等比数列错位相减法的应用.docx
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等比数列错位相减法的应用
等比数列错位相减法的应用
高一数学等比数列的前n项的和
(2)
同学们大家好
上节课讲的等比数列
前n项和公式的推导
大家还记得吗
首先等比数列的前n项和公式
应该是这样的一个表达式
当q不得1的时候
是1减q分之a乘以(1-q)
当q得1的时候就是n倍的a
另外在推导这个公式的时候
我们用到了一种特殊的办法
叫错位相减法
我们来复习一下推导过程
开始的时候
我们先把等比数列分成两大类
当q得1的时候
这个等比数列就是常数列
每项都相等
因此其前n项和S就是n倍的a
那么当q不得1的时候
我们使用了一种特殊的
数列求和的方法
就是错位相减法
那么首先应该先写出
S是a加上aq加上aq一直加
加到a乘q
两边乘以等比数列的公比q
就得到q倍的S等于aq加上aq
加上aq一直加
加到a乘q
这两个式子
下边一个式子的第1项
就是上边式子的第2项
下边式子的第2项
就是上边的第3项
我们会发现这两个式子错位相等的
因此我们把这两个式子相减
大多数项就可以消掉了
等号左边是(1-q)倍的S
等号右边第①式上式只剩首项a
下边这个式子只剩最后一项
a乘q
那就是246一直到2n
这是不是一个公差为2的等差数列
我们再把这数列
每一项的第二个因数拿出来
那就是1332
一直到3
这是不是就是一个首项为1
公比为3的等比数列呢
那么实际上这个数列
就是由等差数列2n的每一项
和等比数列3的
相应项的乘积构成的
那么又要对这个数列求和
又和等比数列有关系
所以我们就考虑到
利用错位相减法来处理
我们来看具体的解答过程
因为S是2加上4乘3
加上6乘32一直加
加到2n乘以3
那么它的前一项
就应该是把n都换成n减1的时候
也就是2(n-1)乘以3
我们应该前边写3项后边写2项
一共写出5项来
为什么呢
这样便于我们去寻找规律
然后我们用等比成分的公比q
也就是3去乘以①式的两边就会得到
3倍的S等于2乘以3
加上4乘以32
加上6乘以3一直加
加到2(n-1)乘以3
最后一项是2n乘以3
把这个式子称为②式
下面我们就把①式和②式错位相减
也就是①减②
那么等号左边就是负2倍的S
等号右边我们就把3的指数
一样的这样两项相减
并且把3的多少次方都提出来
那就会得到2
这个2没有人和它配对它自己写
加上(4-2)乘以3
加上(6-4)乘以32
加上(8-6)乘以3一直加
加到2n减去2(n-1)乘以3
最后一项是要被减去的
减去2n乘以3
我们会发现减完之后
每个括号里边的差都相等
其实这个差是什么呢
就是这个等差数列2n的公差2
所以我们就会得到
负2倍S是2加上2乘3
加上2乘32
加上2乘3一直加
加到2乘3
最后减去2n乘以3
那么这个式子再往下处理
我想不用我说大家也能看出来了
等号右边的前半部分
这是一个等比数列
我们可以利用
等比数列的求和公式来处理
然后把负2除过来
S的表达式就找到了
把2提出来首先
得到1加3加3加3一直加
加到3
后边还是减去2n乘3
然后2不动
括号里边是一个公比为3的等比列
所以它的和应该是
(1-3)分之(1-3)
为什么是n次方呢
因为括号里边1是3
从0一直到n减1
所以一共是n项
因此应该写成3
那么进一步整理就会得到
3减1再减去2n乘以3
我们把负2除过来
S的表达式就找到了
它最后是这样的
2分之(2n-1)乘以3
再加上2分之1
那么这道题告诉我们
大家在学习数学的定理公式的时候
要特别注意这些方面的推导
我们应该把它的推导过程思想方法
融到自己的脑海里
自觉运用到解题中去
第二个要注意的就是
在遇到形如{a×b}
构成每一项的数列
其中a就是一个等差列
b是个等比列
只要是这样的数列
我们都可以利用错位相减法来处理
但是在处理的时候
大家应该前边写出3项后边写2项
这样便于我们找规律
希望大家注意
我们再看下边一个练习
求数列2n分之(2n-1)
n属于N﹡的前n项和S
处理这个问题
我们首先应该写出它的前n项和
看看到底是什么
S是这样的2分之1
第2项是22分之3
第3项是2分之5
把它们加在一起一直加
加到2分之(2n-3)
最后一项是2分之(2n-1)
把这个式子称为①式
我们把2分之12分之1的平方
2分之1的立方单拿出来
这显然是一个
公比为2分之1的等比数列
我们就用这个公比2分之1
去乘以①式的两边
就会得到2分之1倍的S
是22分之1
加上2分之3一直加
加到2分之(2n-3)
加上2分之(2n-1)
把这个式子称为②式
①式和②式相减就会得到
等号左边1倍的S减2分之1倍的S
那就是2分之1倍的S
等于等号右边第1项不动2分之1
从第2项开始错位相减
是22分之2
2分之2一直加
加到2分之2
最后一项别忘了
是减去2分之(2n-1)
第1项2分之1不动
后边我们把分子的2和分母的2
作一个约分就会得到
2分之1加2分之1的平方一直加
加到2分之1
减去2分之(2n-1)
括号里边我们再用
等比数列前n项和公式来求和
所以应该等于2分之1不动
加上1减2分之1
分子是2分之1乘以
1减2分之1
然后减去2分之(2n-1)
把这个式子作进一步的整理
就会得到
2分之3减去2的倒数
减去2分之(2n-1)
整理之后
S的表达式我们就求出来了
那么它的结果就是
3减去2分之(2n+3)
利用错位相减法
求和等比数列相关的问题
大家掌握了吗
这节课就到这里
谢谢大家
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