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导数与微积分
导数与微积分
导函数
导函数的概念涉及:
的对于区间(,)上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作。
一、基本函数的导函数
C'=0(C为常数)
(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(e^x)'=e^x
(a^x)'=(a^x)*lna
[log(a,x)]'=1/(x*lna)
[lnx]'=1/x
二、和差积商函数的导函数
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)^2]
三、复合函数的导函数
设y=u(t),t=v(x),则y'(x)=u'(t)v'(x)=u'[v(x)]v'(x)
例:
y=t^2,t=sinx,则y'(x)=2t*cosx=2sinx*cosx=sin2x
一般定义
设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量Δ;如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即
,
也可记作,或。
邻域
数学分析的定义
以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a)
设δ是任一正数,则在开区间(a-δ,a+δ)就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即U(a,δ)={x|a-δ 点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径。 a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间(a-δ,a)称为a的左δ邻域,把开区间(a,a+δ)称为a的右δ邻域。 拓扑学的定义 设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集,点x∈A。 如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域。 若A是开(闭)集,则称为开(闭)邻域。 可导 设y=f(x)是一个单变量函数,如果y在x=x[0]处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x[0]处可导。 如果一个函数在x[0]处可导,那么它一定在x[0]处是连续函数 若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数f(x)在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着f(x)的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数f(x)的导函数,记作: y'、或者。 原函数 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存在函数F(x),使得在该区间内的任一点都有 dF(x)=f(x)dx, 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例: sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题 函数f(x)满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢? 这个问题我们以后来解决。 若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢? 我们可以明显的看出来: 若函数F(x)为函数f(x)的原函数, 即: F'(x)=f(x), 则函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数, 故: 若函数f(x)有原函数,那末其原函数为无穷多个. 如果定义在(a,b)上的函数F(x)和f(x)满足条件: 对每一x∈(a,b),F′(x)=f(x)则称F(x)为f(x)的一个原函数。 例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。 因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如: 已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律,就是求v=v(t)的原函数。 原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。 几何意义和力学意义 设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数. 导函数的定义表达式为: 值得注意的是,导数是一个数,是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。 但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点。 几何意义 如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点。 当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线。 若曲线为一函数y=f(x)的图像,那么割线PP0的斜率为: 当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为: 上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'(x0)=tanα,故导数的几何意义即曲线y=f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率。 函数可导的条件 如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢? 答案是否定的。 函数在定义域中一点可导需要一定的条件是: 函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。 这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来: 上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数: 极值 [extremum]∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 [extremevalue]∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。 如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值 极限 在高等数学中,极限是一个重要的概念。 极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积。
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- 关 键 词:
- 导数 微积分