高中数学第一章导数及其应用12导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修221022330.docx
- 文档编号:30611414
- 上传时间:2023-08-18
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:56.49KB
高中数学第一章导数及其应用12导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修221022330.docx
《高中数学第一章导数及其应用12导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修221022330.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章导数及其应用12导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修221022330.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第一章导数及其应用12导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修221022330
第2课时 导数的运算法则
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
知识点一 和、差的导数
已知f(x)=x,g(x)=.Q(x)=f(x)+g(x),H(x)=f(x)-g(x)
思考1 f(x),g(x)的导数分别是什么?
答案 f′(x)=1,g′(x)=-.
思考2 试求y=Q(x),y=H(x)的导数.并观察Q′(x),H′(x)与f′(x),g′(x)的关系.
答案 ∵Δy=(x+Δx)+-
=Δx+,
∴=1-.
∴Q′(x)=
==1-.
同理,H′(x)=1+.
Q(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的差.
梳理 和、差的导数
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
知识点二 积、商的导数
(1)积的导数
①[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
②[cf(x)]′=cf′(x).
(2)商的导数
′=(g(x)≠0).
(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x),
′≠.
1.若f′(x)=2x,则f(x)=x2.( × )
2.函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( √ )
3.当g(x)≠0时,′=.( √ )
类型一 利用导数的运算法则求导
例1 求下列函数的导数.
(1)y=3x2+xcosx;
(2)y=lgx-;
(3)y=(x2+3)(ex+lnx);
(4)y=x2+tanx;
(5)y=.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则
解
(1)y′=6x+cosx+x(cosx)′
=6x+cosx-xsinx.
(2)y′=(lgx)′-(x-2)′=+.
(3)y′=(x2+3)′(ex+lnx)+(x2+3)(ex+lnx)′
=2x(ex+lnx)+(x2+3)
=ex(x2+2x+3)+2xlnx+x+.
(4)因为y=x2+,
所以y′=(x2)′+′
=2x+
=2x+.
(5)y′=
=
=.
反思与感悟
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
跟踪训练1 求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=(x+1)(x+3)(x+5).
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则
解
(1)∵y=2
-3
+x-1+
,
∴y′=3
+
-x-2-
.
(2)方法一 y′=
==.
方法二 ∵y===1-,
∴y′=′=′
=
=.
(3)方法一 y′=[(x+1)(x+3)]′(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)′=[(x+1)′(x+3)+(x+1)(x+3)′](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)=3x2+18x+23.
方法二 ∵y=(x+1)(x+3)(x+5)=(x2+4x+3)(x+5)
=x3+9x2+23x+15,
∴y′=(x3+9x2+23x+15)′=3x2+18x+23.
类型二 导数公式及运算法则的综合应用
例2
(1)已知函数f(x)=+2xf′
(1),试比较f(e)与f
(1)的大小关系;
(2)设f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcosx.
考点 导数的运算法则
题点 导数运算法则的综合应用
解
(1)由题意得f′(x)=+2f′
(1),
令x=1,得f′
(1)=+2f′
(1),即f′
(1)=-1.
∴f(x)=-2x.
∴f(e)=-2e=-2e,f
(1)=-2,
由f(e)-f
(1)=-2e+2<0,得f(e) (1). (2)由已知得f′(x)=[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]′ =[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′ =(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)(cosx)′ =asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx =(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx. 又∵f′(x)=xcosx, ∴即 解得a=d=1,b=c=0. 反思与感悟 (1)中确定函数f(x)的解析式,需要求出f′ (1),注意f′ (1)是常数. (2)中利用待定系数法可确定a,b,c,d的值. 完成 (1) (2)问的前提是熟练应用导数的运算法则. 跟踪训练2 函数f(x)=+2f′ (1)x,则f′(0)=________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1 解析 对f(x)求导,得f′(x)=+2f′ (1)=+2f′ (1),令x=1,得f′ (1)=1,∴f′(0)=1. 例3 已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数为f′(x)=2x-8. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0), 所以f′(x)=2ax+b, 又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由 (1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3, 所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8, 所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7. 又g(0)=3, 所以g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0. 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 跟踪训练3 (1)设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________. (2)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处切线的斜率为________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 (1)1 (2)4 解析 (1)∵y′==, 当x=时,y′==1. 又直线x+ay+1=0的斜率是-, ∴-=-1,即a=1. (2)∵曲线y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,由导数的几何意义知g′ (1)=2. 又∵f(x)=g(x)+x2, ∴f′(x)=g′(x)+2x,即f′ (1)=g′ (1)+2=4, ∴y=f(x)在点(1,f (1))处切线的斜率为4. 1.设函数y=-2exsinx,则y′等于( ) A.-2excosxB.-2exsinx C.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx) 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 D 解析 y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx). 2.曲线y=-在点M处的切线的斜率为( ) A.-B. C.-D. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B 解析 y′==,故 =, ∴曲线在点M处的切线的斜率为. 3.若函数f(x)= f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为( ) A.-1B.0 C.1D.2 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 A 解析 因为f(x)= f′(-1)x2-2x+3, 所以f′(x)=f′(-1)x-2. 所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2, 所以f′(-1)=-1. 4.已知f(x)=,若f′(x0)+f(x0)=0,则x0=________. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 解析 因为f′(x)= =(x≠0). 所以由f′(x0)+f(x0)=0,得 + =0. 