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非线性04自然界非线性动力学系统与电路模拟
第四章自然界非线性动力学系统与电路模拟
本章是上一章的继续,讲述各种类型的单元非线性电路,不同的是上一章的电路来源于电子电路内部,本章则来源于自然界的其它动力系统。
非线性科学是跨学科的综合自然科学,非线性电路是非线性科学中的一个部分,现代非线性电路科学既要从其它非线性学科中借鉴经验与吸收成果,将它们的知识充实自己的专业领域,又要将电子电路的经验与成果应用到整个非线性学科中。
在这里,其它非线性动力系统的电路模拟仍然具有一定的意义,而不仅仅是玩玩电路游戏而已,这要从两个方面来看。
第一,通过电路模拟,使得其它非线性动力系统的某些不易观察的现象用电路模拟形象化地显示出来,例如圆周映射复杂现象的显示;还能节约被模拟系统的实验成本,例如某些量子效应实验。
第二,非线性动力系统的电路模拟结果能够直接应用于非线性电路系统,例如描述大气运动的洛伦茨方程能够应用于混沌保密通信。
所以电路模拟既体现电路研究的成果与贡献,又体现电路研究对于其它学科的知识吸收。
非线性动力系统电路模拟的内容非常丰富,本章仅举几个实例,读者完全能够使用这一思想实现自己需要的电路模拟。
第一节自然界与自然科学的非线性系统
由于非线性自然现象的客观存在性与自然科学工作者的研究积极性,非线性科学的发展来势凶猛,使得电子学学科的非线性研究如火如荼。
非线性科学是典型的交叉科学,非线性电路的研究与其它学科的非线性研究已经完全融为一体。
就目前来看,非线性研究整体发展很快且规模很大的学科有数学、物理学、经济学、社会学、生物学、生态学、生理学与医学、机械工程学等,在这一切的发展中电子计算机的应用起着举足轻重的作用。
非线性电子学的发展很有特色,它一方面及时地借鉴其它学科的成功经验促进本学科的发展,另一方面积极地把自己的成果推广应用到其它学科中去,使非线性电子学具有特别重要的地位,这已经被近期历史所证明。
数学永远是人类取之不尽用之不竭的知识源泉,而电子学(包括电工学)从中获得所需也为之有所贡献。
现状是,非线性数学中的很大一部分成果可以直接应用于电子学,例如多数非线性微分方程与迭代方程,只要它的解是有限值就很可能用电子电路实现,这是因为电子电路是由稳压电源提供能量的,而稳压电源提供的电压或电流是有限值。
理解这一点很重要,它划清了用电子电路模拟数学非线性微分方程的范围。
物理学真实反映了我们的自然界,也是电子电路科学技术的发源地。
物理学中的很大一部分成果可以直接应用于电子学,非线性物理运动就是这样的运动。
物理学的机械运动规律基本与电路动态特性相同,所以机械运动规律研究的成果很容易转换成相应的电子电路。
机械运动中,有保守力系统与非保守力系统,保守力系统能量守恒,对应的电子电路由单纯的储能元件实现,比较特殊;非保守力系统一般有不含信息的能量输入,并且还有能量的损耗,这就是耗散结构系统,对应的电子电路由储能元件与耗能元件实现,是通用电子电路,物理学的耗散结构系统是重要系统,是物理学与其它学科交叉研究的重要分支学科,又是物理学与生物学之间的交叉,具有重要的地位,电子电路研究与之加盟很有意义。
其它学科的成果也都深刻地促进非线性电子电路的发展,例如混沌保密通信电路的一个思想就是使用几个混沌方程混合后传送保密信息,混沌方程越多保密性能越好,这要求有较多的混沌类型供设计者选择。
从这里看到,非线性电路的发展需要其它学科的非线性研究的众多成果。
从电子电路自身来看,实现非线性电路功能从两个方面考虑,一个是以电子计算机为核心,使用基于电子计算机技术的路线,使用离散的数字逻辑信号;一个是以模拟电路为核心,使用基于模拟电子技术的路线。
实际应用中使用二者的结合,单纯使用单一技术的实际系统已经很少了。
