初中数学图形的相似试题分项汇编.docx
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初中数学图形的相似试题分项汇编
专题13图形的相似
1.(2019•常州)若△ABC~△A′B'C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
A.2∶1B.1∶2C.4∶1D.1∶4
【答案】B
【解析】∵△ABC~△A′B'C′,相似比为1∶2,∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2.故选B.
BC
2.(2019•兰州)已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则
4
=
B'C'
16
A.2B.
3
【答案】B
C.3D.
9
【解析】∵△ABC∽△A'B'C',∴
BC=
B'C'
ABA'B'
-8-4.故选B.
63
3.(2019•安徽)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD
上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为
A.3.6B.4C.4.8D.5
【答案】B
【解析】如图,作DH∥EG交AB于点H,则△AEG∽△ADH,
∴AE=
EG
,∵EF⊥AC,∠C=90°,∴∠EFA=∠C=90°,∴EF∥CD,
ADDH
∴△AEF∽△ADC,∴AE=EF,∴EG
=EF,
ADCDDHCD
∵EG=EF,∴DH=CD,设DH=x,则CD=x,∵BC=12,AC=6,∴BD=12-x,
∵EF⊥AC,EF⊥EG,DH∥EG,∴EG∥AC∥DH,∴△BDH∽△BCA,
∴DH=BD,即x=12-x,解得,x=4,∴CD=4,故选B.
ACBC612
4.(2019•杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点
B,C重合),连接AM交DE于点N,则
A.AD=AN
B.BD=MN
C.DN=NE
D.DN=NE
ANAE
【答案】C
MNCE
BMMC
MCBM
DNAN
【解析】∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴,
BMAM
NE
∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,∴
ANDN
,∴
NE
.故选C.
MCAMBMMC
5.(2019•连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、
“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
A.①处B.②处C.③处D.④处
【答案】B
【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4,
“车”、“炮”之间的距离为1,“炮”②之间的距离为,“车”②之间的距离为2,
∵==,∴马应该落在②的位置,故选B.
2
6.(2019•重庆)如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】∵△ABO∽△CDO,∴BO=
AB,∵BO=6,DO=3,CD=2,∴6=AB,解得AB=4.故
选C.
DODC32
7.(2019•赤峰)如图,D、E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴AD=AE,即2=AE,解得AE=3,
故选C.
ACAB46
8.(2019•凉山州)如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则BE∶EC=
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3
【答案】B
【解析】如图,过O作OG∥BC,交AC于G,
∵O是BD的中点,∴G是DC的中点.
又AD∶DC=1∶2,∴AD=DG=GC,∴AG∶GC=2∶1,AO∶OE=2∶1,∴S△AOB:
S△BOE=2,
设S△BOE=S,S△AOB=2S,又BO=OD,∴S△AOD=2S,S△ABD=4S,∵AD∶DC=1∶2,∴S△BDC=2S△ABD=8S,S
=7S,∴S
=9S,S
=3S,∴BE=S△ABE
=3S=1,故选B.
四边形CDOE
△AEC
△ABE
ECS
△AEC
9S3
9.(2019•常德)如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是
A.20B.22C.24D.26
【答案】D
S△AFH
【解析】如图,根据题意得△AFH∽△ADE,∴
=(FH)2=32=9,
S△ADEDE
416
设S△AFH=9x,则S△ADE=16x,∴16x-9x=7,解得x=1,∴S△ADE=16,
∴四边形DBCE的面积=42-16=26.故选D.
10.(2019•玉林)如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有
A.3对B.5对C.6对D.8对
【答案】C
【解析】图中三角形有:
△AEG,△ADC,CFG,△CBA,
∵AB∥EF∥DC,AD∥BC,∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA,
共有6个组合分别为:
∴△AEG∽△ADC,△AEG∽CFG,△AEG∽△CBA,△ADC∽CFG,△ADC∽
△CBA,CFG∽△CBA,故选C.11.(2019•淄博)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的
面积为a,则△ABD的面积为
5
A.2aB.a
2
7
C.3aD.a
2
【答案】C
S△ACD
【解析】∵∠CAD=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA,∴
△BCA
=(AC)2,即
AB
aS△BCA
=1,
4
解得,△BCA的面积为4a,∴△ABD的面积为:
4a-a=3a,故选C.
12.(2019•邵阳)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,以下说法中错误的是
A.△ABC∽△A′B′C′
B.点C、点O、点C′三点在同一直线上
C.AO∶AA′=1∶2D.AB∥A′B′
【答案】C
【解析】∵以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,
∴△ABC∽△A′B′C′,点C、点O、点C′三点在同一直线上,AB∥A′B′,
AO∶OA′=1∶2,故选项C错误,符合题意.故选C.13.(2019•淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,
DE=2,BC=6,则EF=.
【答案】4
【解析】∵l1∥l2∥l3,∴AB=DE,又AB=3,DE=2,BC=6,∴EF=4,故答案为:
4.
BCEF
AB
14.(2019•河池)如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则
CD
=.
2
【答案】
5
【解析】∵以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,∴OA=
AB=
2=2.
2
故答案为:
.
5
OCCD
2+35
15.(2019•宜宾)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=.
16
【答案】
5
AC216
【解析】在Rt△ABC中,AB=
16
=5,由射影定理得,AC2=AD·AB,∴AD=
=,故
AB5
答案为:
.
