综合测试的要求，往往也能体现对处理问题的灵活性和机敏性有一定的测试要求.此外，在熟练运用数学语言、符号、图表、图形、表述解题过程和解答结果等方面，也要有一定程度的测试要求.

3.2.4着眼于逻辑结构的调整

检测逻辑思维能力是数学测量的重点之一，所以把握测量数学的逻辑分寸也是极关重要的.这方面的经验教训也有不少.

张景中院士在探讨教育数学的优劣标准时，首先就提出了“逻辑结构越简单越好”[4].因此，笔者认为，把握测量数学的逻辑要求应注意到：

推理步骤（即逻辑锁链环节）总数要少，推理路径要多（即呈放射型逻辑结构）而短，推理过程“宽度”（即涉及知识的纵深度）适度.

3.2.5着眼于对数学美的追求

数学美是一种科学美，美的因素丰富多彩，美的内容含义深刻。

只有形式美、内涵美的测试题目，才能更有效地使被测试者进行观察、记忆、思维、想象等，从而提高他们的各方面的数学素养.而提高数学素养，发展数学能力正是数学测量的重要功能之一.这是因为，当一个人接受某种命令，为完成某项任务，而十分专注地从事某项极有意义的，使之在感兴趣的研究活动时，利用美的启示，来认识美的形式或结构，发掘美的因素，追求美的结果，发挥美的潜意识作用，因而他的思维最为活跃，能力最易得到提高.

数学测试题的和谐深厚含蓄美，新颖精巧奇妙美令人心广神怡，精神振奋，让人茅塞顿开，独有情钟，使人留连忘返，苦心钻研.

例3（2004年高考湖南卷）设

是椭圆

的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点

，使

组成公差为

的等差数列，则

的取值范围为.

这是一道解析几何与数列的综合题，解析几何中涉及与椭圆的焦半径有关的内容和求法以及焦半径的最大、最小值；数列中主要是等差数列的概念、公差及通项.本题所涉及的知识内容并不复杂，但从审题开始，理解符号的意义，到确定首尾两项以及数列的增减性都有一定的审美思维要求.本题考查了阅读理解的能力、转化的能力、数学审美能力以及综合分析问题和解决问题的能力.

这道题的答案也体现了对称美，要求考生对数学美有较高领悟.

如果再追寻一下本题的数学背景和数字背景，可让我们体验到含蓄美、奇妙美的感受.

这道题有其和谐深厚的数学本质，它隐含有椭圆的如下特性：

椭圆

（包括长轴端点），这些点在长轴上的射影为

，点

是椭圆的一个焦点，那么

成等差数列的充要条件是

值得指出的是，对于双曲线，抛物线也同样有这个特性.

以上，谈了笔者的一些见解，供参考，欢迎批评指正！

测量数学这是数学花园中的一株小苗，愿我们来精心培育，让它茁壮成长吧！

参考文献

[1]教育部考试中心.高考数学测量理论与实践[M].北京：

高等教育出版社，2007

[2]奚定华等.高中数学能力型问题[M].上海：

上海教育出版社,2005：

3-8.

[3]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：

四川教育出版社，2001：

131.

[4]张景中，曹培生.从数学教育到教育数学[M].北京：

中国少年儿童出版社，2005