非线性电子电路技术中,有三个实际技术被广泛使用,一是DSP技术(数字信号处理器),二是PLD(可编程逻辑器件),三是单片机系统(嵌入式计算机系统)。
原则上说,以上三个技术中的任何一个技术都能实现非线性电路的设计。
使用传统模拟电子元件设计非线性设计的元件有电阻、电容、电感、二极管、运算放大器、加法器与减法器、乘法器与除法器、微分器或积分器,还有以上电路的组合如超电容、超电感、绝对值电路、仿真电感等。
这些为设计非线性电路设计提供了保证,各种运动方程转换成具体电路就很容易了。
能够转换成电子电路的非线性动力系统很多,著名的动力系统与代表方程有李纳德方程、范德坡方程、杜芬方程、洛伦兹方程、洛斯勒方程、依侬迭代等。
本章主要研究目的与研究范围是:
用现代电子线路方法模拟至今已经发现的大部分混沌运动现象,研究方法是:
在设计具体电子电路中,一面设计具体电路,一面用计算机仿真方法模拟具体电路。
这与前面提到的仿真实验是不同的,前面的仿真实验是用仿真软件仿真各种“微分方程”,是“仿真理论模型”,本章研究的仿真实验是“仿真电子电路”,是电子线路实际设计,仿真目的是辅助设计具体电路,具有实践性。
第二节人口模型理论及其电路模拟
一、人口模型与逻辑斯蒂映射
在达尔文提出生物进化论之后,马尔萨斯(1766-1834)提出人口增长理论,认为人口的净增长率为常数,即单位时间内人口增长率与人口总数成正比,设t时刻人口数为p(t),则有[7]
4-1
其解为
,a=0.029,时间单位为年。
用此模型估算某些国家1700-1961年的人口数目时竟然惊人的吻合。
但是这个模型是发散的,不能以此长期预报。
考虑到人类生存环境的有限性,Verhulst认为人口增长率既和人的生育能力a成正比,也和与地球容纳的人口总数有关的常数b有关,关系是,设
地球容纳的人口总数=
4-2
则改进的人口模型为
4-3
例如,1980年5月1日,我国公布1979年底为97092万人,当时人口增长率1.45%,将a=0.029、dp/dt=0.029代入,有0.029-b×9.7092×108=0.0145,得到我国人口极限约为a/b=19.42亿。
欲将微分方程式4-3改写成迭代方程,将
写为
,
4-4A
得
4-4B
为了使其简捷,显然应该写成
4-4
括号内第一项写成1是归一化的考虑,表示人口总数为1。
这就是著名的逻辑斯蒂映射,本书已经在第2章第3节列出,它还可以以其它形式写出来,式4-4的形式称为标准逻辑斯蒂映射。
它有3个因素构成:
x是变量,表示“人口”,下标n表示“代”,x取值0~1。
μ表示增长系数,μ<1人口衰落,μ>1人口发展。
(1-xn)表示环境限制因素。
标准逻辑斯蒂映射的分岔图与对应的李雅普诺夫指数如图4-1与图4-2所示。
图4-1与图4-2可以用光盘程序VB1010.FRM~VB1015.FRM运行得到。
图4-1中,μ=1~3的一段呈现的特性是周期1,μ=3~3.4左右的一段呈现的特性是周期2,之后分别是周期4、周期8、周期16等等,从μ=3.83后的一段呈现的特性是周期6、周期12、周期24等等。
下面仔细分析周期1的一段曲线,代入式4-4,因为
代入时可以去掉下标,即
是一个代数方程,有两个变量:
自变量x与参变量μ,对于自变量x,是二次代数方程。
解x的二次代数方程,得第一个解是
不予讨论,第二个解代入4-4得
,由于x在0~1间,得到μ>1,即周期1开始于μ=1。
下面分析周期2的一段,代入式4-4,因为
即
解之得
(a)(b)
图4-1标准逻辑斯蒂映射的分岔图
(a)(b)
图4-2标准逻辑斯蒂映射的李雅普诺夫指数
由第一式,得到μ>3,即周期2开始于μ=3。
再下面是周期4,类似计算方法原则上并不困难,就是解四次方程而已,但是已经相当复杂了,在此不再具体计算,结果是
…
总结以上几个数据,周期2的区间长度与周期1的区间长度之比是
…
