哈尔滨工程大学数字信号处理实验2.docx
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哈尔滨工程大学数字信号处理实验2
哈尔滨工程大学
实验报告
实验名称:
数字信号处理
班级:
学号:
姓名:
实验时间:
2015.9.21
成绩:
________________________________
指导教师:
________________________________
实验室名称:
数字信号处理实验室
哈尔滨工程大学实验室与资产管理处制
实验二离散时间傅里叶变换
实验要求
理解数值计算在离散时间傅里叶变换(DIFT)zh哦那个的应用。
实验原理
经由正、逆离散时间傅里叶变换表达的傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分,下面是分析方程与综合方程。
由以上公式知,离散时间傅里叶变换是w的周期复值函数,周期是
,并且基周期常选为[-
].对离散时间傅里叶变换有两个问题:
(1)DTFT的定义对无限长信号是有效的。
(2)DTFT是连续变量的
函数。
对于第一个问题,我们不可能使用MATLAB计算无限长信号的DTFT。
有一个值得注意的例外情形,当能从变换定义式推导出解析式并只是计算它时,可以使用MATLAB计算无限长信号的DTFT.
第二个问题是频率抽样问题。
Matlab擅长在有线网格点上计算DTFT。
通常选择足够多的频率以使绘出的图平滑,逼近真实的DTFT。
对计算有利的最好选择是在(-π,π)区间上一组均匀的隔开的频率,或者共轭对称变换选择【0,π】,采用上述抽样方法,DTFT式变为
在对DTFT进行抽样时,并不要求N=L,尽管通常由DFT进行计算时,如果N=L计算很方便。
DTFT的计算
Dtft函数如下
Function[H,W]=dtft(h,N)
%usage:
%[H,W]=dtft(h,N)
%h:
finite-lengthinputvectorwhoselengthisL
%N:
numberoffrequenciesforevaluationover[-pi,pi)
%==>constraint:
N>=L
%H:
Dtftvalues
实验内容
1.设矩形脉冲r[n]由下式定义
a.证明r[n]的DTFT可由下面的数学表达式得出
该变换的第一项时常具有与DTFT相关的特殊形式,称为混叠sinc函数:
证明过程如下:
L=30;
n=0:
L;
y=ones(1,12);
[X,W]=dtft(y,72);
subplot(311),plot(W,real(X));
xlabel('W'),ylabel('real(H1)')
xlabel('W'),ylabel('|H1(w)|');
grid,title('realpart')
subplot(312),plot(W/2/pi,imag(X));xlabel('W'),ylabel('img(H1)')grid,title('imagepart')
subplot(313),plot(W/2/pi,abs(X));grid,title('fudu')
xlabel('W'),ylabel('|H1(w)|');
然后对R作图
n=-pi:
0.01*pi:
pi;
L=12;
r=asinc(n,L).*exp(-j*n*(L-1)/2);
subplot(211);plot(n,abs(r));
gridylabel('|r|');
gtext('w')n=0:
12;
r=ones(12,1);
[X,W]=dtft(r,72);
subplot(212);
plot(W,abs(X));
ylabel('|x|');
gtext('w');
两者得到的图像类似,所以命题得证
b.使用dtft函数计算12点脉冲信号的DTFT。
绘出在区间-π≤ω<π上对ω的DTFT。
把实部和虚部分开绘出,但是注意这些图不是很有用。
另绘出DTFT的幅度(参见MATLAB中的abs函数)。
选择频率样本的数量是脉冲长度的5到10倍,以使绘出的图看上去平滑。
用不同数量的频率样本做实验。
用不同数量的频率样本的频率样本做实验。
绘图时,要注意正确的标注频率坐标轴的变量。
nn=0:
11;
u=ones(1,12);
[X,W]=dtft(u,72);
subplot(221),plot(W,abs(X));
grid,title('MAGNITUDERESPONSE')
xlabel('NORMALIZEDFREQUEBCY'),ylabel('|H(w)|')
xlabel('NORMALIZEDFREQUENCY'),ylabel('DEGREES')
title('PHASERESPONSE')
subplot(222),plot(W,180/pi*angle(X));grid
subplot(223),plot(W,real(X)),title('REALPART');
subplot(224),plot(W,imag(X)),title('IMAGEPART');
将频率更换为48和108
未观测到明显变化
c.注意asinc函数零点位置是规则分布的。
对奇数长脉冲,比如L=15的脉冲重复进行DTFT计算并绘出幅度;再次检验零点位置,注意峰值高度。
nn=0:
14;
u=ones(1,15);
[X,W]=dtft(u,120);
[Y,W]=dtft(X,120);
subplot(111),plot(W,abs(Y));
grid,title('MAGNITUDERESPONSE')
xlabel('FREQUENCYW'),ylabel('|H(w)|')
d.对asinc函数零点的间距与asinc函数的直流值,确定出通用规则
A中得到的直流值为12而零点间距是pi/6,所以通用规则是两者之积是定值2pi.
