二项分配与期望值数学期望值与二项分配伯努利.docx

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二项分配与期望值数学期望值与二项分配伯努利

1-2數學期望值與二項分配

重點二項分配

1.伯努利試驗:

伯努利試驗是指只有兩種可能結果的實驗，我們通常把這兩種結果分別叫做「成功」及「失敗」。

說明：

（1）丟一個銅板的實驗：

把丟出正面叫做成功，丟出反面叫做失敗。

（2）抽一支籤的實驗：

把中獎叫做成功，不中獎叫做失敗。

（3）籃球罰球的實驗：

把罰進叫做成功，不進叫做失敗。

2.二項分配的機率：

設一個伯努利試驗中成功的機率為p，失敗的機率為q（p+q=1）。

在n次獨立的重複試驗中，

（1）n次均成功的機率為pn

（2）n次均失敗的機率為qn

（3）至少有一次成功的機率為1qn

（4）恰好成功k次的機率為P（k）Cknpkqnk，k=0,1,2,⋯n,

n

（5）至少成功k次的機率為Cinpiqni

ik

實例：

設阿政在籃球賽中罰球的命中率為32在每次罰球的結果都是獨立的情形下，求阿

政3次罰球中恰有2次投中的機率。

說明：

在n次獨立的重複試驗中，恰好成功k次的機率為P（k）Cknpkqnk，而此機率Cknpkqnk為二項展開式：

（pq）nC0np0qnC1np1qnC2np2qnCnnpnq0中的各項，因此我們稱之為

二項分配的機率。

為什麼叫它為二項分配，因為它跟二項式定理的一般項相似，這也是它名字的由來。

範例》

擲一均勻的硬幣10次，則

（1）恰出現4次正面的機率為

（2）10次都是正面的機率為

（3）至少出現2次正面的機率為

（4）第10次才擲出正面的機率為

（5）恰在第10次時，擲出第4次正面的機率為。

Ans：

類題

2

有一不均勻的銅板，出現正面的機率是32，擲

此銅板6次，則

（1）恰出現三次正面的機率為

（2）出現奇數次正面的機率為

（3）

至少出現一次反面的機率為

（4）恰在第6次擲出第4次正面的機率為

範例》

袋中有6個紅球，4個白球，自袋中每次取一球，取後放回，連取5次，

（1）在第5次才取中第1個白球的機率為。

（2）已知5次中只取到1個白球，則在第5次才取中白球的機率為

（3）已知5次中取到2個白球，，則此2個白球是在第1次及第2次就取中的機率為。

Ans：

類題

袋中有3紅球、2白球，每次由袋中任取2球，取後放回，連取4次，在已知4次中每次取

範例》

某人射擊命中率為0.4，依下列條件，求其機率?

（1）射擊5次恰中3次

（2）射擊5次恰中3次，而第5次為射中之最後一次

（3）欲使射中目標之機率達0.99，問最少要射幾發?

（log2=0.3010,log3=0.4771）

Ans：

類題

1.連續投擲一顆公正的骰子，試問:

（1）若擲骰子四次，則6點出現2次的機率。

（2）若擲骰子四次，則第4次恰出現第三個6點的機率。

（3）須連續投擲幾次，其出現6點的機率才可達到75%

255（log2=0.3010,log3=0.4771）Ans：

（1）216

（2）432（3）8

2.有一種丟銅板的遊戲，其規則為:

出現正面則繼續丟，出現反面就出局。

那麼連續丟5次後還可繼續丟的機率為（）51。

某班有40名學生，每人各玩一局，設班上至少有一人連

232

續丟5次後還可繼續丟的機率為p，則

（1）0.4p0.5

（2）0.5p<0.6（3）0.6p<0.7（4）0.7p<0.8（5）0.8p0.9

※查表知log31=1.4914，log32=1.5051，log2.831=0.452〔86.學測〕Ans：

（4）

範例》

一彈珠軌道設計如右圖，彈珠可由P,Q兩處入口放入，彈珠在各分叉處，選擇左、右道的機率相等，請問：

（1）若彈珠由P入口放入，則由A、B、C、D、E、F，各出口出現的機率各為何？

（2）某人將彈珠由P或Q入口放入，結果彈珠由C出口出現，則某人是由P入口放入彈珠的機率為何？

（選擇P或Q入口的機率相等）

重點二項分配的數學期望值

1.