同样方法得到周期4的区间长度与周期2的区间长度之比,依此类推,能够得到一个收敛的极限值。
理论物理学家费根堡姆(FeigenbaumMJ)于1978年对逻辑斯蒂映射以及其它的映射与方程进行全面、系统研究,找到这个区间长度之比收敛的极限值是4.66920…,是普遍存在于自然界的普适常数-费根堡姆常数,如同于相对论中的光速常数与量子力学中的普朗克常数,具有深刻的哲学意义,后面的论述表明电子电路中的形态也符合这一规律性。
二、逻辑斯蒂映射的普遍性及其在电子电路中的存在形式
尽管以上逻辑斯蒂映射是从人口模型推导出来的,但是,逻辑斯蒂映射是自然界的普遍现象,广泛存在于机械、电磁、光学、气象、生物、经济等等各种运动中,电子学电路中比比皆是[26,44],如绪论一章中讲到的周期信号施加到电感、电容、二极管串联电路上就能够以这样的方式进入混沌。
它具有生物学、数学、哲学、经济学、社会学及其它学科的深刻意义。
电子电路中存在逻辑斯蒂映射的根本原因是:
从电子电路状态变量提炼出的数学方程与其它学科领域的运动方程具有相同的形式,表明它们具有共同的规律性,电子电路方程尽管具有自己的特点,共同规律性仍然是主要的。
观察电子电路中逻辑斯蒂映射图象的方法是使用程序设计高级语言的显示语句,程序设计高级语言如VB。
以观察杜芬方程电路中的逻辑斯蒂映射图象为例,程序编写比观察蔡氏电路中的逻辑斯蒂映射图象容易,下面分别介绍两种电路中的逻辑斯蒂映射图象显示程序编写思想。
先介绍杜芬方程的,参见公式3-45,固定参变数a、b、μ,在VB中,先建立平面坐标系,横坐标选杜芬方程的外力幅度变量f,纵坐标选杜芬方程在满足外力特定相位条件的响应幅度变量x,之后编写程序,显示这些离散值,结果如图4-3所示。
(a)f=0~70(b)f=0~10
图4-3杜芬方程的逻辑斯蒂映射
蔡氏电路中的逻辑斯蒂映射图象显示程序编写需要一些技巧,关键是如何选择合适的“相位”。
不象杜芬方程的周期外力,蔡氏电路中没有类似的周期外力,方法是在蔡氏电路的三个变量VC1、VC2与IL中,原则上说可以取任意一个变量,在它的最大值处就可以说是一个特定的“相位”了。
一个程序实例是,取归一化蔡氏电路的m0=-1/7、m1=2/7、β=15,以α为横坐标轴,以y为纵坐标轴,电路呈现逻辑斯蒂映射图象,在以前已经出现过,见图3-13,VB仿真程序源代码见光盘文件VB5250.FRM。
所有非线性电路中的逻辑斯蒂映射图象形式尽管差别很大,然而共性是主要的,都有费根堡姆常数作为标志,并且与其它非线性动力系统相一致。
在任何非线性电路中的逻辑斯蒂映射图象中,都是分形结构。
形成逻辑斯蒂映射图象的所有非线性电路,非线性的形式可能很多,但是结果基本一致,整体规律性完全不变。
三、逻辑斯蒂映射电路设计
电子电路中的逻辑斯蒂映射应用也很多。
专门应用就是设计,后面的章节涉及很多,现举一例说明[67]。
图4-4(a)中,乘法器实现
,放大器的放大倍数为μ,脉冲发生器及模拟开关控制迭代的节拍(即由xn产生xn+1的间隔),采样保持器保持当前值xn与xn+1。
正常工作过程为:
在电源上电的瞬间,模拟开关处于断开状态,控制放大器的输出xn使其小于1,同时减法器实现1-xn运算,并将两路结果分别保持在采样保持器中,则系统输出为xn;此刻,瞬间启动模拟开关,乘法器实现xn与(1-xn)相乘运算,经放大器μ倍放大后,放大器的输出便为
,完成了式4-4的一次迭代运算,重复以上过程,即实现了逻辑斯蒂映射过程。
为了防止电路受到干扰使输出值xn大于1或电路因元器件精度的限制达到稳定点(输出恒为0.5V),在输出端设计了比较器,当输出值大于1时,单稳电路起作用,将初始值x0=0.38V电压加到乘法器上,令电路再次进入混沌状态。
由于电路存在的各种噪声及元器件工作的不稳定性,使得系统在相同的初始值情况下,运动轨迹也是不一样的,这一点从某种意义上而言,也有利于图4-4(a)所示系统处于混沌工作状态。
