完整版一元二次方程根与系数关系附答案可编辑修改word版.docx
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完整版一元二次方程根与系数关系附答案可编辑修改word版
一元二次方程根与系数的关系(附答案)
评卷人
得分
一.选择题(共6小题)
1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是()A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定
2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()
A.m≥﹣1B.m>﹣1C.m≤﹣1D.m<﹣1
3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定
4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()
A.2B.4C.5D.6
5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()
A.﹣5B.5C.﹣2D.
6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()
A.﹣1B.0C.1D.3
评卷人
得分
二.填空题(共1小题)
7.
若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为.
评卷人
得分
三.解答题(共8小题)
8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L
的长.
9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).
(1)求证:
不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程一个根为3,求m的值.
11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0.
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣
成立?
若存在,求出k的值;若
不存在,说明理由;
(2)求使
+
﹣2的值为整数的实数k的整数值;
(3)若k=﹣2,λ=
,试求λ的值.
13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.
14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=6x1x2,求m的值.
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是()A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定
【解答】解:
∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选:
B.
2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()
A.m≥﹣1B.m>﹣1C.m≤﹣1D.m<﹣1
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=4+4m≥0,解得:
m≥﹣1.
故选:
A.
3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定
【解答】解:
∵a=1,b=3,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣1)=13>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选:
A.
4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()
A.2B.4C.5D.6
【解答】解:
∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=﹣
,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=22﹣2×(﹣
)=5.故选:
C.
5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()
A.﹣5B.5C.﹣2D.
【解答】解:
∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,
∴α+β=5.故选:
B.
6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()
A.﹣1B.0C.1D.3
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×(c+1)=12﹣4c=0,解得:
c=3.
故选:
D.
二.填空题(共1小题)
7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则
的值为﹣5.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p、q,
∴p+q=3,pq=a,
∵p2﹣pq+q2=(p+q)2﹣3pq=18,即9﹣3a=18,
∴a=﹣3,
∴pq=﹣3,
∴
+
=
=
=
=﹣5.故答案为:
﹣5.
三.解答题(共8小题)
8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L
的长.
【解答】解:
(1)∵方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(k2+1)=4k﹣3>0,
∴k>
.
(2)当k=2时,原方程为x2﹣5x+5=0,设方程的两个为m、n,
∴m+n=5,mn=5,
∴
=
=
.
9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解答】
(1)解:
将x=1代入原方程,得:
1+a+a﹣2=0,
解得:
a=
.
(2)证明:
△=a2﹣4(a﹣2)=(a﹣2)2+4.
∵(a﹣2)2≥0,
∴(a﹣2)2+4>0,即△>0,
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).
(1)求证:
不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程一个根为3,求m的值.
【解答】
(1)证明:
原方程可化为x2﹣(2m+2)x+m2+2m=0,
∵a=1,b=﹣(2m+2),c=m2+2m,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2m+2)]2﹣4(m2+2m)=4>0,
∴不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:
将x=3代入原方程,得:
(3﹣m)2﹣2(3﹣m)=0,解得:
m1=3,m2=1.
∴m的值为3或1.
11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0.
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.
【解答】解:
(1)把a=﹣11代入方程,得x2﹣x﹣12=0,
(x+3)(x﹣4)=0,
x+3=0或x﹣4=0,
∴x1=﹣3,x2=4;
(2)∵方程有两个实数根
,∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a﹣1)≥0,解得
;
(3)∵
是方程的两个实数根,
,
∴
.
∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,
∴
,
把
代入,得:
[2+a﹣1][2+a﹣1]=9,即(1+a)2=9,解得a=﹣4,a=2(舍去),所以a的值为﹣4
12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣
成立?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(2)求使
+
﹣2的值为整数的实数k的整数值;
(3)若k=﹣2,λ=
,试求λ的值.
【解答】解:
(1)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=
,
∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2(x1+x2)2﹣9x1x2=2×12﹣9×
=2﹣
,若2﹣=﹣成立,
解上述方程得,k=
,
∵△=16k2﹣4×4k(k+1)=﹣16k>0,
∴k<0,∵k=
,
∴矛盾,
∴不存在这样k的值;
(2)原式=
﹣2=
﹣2=
﹣4=﹣,
∴k+1=1或﹣1,或2,或﹣2,或4,或﹣4
解得k=0或﹣2,1,﹣3,3,﹣5.
∵k<0.
∴k=﹣2,﹣3或﹣5;
(3)∵k=﹣2,λ=
,x1+x2=1,
∴λx2+x2=1,x2=
,x1=
,
∵x1x2=
=
,
∴
=
,
∴λ=3±3
.
13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.
【解答】解:
(1)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根,
∴,
解得:
k≤
且k≠﹣1.
(2)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
∴x1+x2=
,x1x2=
.
∵x1+x2=x1x2+2,即
=
+2,解得:
k=﹣4,
经检验,k=﹣4是原分式方程的解,
∴k=﹣4.
14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.
【解答】解:
(1)△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2﹣3)=8m+16,
当方程有两个不相等的实数根时,则有△>0,即8m+16>0,解得m>﹣2;
(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2﹣3,
∵x12+x22=22+x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2,
∴[2(m+1)]﹣2(m2﹣3)=6+(m2﹣3),
化简,得m2+8m﹣9=0,解得m=1或m=﹣9(不合题意,舍去),
∴实数m的值为1.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=6x1x2,求m的值.
【解答】解:
(1)∵方程有两个实数根,
∴△≥0,即(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0,解得m≤2;
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=m﹣1,
∵x12+x22=6x1x2,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6x1x2,即(x1+x2)2=8x1x2,
∴4=8(m﹣1),解得m=1.5.
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