數學期望值的定義

一試驗的數學期望值，為此試驗的n種可能結果m1,m2,,mn，分別乘上其發生機率

p1,p2,,pn後的總和，即期望值E=m1p1m2p2mnpn

二項分配：

假設有一次試驗，結果只歸納出2種，即成功或失敗。

這個我們便稱為伯努力試驗（紀念

Swiss數學家JamesBernoulli）。

當然啦！

我們也可以討論n次重複試驗的情況，如果每一次成功的機率皆為p，失敗的機率皆為1–p=q，且它們每次（前後試驗）都互不相影響（如：

取球後放回），這樣的試驗我們稱為二項試驗。

因此，二項試驗具有下列的特徵：

（1）共進行n次的試驗。

（2）每次試驗都互不影響。

（即完全獨立）

（3）每一次試驗不是成功，就是失敗，而且成功的機率都是相同的p。

我們將二項試驗成功次數的機率分布情形稱為二項分配。

考慮在n次重複試驗中，

令X表示n次試驗中成功的次數，即Xx1x2xn，其中xi1表示第i次成功；xi0

表示第i次失敗，則n次試驗中恰有k次成功的機率是P（Xk）Cknpkqnk,k0,1,2,,n二項分配的期望值與變異數：

在一伯努利試驗中成功的機率為p，失敗的機率為q（p+q=1）。

若重複此試驗n次，則n次中成功次數的期望值E（X）=np，變異數Var（X）=npq

說明〕假設我們只能夠做一次試驗，所以在一次的試驗下，可能會有0或1次成功，1次成功的機率為p，0次成功機率為q=1–p。

因此，一次試驗成功次數之

（1）期望值=0×q+1×p=p；

（2）變異數2（0p）2q（1p）2ppq

那麼n次試驗中成功的次數之可能情況為0次、1次、2次、⋯、n次，而其相對應之機率分布如下表：

次數

0

1

⋯

k

⋯

n

機率

n0n

C0np0qn

C1np1qn1

⋯

nknkCknpkqnk

⋯

nn0

Cnnpnq0

則n次試驗中成功次數的期望值E（X）與變異數Var（X）

（1）成功次數的期望值為E（X）np

E（X）=0C0np0qn1C1np1qn12C2np2qn2nCnnpnq0

=1C1np1qn12C2np2qn2nCnnpnq0

n10n1n11n2n1k1nkn1n10=np（C0n1p0qn1C1n1p1qn2Ckn11pk1qnkCnn11pn1q0）

=np（pq）n1np

直觀想法】∵每一次試驗之期望值為p∴作了n次試驗，其期望值為np

（2）成功次數的變異數為Var（X）npq

nn

證明一】Var（X）=（k）2P（Xk）（k22k2）P（Xk）

k0k0

nnn

k2P（Xk）2kP（Xk）2P（Xk）k0k0k0

E（X2）2

其中

nnn

E（x2）k2P（xk）k2Cknpkqnkk（k1）kCknpkqnk

i1k1k1nn

n!

knknknk

k（k1）pqkCkpq

k1k!

（nk）!

k1k

n（n1）p2（n2）!

pk2qnk

k2（k2）!

（nk）!

n2

n（n1）p2Cin2piq（n2）in（n1）p2（pq）n2npn（n1）p2npi0

222

∴Var（X）n（n1）pnpnpnp（1p）npq

直觀想法】

∵每次都是獨立的試驗，即每次試驗成功次數之變異數均為pq

∴作了n次試驗，其變異數為npq標準差=npq

實例】擲一粒公正骰子5次，試求出現1點次數之期望值。

【Ans】我們先想想有沒有直觀的看法，看出期望值的意義。

回想一下，我們在高二時，

介紹

到期望值的時候，我們有談到期望值有“平均＂的概念在裡面，如果我們今天把這

個

題目想成“丟骰子5次，平均有幾個1點＂。

也就是說，我們看平均每次丟到正面

的

15

比例是1，共丟了5次，所以平均而言是5次。

我們如何用數學去證明這個結果66

呢？

E（X）5kCk5

（1）k（5）5k0C05

（1）0（5）51C15

（1）1（5）42C25

（1）2（5）33C35

（1）3（5）2

k06666666666

4C45

（1）4（5）15C55

（1）5（5）0

6666

5

（1）1（5）420

（1）2（5）330

（1）3（5）220

（1）4（5）15

（1）5（5）0

6666666666

5（16）（65）44（61）1（56）36（16）2（56）24（61）3（65）1（16）4

5（15）45

6666

老師講解6學生練習6

某班每位同學投擲一均勻硬幣16次，設X

（1）一群命中率皆為80%的射擊選手集訓練

是每人所擲出正面的次數，求X的平均數與習，若每位選手都射100發，設X是每人標準差。

所射中靶的次數，求X的平均數與標準差。

（2）一群命中率皆為60%的射擊選手集訓練習，當第一回合練習完畢後，統計射擊結

果發現，每人所射中靶的次數平均為90

發，試問在第一回合的練習中每人射擊幾發子彈?

又此群射擊選手射中靶之次數的標準差為何?

Ans】

（1）80；4

（2）150；6

次數的標準差為何?

球，則白球應該是幾個?

又此班同學取中紅球

之

次數的標準差為何？

【Ans】10；2

學生練

老師講解8

習8

老師講解9

擲一個均勻的硬幣32次，令X表正面出現的次數，則X~B（32,0.5）.

設X的期望值為，標準差為，則

（1）=。

（2）=。

（3）利用下表，P（2X2）=

類題》

P（X）=

幾何分配

老師講解10學生練習10

擲一公正的骰子，直到出現6點即停止，令袋中有3紅球2白球，從袋中取球，每次取一

X表投擲的次數，則

（1）P（X）=

（2）X的期望值

E（X）=。

球，取後放回，直到取到白球才停止。

令X

表

取球的次數，則

（1）P（X=3）=

（2）E（X）=。

185

【Ans】

（1）125

（2）2

幾何分配

設一試驗可重複實施，成功的機率為p，失敗的機率為（1