图4-4(b、c)是脉冲发生器频率为100kHZ,即每10μS迭代一次,该电路能够产生频域及自相关函数波形的输出信号。
图4-3(b,c)示出μ=3.85时的有关波形,计算其李亚谱诺夫指数为0.6929左右,大于零,理论计算亦表明此时信号处于混沌状态,输出的信号具有良好的白噪声特性。
(a)逻辑斯蒂映射电路方框图
(b)混沌信号频域波形(c)混沌信号自相关波形
图4-4逻辑斯蒂映射方框图及μ=385时混沌信号频域及自相关波形
设一线性时不变系统,它的单位冲激响应为h(t),如输入信号为x(t),则可以得到系统的输出响应y(t)=x(t)*h(t),根据相关原理,有
4-5
式4-5中Ryy为系统输出信号自相关函数;Rxx为系统输入信号自相关函数;Rhh为系统单位冲激响应自相关函数。
当输入信号为混沌信号时,则有:
是混沌信号的方差。
则
4-6
此式表明,只要检测到输出信号y(t),并求其自相关函数Ryy(t),那么,系统的功率谱估计为:
Phh(w)=L[Rhh(t)],即可求得系统的频率特性。
图4-5(a)为一已知低通滤波器,电阻R=100Ω,电容C=150μF,输入信号为X(t),输出信号为y(t)。
理论计算,该低通滤波器的系统函数频率响应为
4-7
则
,对应的幅一频特性曲线如图4-5(b)所示。
如作用该系统的输入信号X(t)为图4-5所示的混沌信号,利用式4-6可直接通过求输出信号的幅一频特性来确定系统的频率特性,实际获得的输出响应特性如图4-5(c)所示。
二者比较可知,用混沌信号来估计系统的幅一频特性是可行的。
图4-4(a)所示电路产生的混沌信号,不但可用于系统的特性分析,还可通过简单的处理,产生混沌序列,用于保密通信或跳频通信领域中。
同时,如将图4-4(a)中运算放大器的反馈电阻用热敏电阻或压敏电阻等敏感元器件来替代,则当外界物理量发生变化时,可引起运算放大器放大系数的改变,此时输出信号可经倍周期分叉进人混沌,从而可通过对输出信号频率特性的测量实现对外界温度或材料损伤程度的检测。
(a)RC电路(b)理论计算幅频特性(C)实际测试幅频特性
图4-5低通滤波器电路及幅频特性
第三节圆周映射理论与频率牵引电路实验
一个具有固有周期的系统在外来周期作用下的双周期动态特性历来被人们所重视,在线性科学技术中,其动态属性由谐振曲线描述,这早已为人熟知。
非线性问题研究初期,双周期系统动态特性是研究的典范。
上世纪中叶,在数学科学中,数学家对于此类问题的研究取得了较大进展,被认为是数学科学的重要突破。
这一问题是自然科学的基本问题,是人们对于自然界认识的深化。
在电子电路中涉及到两个基本的电路-线性放大器与非线性LC振荡器(面应该更宽些),这是两个在技术上相互独立并且尽量避免影响的电路,现在将二者联系起来综合研究。
因此,这是一个交叉问题。
中心问题是圆周映射(Circlemap)。
圆周映射是关于自然界的周期运动相互影响而同步(Syncronazation)的理论,反映自然界的周期的、准周期(qusipriodicity)的与混沌的运动之间的内在联系,它是一个周长为1的圆周上的点映射到自身上的迭代变换,有两个控制参数,即二维的参数空间,它通向混沌的路径比较复杂。
表现为周期的、准周期的和混沌的运动。
一、同步锁模现象
在17世纪荷兰物理学家惠更斯(Huygens)注意到家里木板墙上两挂钟较近时会互相影响而同步。
瑞利观察到两风琴管靠近时音调一致,较远时则发生差拍。
在电机工程技术中,工程师们用频率较准的石英振子来使电机同步。
在涉及两个频率的动力学系统中同步是一种比较普遍的现象,但两振动模式之间必需有非线性的耦合。
最先将同步现象与混沌联系起来的是拓扑学家们。
同步现象称为锁相(phaselocking)、锁频(frequencylocking)或锁模(modelocking)等[11,12,16,63,68,70,72,73]。