5
16.(2019•本溪)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中
1
心,相似比为
2
,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为.
【答案】(2,1)或(-2,-1)
1
【解析】以点O为位似中心,相似比为
2
,把△ABO缩小,点A的坐标是A(4,2),
1
则点A的对应点A1的坐标为(4×
2
案为:
(2,1)或(-2,-1).
1
,2×
2
1
)或(-4×
2
1
,-2×
2
),即(2,1)或(-2,-1),故答
17.(2019•烟台)如图,在直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABO的顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),
O1(5,1),△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则P点的坐标为.
【答案】(-5,-1)
【解析】如图,P点坐标为(-5,-1).
故答案为:
(-5,-1).
18.(2019•南京)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长.
【答案】
【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,∴CD=BD=3,∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=∠B,
∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴AC=AD,∴AC2=AD×AB=2×5=10,∴AC=10.故答案为:
10.
ABAC
19.(2019•吉林)在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为
90m,则这栋楼的高度为m.
【答案】54
【解析】设这栋楼的高度为hm,
∵在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一栋楼的影长为60m,
∴1.8=
h
,解得h=54(m).故答案为:
54.
390
20.(2019•福建)已知△ABC和点A',如图.
(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍;(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点,求证:
△DEF∽△D'E'F'.
【解析】
(1)作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC,得△A'B'C'即可所求.
∵A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC,
S△A'B'C'
∴△ABC∽△A′B′C′,∴
△ABC
=(A'B')2=4.
AB
(2)如图,
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,
∴DE=1BC,DF=1AC,EF=1AB,
222
∴△DEF∽△ABC
同理:
△D'E'F'∽△A'B'C',
由
(1)可知:
△ABC∽△A′B′C′,
∴△DEF∽△D'E'F'.
21.(2019•凉山州)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:
BD2=AD·CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
【解析】
(1)∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD,
∴AD=BD,
BDCD
∴BD2=AD·CD.
(2)∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC,
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,
∴BM=MD=AM=4,
∵BD2=AD·CD,且CD=6,AD=8,∴BD2=48,
∴BC2=BD2-CD2=12,
∴MC2=MB2+BC2=28,
∴MC=2,
∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,
∴BM=MN
=2,且MC=2,
CDCN3
∴MN=.
22.(2019•巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1∶2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
【解析】①如图,△A1B1C为所作,点A1的坐标为(3,-3).
②如图,△A2B2C为所作.
③OB==,
点B经过的路径长=90⋅π⋅
17=
17π.
1802
23.(2019•荆门)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面髙度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.
【解析】如图,设E关于O的对称点为M,由光的反射定律知,延长GC、FA相交于点M,连接GF
并延长交OE于点H,
∵GF∥AC,∴△MAC∽△MFG,
∴AC=MA=MO,
FGMFMH
即:
AC=OE=OE=OE,
BDMHMO+OHOE+BF
∴OE=
2
,∴OE=32,
OE+1.62.1
答:
楼的高度OE为32米.
24.(2019•安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:
△PAB∽△PBC;
(2)求证:
PA=2PC;
1
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h2=h2·h3.
【解析】
(1)∵∠ACB=90°,AB=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,
又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB,
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC,∴PA=PB=AB,
PBPCBC
在Rt△ABC中,AB=AC,∴AB=,
BC
∴PB=
2PC,PA=
2PB,
∴PA=2PC.
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,
∴∠APC=90°,
∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,
∴PE=
AP=2,即h3=2,∴h=2h,
DPPCh2
h1
∵△PAB∽△PBC,∴
2
=AB=,
BC
∴h1=2h2,
∴h2=2h2=2h⋅h=hh.即h12=h2·h3.
122223
25.(2019•长沙)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相
似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;(命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(命题)
③两个大小不同的正方形相似.(命题)
(2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,
AB=
BCCD
=
.求证:
四边形ABCD与四边形ABCD
相似.
A1B1B1C1
C1D1
1111
(3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC
于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD
S2
相似,求的值.
1
【解析】
(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.
②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.
③两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答案为:
假,假,真.
(2)如图1中,连接BD,B1D1.
BC
∵∠BCD=∠BCD,且
=CD,
111
B1C1C1D1
∴△BCD∽△B1C1D1,
∴∠CDB=∠C1D1B1,∠C1B1D1=∠CBD,
AB
∵
A1B1
=BCB1C1
=CDC1D1
BD
,∴
B1D1
AB
,
A1B1
∵∠ABC=∠A1B1C1,
∴∠ABD=∠A1B1D1,
∴△ABD∽△A1B1D1,
∴AD=
AB
1
,∠A=∠A,∠ADB=∠ADB,
A1D1A1B1
111
∴AB=BC
=CD=
AD
,∠ADC=∠ADC,∠A=∠A,∠ABC=∠ABC,∠BCD=∠BCD,
A1B1B1C1C1D1A1D1
1111
111
111
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)∵四边形ABCD与四边形EFCD相似.
∴DE=EF,
AEAB
DEOE+OF
∵EF=OE+OF,∴=,
AEAB
∵EF∥AB∥CD,
DE=OEDEOCOF
DEDEOEOF
2DEDE
∴,-=,∴
ADABADABAB
+=+,∴
ADADABAB
=,
ADAE
∵AD=DE+AE,
∴2=1,
DE+AEAE
∴2AE=DE+AE,
S1
∴AE=DE,∴=1.
2
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