2.Asinc的M文件
编写一个MATLAB的函数如asinc(w,L),直接从定义式计算在频率格上的asinc(ω,L).该函数应该有两个输入:
长度L和频率w的向量。
函数必须检查被零除的情况,如ω=0的情况。
直接计算混叠函数得到脉冲函数的DTFT。
绘出幅度,保存该图以便讲其与用dtft得到的结果进行比较。
Asinc函数的M文件如下:
functiony=asinc(w,L)
N=length(w);
fori=1:
N
ifw(i)==0
y(i)=L;
else
y(i)=(sin(1/2*w(i)*L))/sin(1/2*w(i));
end
end
End
程序如下:
L=12;
N=72;
W=(2*pi/N)*[0:
(N-1)]';
W=W-pi;
H=asinc(W,L);
plot(W,abs(H));
grid,title('MAGNITUDERESPONSE')
xlabel('NORMALIZEDFREQUENCY'),ylabel('|H(W)|')
经过观察,发现幅值图像与dtft得到的图图像类似,
3.无限长信号的DTFT
通常,不可能计算一个无限长信号的DTFT。
但是有一个重要的类型,其计算是容易的。
这一类型的信号就是指数信号,其DTFT是
的有理函数。
指数信号h[n]
是这类信号中的一员,但是对它不能使用前边的dtft函数来处理。
另一方面,很容易推导出它的DTFT表达式:
若|a|<1,有
使用
的有理形式,容易计算这个DTFT的一组样本频率样本。
在一组离散频率上计算分母函数,然后去除为常数1的分子。
这一计算方法可推广用于
的任意有理函数的DTFT。
此外,分子和分母的计算都可以使用FFT,因为二者实际上都是有限长度信号。
因此,计算有理函数等同于做两个dtft函数计算,MATLAB的freqz函数中包含这种频域的计算。
之所以如此命名MATLAB的freqz函数,是因为它可以应用到z变换有理式上。
[HH,WW]=freqz(b.a,N,’whole’)
与dtft类似,freqz有两个输出:
变量数值(HH)和频率格点(WW),第四个输入参数是可选择的,但如果将其设定为whole,则输出变量WW指定频率格点得范围是从ω=0到ω=2π,如果省略带四个参数,频率格点有
区间上等距离的N顶组成
4.指数信号
对于信号x[n]=
使用freqz函数计算其DTFTX(
).
a.对于ω在区间-π≤ω<π上绘出幅度与相位特性。
这需要从freqz返回的[X,W]向量的移位。
解释为什么幅度特性是ω的偶函数,而相位特性是ω的奇函数。
程序文件如下:
a=[1,-0.9];
b=1;
N=500;
[X,W]=freqz(b,a,N);
W=[-pi:
0.1:
pi];
X=freqz(b,a,W);
subplot(211),plot(W,abs(X));
grid,title('fuzhi')
xlabel('W'),ylabel('|X(w)|')
subplot(212),plot(W,angle(X));
grid,title('angle')
xlabel('W'),ylabel('angle')
指数函数的DTFT公式
写出这个函数的幅值和相位,可知这个函数的幅值和相位分别为奇函数和偶函数
b.推算一阶系统的幅度特性与相位特性的表示式。
一阶系统的单位冲击响应表达式为
,由这个表达式可以得到异界系统的幅度特性和相位特性。
幅度的表达式为:
,相位的表达式为:
c.直接以这些表达式来计算幅度特性与相位特性,并于freqz函数计算出的结果相对比。
程序文件如下:
w=-4:
0.05:
4;
y=1./(1-0.9.*exp(-j.*w));
subplot(211),plot(w,angle(y)),grid,title('angle');
xlabel('w'),ylabel('angle');
subplot(212),plot(w,abs(y)),grid,title('fuzhi');
xlabel('w'),ylabel('abs');
与freqz函数得到的图像相对比,图像十分类似。
可以证明指数函数的DTFT形式。
5.复指数信号
如果取(3.15)式中
为复数,则可应用应用相同变换。
这一情形之所以重要是因为由此可更深入了解这个复数的幅度和相位是怎么影响DTFT的。
a.取
对
绘出
用subplot指令将实部和虚部对n绘出双子图。
程序文件如下:
nn=0:
0.1:
30;
z=0.95.*exp(j.*3*pi/11);
y=heaviside(nn);
x=z.*y;
subplot(211),plot(nn,real(x)),grid,title('实部');
xlabel('n'),ylabel('shibu');
subplot(212),plot(nn,imag(x)),grid,title('虚部');
xlabel('n'),ylabel('xubu');
b.再一次取
,计算其DTFT,并对ω绘出幅度,注意作为ω的函数,幅度响应的尖峰应位于何处。
把尖峰位置与
的极坐标形式联系起来。
程序文件如下:
nn=0:
30;
z=0.95.*exp(j.*3*pi/11);
y=heaviside(nn);
x=z.*y;
[X,W]=dtft(x,210);
subplot(111),plot(W,abs(X)),grid,title('幅值');
其尖峰位置在0处
c.如果
的角度变为θ=3π/5,粗略绘出预期的DTFT,并通过对freqz的计算进行绘图来验证。
程序文件如下:
nn=0:
30;
z=0.95.*exp(j.*3*pi/5);
y=heaviside(nn);
x=z.*y;
[X,W]=dtft(x,210);
subplot(111),plot(W,abs(X)),grid,title('幅值');
d.改变幅度,重新绘出其DTFT。
R取4个数值:
r=0.975,0.95,0.9和0.8.注意,当幅度接近1的时候,DTFT幅度尖峰信号的高度和宽度都将改变。
在-3dB测量带宽的数值。
试建立一个联系带宽与r的简单表达式。
程序文件如下:
nn=0:
30;
z1=0.95.*exp(j.*3*pi/5);
z2=0.975.*exp(j.*3*pi/5);
z3=0.9.*exp(j.*3*pi/5);
z4=0.95.*exp(j.*3*pi/5);
y=heaviside(nn);
x1=z1.*y;
[X1,W]=dtft(x1,210);
subplot(221),plot(W,abs(X1)),grid,title('幅值');
x2=z2.*y;
[X12,W]=dtft(x2,210);
subplot(222),plot(W,abs(X2)),grid,title('X2');
[X3,W]=dtft(x3,210);
subplot(223),plot(W,abs(X3)),grid,title('X3');
x3=z3.*y;
x4=z4.*y;
[X4,W]=dtft(x4,210);
subplot(224),plot(W,abs(X4)),grid,title('X4');
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