目前,数学家和物理学家已对圆周映射理论进行深入研究,并建立了相应的物理模型,文献[12]就通过一个振动水桶的滴水实验建立了一个标准圆周映射,文献[174]则通过起泡枪实验对圆周映射进行了研究。
然而要对其进行广泛应用,需要电子线路的支持,建立其相应的电路模型。
以两个振荡器的相互耦合来建立标准圆周映射,两个振荡器的关系如图4-6。
图中振荡器电路都是由放大器单元电路A与正反馈电路F组成。
其中,图4-6(a)为两个振荡器的频率耦合,属于相互耦合,其电路模型如图4-6(b)所示。
若其中一个振荡器的频率稳定,频率耦合就是单向的,即单向耦合,这时可以将振荡器Ⅰ演变成信号源,如图4-6(c)所示。
图4-6两个振荡器之间的相互耦合
为了叙述方便,将振荡器Ⅰ的输出用通式形式的周期波形表示,为
,
不妨设
,其中,f为振荡频率,波形如图4-7(a)所示。
将振荡器Ⅱ输出为锯齿波,并将其幅度归一化为1,波形如图4-7(b)所示。
设Vm1为电压振荡器Ⅰ的归一化振幅。
(a)振荡器Ⅰ自由振荡时的输出波形(b)振荡器Ⅱ自由振荡时的输出波形
(c)振荡器被锁相时输出波形的分析
图4-7两振荡器相互耦合的输出波形
将振荡器Ⅰ的输出耦合到振荡器Ⅱ,其输出波形见图4-7(c),设锯齿波斜率为c,即
,则由图4-7(c)可以看出:
4-8
设归一化相位
,则由4-8式得到:
4-9
设
,代表两振动的频率之比;设
,称为非线性耦合的强度,当
被确定之后,k取决于激励信号的归一化幅度Vm1,则式4-9变为:
(模1)4-10
这个映射就是标准正弦圆周映射[12,16,70,175],它含有K和Ω两个参数。
若Ω是有理数,则迭代就是周期性的;若Ω是无理数,迭代应该是非周期性的,这又分两种情况,若K值非常小,迭代确实是非周期性的;然而,若K值稍微增加时,迭代又成为周期性的,频率为接近无理数Ω的一个有理数。
对任何周期序列,定义:
4-11
它与初值x0无关,称为卷饶数(windingnumber)。
当Ω为有理数时,ω=Ω。
当Ω为无理数时,在非线性的作用下,系统的卷饶数可以被锁定在有理数上,这就是同步锁频的原因。
图4-7(c)的研究目标在传统的电子电路中是不予研究的。
传统电子电路曾经研究过信号源为正弦信号施加于线性LRC串联电路的情况,LRC电路响应是单峰幅频特性曲线与单调相频特性曲线。
传统电子电路不研究任何振荡器被外界施加正弦信号源的电路,因为它意味着振荡器遇到了干扰,造成频率不稳定,应该从技术上予以避免。
非线性电路研究恰好相反,对于这个问题特感兴趣并进行了深入细致的研究。
仔细观察图4-6(c),若Vs振幅为零,电路又回到了原来的振荡器,频率是固有频率fo,Vo是周期波形,
,n为整数。
若Vs振幅不为零,图中画出,它与VF相加,先考虑Vs与VF线性相加且Vo是二者的线性相加的结果,则Vo是两个独立频率的叠加,相图表示为或者是周期波形或者是拟周期波形,取决于fs与fF之比是有理数还是无理数,将这种情况用映射方法来表示,
,Ω是常数,
是线性映射,表示
与
的递推关系,注意两个频率的振幅一般是不同的。
再考虑或者是Vs与VF非线性相加或者是Vo是二者的非线性相加的结果,二者的效果是一样的,都表示信号源“改变”了振荡电路的振荡机制,参见图4-7。
若Ω是有理数,则迭代就是周期性的;若Ω是无理数,迭代应该是非周期性的,这又分两种情况,若K值非常小,迭代确实是非周期性的;然而,若K值稍微增加时,迭代又成为周期性的,频率为接近无理数Ω的一个有理数,即,在
4-14
中,ω是接近无理数Ω的一个有理数,当Ω为有理数时,ω=Ω。
当Ω为无理数时,在非线性的作用下,系统的卷饶数可以被锁定在有理数上。
