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新版二次函数复习试题
二次函数复习二
一、选择题
1.(2014广州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( )
A.函数有最小值B.对称轴是直线x=
C.当x<
,y随x的增大而减小D.当﹣1<x<2时,y>0
1题图2题图3题图
2.(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:
①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),
其中正确结论的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,有下列结论:
①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
4.(2014•新疆)对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是( )
A.
开口向下
B.
对称轴是x=﹣1
C.
顶点坐标是(1,2)
D.
与x轴有两个交点
5.(14•舟山)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( )
A.
B.
或
C.
2或
D.
2或﹣
或
6.(2014•孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为( )
A.个B.2个C.3个D.4个
7.(2014·台湾)已知a、h、k为三数,且二次函数y=a(x﹣h)2+k在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能为下列何者?
( )
A.1B.3C.5D.7
6题图7题图
8.(2014•浙江宁波)已知点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()
A.
(﹣3,7)
B.
(﹣1,7)
C.
(﹣4,10)
D.
(0,10)
9.(2014•菏泽)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()
A.
B.
C.
D.
10.(2014•济宁)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:
若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( )
A.
m<a<b<n
B.
a<m<n<b
C.
a<m<b<n
D.
m<a<n<b
11.(2014泰安)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论:
(1)ac<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
12(2014年山东泰安)已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m<n)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=
的图象可能是( )
ABCD
二.填空题
1(2014年云南)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 .
2.(2014•浙江湖州)已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=
x2+mx对应的函数值分别为y1,y2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y1<y2<y3,则实数m的取值范围是 .
3(2014•株洲)如果函数y=(a﹣1)x2+3x+
的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 .
4(2014年江苏南京)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y<5时,x的取值范围是 .
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a﹣2b+c的值为 .
(第5题图)6题图
6(2014菏泽)如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=
(x≥0)与y2=
(x≥0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则
=_______.
三.解答题
1.(14宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
2.(2014•滨州)已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.
3.(2014年江苏南京)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:
不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
4.(2014•泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB=
(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.
(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?
(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?
5.(2014•舟山)实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?
最大值为多少?
②当x=5时,y=45,求k的值.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:
00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:
00能否驾车去上班?
请说明理由.
6.(2014年四川资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的
,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在
(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?
并求最大利润.
7.(14泉州)如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+
的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
8.(14安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
9.(14泉州)如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.
(1)已知:
DE∥AC,DF∥BC.①判断:
:
四边形DECF一定是什么形状?
②裁剪:
当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索:
如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;
(2)折叠
请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.
10.(2014贺州)二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,
);点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是
(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:
FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
11.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
(1)求线段DE的长;
(2)设过E的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2),试判断当|x1﹣x2|的值最小时,直线MN与x轴的位置关系,并说明理由;
(3)设P为x轴上的一点,∠DAO+∠DPO=∠α,当tan∠α=4时,求点P的坐标.
参考答案
一选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
D
C
C
C
D
D
A
A
B
C
二、填空题:
1
2
3
4
5
6
(1,2)
m>﹣
.
a<﹣5
0<x<4
0
3﹣
三、解答题:
1.解:
(1)y=
x2﹣
x﹣1;
(2)D(﹣1,0);(3)﹣1<x<4
2.解:
(1)C(2,﹣1),当x≤2时,y随x的增大而减少;当x>2时,y随x的增大而增大;
(2)S△ABC=
AB×CD=
×2×1=1
3.解
(1)证明:
∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=﹣12<0,
(2)解答:
y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,
沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
4.解:
(1)yB=
(x﹣60)2+100,yA=﹣20x+1000;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是164℃;
(3)当0<x<40时,yA﹣yB=﹣
(x﹣20)2+100,
∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃
5.解:
(1)①y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200,
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);
②k=225;
(2)不能驾车上班;
理由:
∵晚上20:
00到第二天早上7:
00,一共有11小时,
∴将x=11代入y=
,则y=
>20,
∴第二天早上7:
00不能驾车去上班。
6.解:
(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,
由题意得,
,
所以,不等式组的解集是11≤x≤15,∵x为正整数,
∴x可取的值为11、12、13、14、15,所以,该商家共有5种进货方案;
(2)设总利润为W元,
y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,
则W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2,
=1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x)=30(x﹣9)2+9570,
当x>9时,W随x的增大而增大,
∵11≤x≤15,∴当x=15时,W最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元),
答:
采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元.
7.解:
(1)抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)A′点的坐标为(1,
),
∴点A′为抛物线y=﹣
(x﹣1)2+
的顶点.
8.解:
(1)略
(2)y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1.y2=5x2﹣10x+5.
当0≤x≤3时,y2的最大值为20.
9.解:
(1)①∵DE∥AC,DF∥BC,∴四边形DECF是平行四边形.
②在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大.
(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.理由:
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
10.
(1)二次函数的解析式为y=
x2;
(2)证明PF=PM,
(3)解:
当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,
∴∠FMH=30°,在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,
∵PF=PM=FM,∴
x2+1=4,解得:
x=±2
,∴
x2=
×12=3,
∴满足条件的点P的坐标为(2
,3)或(﹣2
,3)。
11.解:
由抛物线y=﹣x2+2x+3可知,C(0,3),
令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得:
x=﹣1,x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0);
∴顶点x=1,y=4,即D(1,4);∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得;
,解得
,
∴解析式为;y=﹣x+3,当x=1时,y=﹣1+3=2,
∴E(1,2),∴EF=2,∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2.
(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,
∵E(1,2),∴2=k+b,∴k=2﹣b,
∴直线MN的解析式y=(2﹣b)x+b,
∵点M、N的坐标是
的解,
整理得:
x2﹣bx+b﹣3=0,
∴x1+x2=b,x1x2=b﹣3;
∵|x1﹣x2|=
=
=
=
,
∴当b=2时,|x1﹣x2|最小值=2
,
∵b=2时,y=(2﹣b)x+b=2,
∴直线MN∥x轴.
(3)如图2,∵D(1,4),
∴tan∠DOF=4,
又∵tan∠α=4,
∴∠DOF=∠α,
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α,
∵∠DAO+∠DPO=∠α,
∴∠DPO=∠ADO,
∴△ADP∽△AOD,
∴AD2=AO•AP,
∵AF=2,DF=4,
∴AD2=AF2+DF2=20,
∴OP=19,
∴P1(19,0),P2(﹣17,0).
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