全等三角形做辅助线倍长中线截长补短课程教案.docx

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全等三角形做辅助线倍长中线截长补短课程教案

全等二角形中常见的辅助线

（一）

适用学科

数学

适用年级

初中二年级

适用区域

人教版

课时时长（分钟）

60

知识点

倍长中线法；截长补短法

教学目标

1•掌握倍长中线法的运用条件

2•掌握截长补短法的运用条件

教学重点

对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用

教学难点

对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用

教学过程

一、复习预习

全等三角形的判定定理：

1、SSS:

三边对应相等的两个三角形全等

2、SAS:

两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3、AAS:

两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

4、ASA:

两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

5、HL:

在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等

二、知识讲解

考点1

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋

转”.

考点2

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段

相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

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E

二、例题精析

【例题1】

【题干】已知：

如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：

AB+AO2AD

【答案】

证明：

延长AD至E,使DE=AD，连接EC

••AD是中线

•••DC=DB

VDE=AD,ZCDE=ZBDA,DC=DB

•••△DEFDA

•••CE=AB

在AAEC中CE+AC>AE,CE=AB

.••AB+AC>AE

VDE=AD•••AE=2AD

••AB+AC>AE

•••AB+AC>2AD

【解析】

分析：

要证AB+AC>2AD，由图形想到：

AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD

但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

【例题2】

【题干】已知：

如图1所示，AD为△ABC的中线，且/仁Z2,/3=Z4

求证：

BE+CF>EF。

d3

d3

3N=39v（SVS）3NCF^a3GFv

BQ=BQ

Z7=L7

aa=Na

申3NCMfli93CK7^

oa=Nafl'tnVn仲'aa=Nava丑：

K®

【解析】

分析：

要证BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知/仁Z2,

Z3=Z4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中。

四、课堂运用

【基础】

1、△KBC中，AB=5,AC=3，则中线AD的取值范围（）

A.1vADv4

B.3vADv13

C.5vADv13

D.9vADv13

【答案】

A

【解析】

解：

延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM

所以AB=CM

又CM-ACvAMvCM+AC

所以2<2*AD<8

所以1

2、已知在△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,

求证：

BD=CE

【答案】

过D作DF//AC交BC于F,

••DF//AC（已知），

•••zDFC=ZFCE,ZDFB=ZACB（平行线的性质），

VAB=AC（已知），

•••启=/ACB（等边对等角），

•••启=ZDFB（等量代换），

•••BD=DF（等角对等边），

••BD=CE（已知），

•••DF=CE（等量代换），

VzDFC=ZFCE，ZDGF=ZCGE（已证），

•••△FG也^CG（AAS）,

•••DG=GE（对应边相等）

【解析】

GDF也£EG即可.

过D作DF//AC交BC于F,利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△

【巩固】

1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,

求证：

AF=EF

【答案】

解：

延长AD至G,使得AD=DG，连接BG,GC

v/ABC中,AD是BC边上的中线

•••BD=DC

•••△FEs/GBE

•••AF/FE=GB/BE

••AC=BE,AC=BG

•••BE=BG

•••AF=FE

【解析】

延长AD至G,使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：

AD平分/BAE.

【答案】

延长AE到M，使EM=AE，连结DM

易证ADEM也£EA

•••zC=ZMDE,DM=AC

又BD=DC=AC

•••DM=BD,ZADC=/CAD

又ZADB=/C+/CAD,ZADM=ZMDE+ZADC

•••zADM=ZADB

•••△DM也ADB

•••zBAD=/MAD

【解析】

因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC

因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC

ZACE=ZBCA，所以ABCA^zACE

所以ZABC=/CAE

因为DC=AC，所以/ADC=ZDAC

ZADC=ZABC+/BAD

所以/ABC+ZBAD=ZDAE+/CAE

所以/BAD=/DAE

【拔高】

0

BAC60,C400,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是BAC,

的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

【答案】

证明：

做PMIIBQ，与QC相交与M。

VzAPB=180。

一启AP—/ABP=180°-30°-80°=70°

且/APM=180°—jAPB—ZMPC=180°^70°—£BC=180°—0°T0°=70

•••zAPB=ZAPM

又VAP是BAC的角平分线，

•••zBAP=/MAP

AP是公共边

•••△BP也AMP（角边角）•••AB=AM,BP=MP

在△MPC中，/MCP=ZMPC=40•••MP=MC•••AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中

VzQBC=QCB=40°

•・BQ=QC

.°.BQ+AQ=AQ+QC=AC.°.BQ+AQ=AB+BP

【解析】

做辅助线PMIIBQ，与QC相交与M。

首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论

2、女口图，AC//BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD

A

C

【答案】

在AB上取点N,使得AN=AC

ZCAE=/EAN,

AE=AE,

•••△AE也zEAN

•••zANE=ZACE

又AC//BD

•ZACE+ZBDE=180

而ZANE+ZENB=180

•zENB=ZBDE,ZNBE=/EBN

BE=BE

•••△BN也^BD

•••BD=BN

•••AB=AN+BN=AC+BD

【解析】

根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论

课程小结

1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋

转”.

2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段

相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.