解得x0=. 5.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是______. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 -3 解析 y=ax2+的导数为y′=2ax-, 直线7x+2y+3=0的斜率为-. 由题意得解得 则a+b=-3. 1.导数的求法 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先,在化简时,要注意化简的等价性,避免不必要的运算失误;其次,利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为基本初等函数中的某一个,再套用公式求导数. 2.和与差的运算法则可以推广 [f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′=f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn). 3.积、商的求导法则 (1)若c为常数,则[cf(x)]′=cf′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x), ′=(g(x)≠0); (3)当f(x)=1时,有′=-(g(x)≠0). 一、选择题 1.下列运算中正确的是( ) A.(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′ B.(sinx-2x2)′=(sinx)′-2′(x2)′ C.′= D.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′cosx 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 A 解析 A项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′正确; B项中,(sinx-2x2)′=(sinx)′-2(x2)′错误; C项中,′=错误; D项中,(cosx·sinx)′=(cosx)′sinx+cosx(sinx)′错误. 2.若函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0等于( ) A.aB.±a C.-aD.a2 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 B 解析 y′=′==, 由x-a2=0,得x0=±a. 3.若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( ) A.B.0C.钝角D.锐角 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 C 解析 ∵f′(x)=exsinx+excosx, ∴f′(4)=e4(sin4+cos4). ∵π<4<π,∴sin4<0,cos4<0,∴f′(4)<0. 由导数的几何意义得,切线的倾斜角为钝角. 4.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( ) A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)D.(-1,0) 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 C 解析 ∵f(x)=x2-2x-4lnx, ∴f′(x)=2x-2->0, 整理得>0, 解得-1 又x>0,∴x>2. 5.函数f(x)=xcosx-sinx的导函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B 解析 f′(x)=(xcosx)′-(sinx)′ =cosx-xsinx-cosx =-xsinx. 令F(x)=-xsinx,x∈R, 则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x), ∴f′(x)是偶函数. 6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( ) A.2B.C.-D.-2 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D 解析 ∵y==1+, ∴y′=-,∴ =-. ∴-a×=-1,即a=-2. 7.在下面的四个图象中,其中一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则f(-1)等于( ) A.B.- C.D.-或 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B 解析 ∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数f′(x)的图象开口向上, 故其图象必为③. 由图象特征知f′(0)=0,且对称轴-a>0, ∴a=-1,则f(-1)=--1+1=-,故选B. 二、填空题 8.设f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1,若h(x)=,则h′(5)=________. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 解析 由题意知f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1, ∵h′(x)=, ∴h′(5)= ==. 9.已知某运动着的物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位: m,时间单位: s),则t=1s时物体的瞬时速度为________m/s. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 5 解析 因为s(t)=+2t2=-+2t2 =-+2t2, 所以s′(t)=-+2·+4t, 所以s′ (1)=-1+2+4=5, 即物体在t=1s时的瞬时速度为5m/s. 10.已知函数f(x)=f′cosx+sinx,则f 的值为________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1 解析 ∵f′(x)=-f′sinx+cosx, ∴f′=-f′×+, 得f′=-1. ∴f(x)=(-1)cosx+sinx, ∴f =1. 11.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为______________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 x-y-1=0 解析 ∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上, ∴设切点坐标为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+lnx,∴ 解得x0=1,y0=0. ∴切点坐标为(1,0),∴f′ (1)=1+ln1=1. ∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0. 12.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 8 解析 由y=x+lnx,得y′=1+, 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k= =2, 所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 此切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切, 消去y,得ax2+ax+2=0, 所以a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8. 三、解答题 13.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2, ∴切点坐标为(1,-1). ∴a+c+1=-1. ∵f′(x)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ∴a=,c=-. ∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1. 四、探究与拓展 14.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f′(0)等于( ) A.26B.29 C.215D.212 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D 解析 ∵f′(x)=x′(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a1)′(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)′ =(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a7), ∴f′(0)=a1·a2·…·a8=(a1a8)4=84=212. 15.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明: 曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由7x-4y-12=0,得y=x-3. 当x=2时,y=,∴f (2)=,① 又f′(x)=a+,∴f′ (2)=,② 由①②得解得 故f(x)=x-. (2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0), 即y-=(x-x0). 令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为. 令y=x,得y=x=2x0,从而切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 导数 及其 应用 12 计算 课时 运算 法则 新人 选修 221022330
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/30611414.html