以上叙述说明,有了外界周期性的非线性耦合,振荡器的相位与频率脱离了原来的固有值,而原来的固有值是经过线性电路理论的严格推导与大量的实验以及经过实践验证而得到的。
当外界周期性非线性耦合信号弱到零时,振荡器的相位与频率又回到原来的固有值,体现非线性与线性的辩证统一关系。
当外界周期性非线性耦合信号很弱但还不是零时,振荡器的相位与频率是原来的固有值与外界周期性信号值非常接近的一个有理数,它使原来的同步范围加宽了,形成新的结构,这个结构就是圆周映射理论研究的结构,一个在线性理论中没有的新的结构。
圆周映射理论说明人类在对自然规律的认识上又前进了一步,它所包含的意义还有待进一步去发掘,对其进行电路建模具有深刻的意义。
本节用电路的模型得到标准正弦圆周映射,并通过在普通LC振荡电路的频率牵引实验,证明了若振荡器有了外界周期性的非线性耦合,相位与频率脱离了原来的固有值。
该电路的实验数据内容涵义深刻,对其进行深入的研究有助于对圆周映射的理解。
二、阿诺尔德舌头
先做一个粗略的数值实验(见光盘文件VB4404.FRM)。
对式4-13编写程序,先在K的0~1的范围内取如下表的某几个值,对应每个K值取Ω的某些值,进行迭代,观察这些迭代值,发现确实有一些周期,如K=1的程序运行结果如下,6个K值的部分结果如表4-11所示(程序设计精度0.02)。
图4-8K=1的数字实验结果
表4-1圆周映射数字实验的部分数据统计结果
K
周期1
周期4
周期3
周期6
周期2
周期6
周期3
周期4
周期1
1
0-0.14
0.28
0.34-0.36
0.36
0.48-0.52
0.66
0.64-0.66
0.72
0.86-1
0.9
0-0.14
0.28
0.34-0.36
0.36
0.48-0.52
0.66
0.64-0.66
0.72
0.86-1
0.7
0-0.1
0.27
0.34
0.5
0.66
0.73
0.9-1
0.5
0-0.06
0.26
0.34
0.5
0.66
0.74
0.94-1
0.3
0-0.04
0.5
0.96-1
0.1
0
0.5
1
通过数值实验可以观察到起始于k=0的每一个有理数Ω所能锁定的范围随k的增大而变宽,从而形成一个个楔形区域,如图4-9所示。
这些楔形区域通常称为阿诺尔德舌头(Arnol'dtongue)。
在Ω∈(0,1)中,总存在一些有限的区间来表示所有可能小于1的有理卷饶数,这些区间的宽度随着k单调增加,并且在k<1的情况下不会发生重叠。
在k=1处阿诺尔德舌头的宽度增大到开始彼此衔接。
图4-9给出了这时卷饶数ω与Ω的关系,它是由无数个大大小小的平台和阶梯组成的,无论将其局部作多大倍数的放大,看上去总是类似的,永远不能看清其阶梯的细节。
因此被称魔鬼楼梯(devil`sstaircase)。
图4-9阿诺尔德舌头图4-10魔鬼楼梯
三、圆周映射分岔图
图4-9画出了阿诺尔德舌头的图形,有效范围在K≤1,由此导致魔鬼楼梯的画出。
在K>1范围,不存在阿诺尔德舌头的概念,K的所有范围的图形是就是圆周映射的分岔图。
分岔图可以以理论为根据画出,类似图4-9,也可以编写程序画出,见图4-11(a)。
图4-11(a)中K<1的部分与图4-9比较明显变坏了,各个舌头都伸不到底,这是因为此程序很费计算机CPU时间,但是此图也有另外的一些好处。
图4-11(a)画出了K的0~3及Ω的0~1的部分,Ω的其它部分与Ω的0~1的部分完全相同,以Ω的0~1部分为周期。
在K≤1的部分,黑色是周期与拟周期部分,应该如图4-9那样伸到底并且无限稠密,在K>1的部分,呈现复杂结构。
作为辅助性说明,图4-11(b)对图(a)重画一遍。
应该看到图4-11的复杂性是深刻的,例如,某些地方出现两条曲线的交叉,说明它是处于不同周期或拟周期的交叉,这些地方的动态特性的真
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