完整word版高考一轮复习教案函数的单调性与最值doc.docx

完整word版高考一轮复习教案函数的单调性与最值doc.docx

《完整word版高考一轮复习教案函数的单调性与最值doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版高考一轮复习教案函数的单调性与最值doc.docx（51页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整word版高考一轮复习教案函数的单调性与最值doc

第二节函数的单调性与最值

1．函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义．

2．函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

知识点一函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数

f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个

自变量的值x1

2

，x

定义

当x1

当x1f（x2），那么就说函数

就说函数f（x）在区间A上是增加的

f（x）在区间A上是减少的

图象描述

自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

易误提醒求函数单调区间的两个注意点：

（1）单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，

不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式：

设x1，x2∈[a，b]，那么

fx1－fx2

①>0?

f（x）在[a，b]上是增函数；

x1－x2

fx1－fx2

<0?

f（x）在[a，b]上是减函数．

x1－x2

②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0?

f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0?

f（x）在[a，b]上是减函数．

2．复合函数y＝f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f（u）与u＝g（x）若具

有相同的单调性，则

y＝f[g（x）]为增函数，若具有不同的单调性，则

y＝f[g（x）]必为减函数．

[自测练习]

1．下列函数中，在区间

（0，＋∞）上单调递减的是（

）

1

2

A．f（x）＝x

B．f（x）＝（x－1）

C．f（x）＝ex

D．f（x）＝ln（x＋

1）

2．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．

－x2－ax－5，x≤1，

3．已知函数f（x）＝a

在R上为增函数，则a的取值范围是（）

x，x>1

A．[－3,0）

B．[－3，－2]

C．（－∞，－2]

D．（－∞，0）

知识点二

函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

对于任意x∈I，都有f（x）≤M

对于任意x∈I，都有f（x）≥M

存在x0∈I，使得f（x0）＝M

存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

易误提醒

在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．

必备方法

求函数最值的五个常用方法

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

（2）图象法：

先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

（3）换元法：

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

（4）基本不等式法：

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

（5）导数法：

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

[自测练习]

1

4．函数f（x）＝

1＋x2（x∈R）的值域是（

）

A．（0,1）

B．（0,1]

C．[0,1）

D．[0,1]

5．已知函数f（x）＝x2＋2x（－2≤x≤1且x∈Z），则f（x）的值域是（）

A．[0,3]

B．[－1,3]

C．{0,1,3}

D．{－1,0,3}

考点一函数单调性的判断|

1．下列四个函数中，在

（0，＋∞）上为增函数的是（）

A．f（x）＝3－x

B．f（x）＝x2－3x

1

C．f（x）＝－x＋1

D．f（x）＝－|x|

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1．定义法（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）．

2．导数法（基本步骤为求定义域、求导、变形、判断）．

考点二函数的单调区间的求法|

求下列函数的单调区间：

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）y＝log1（x2－3x＋2）．

2

函数单调区间的四种求法

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性

写出它的单调区间．

（4）导数法：

利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

函数y＝|x|（1－x）在区间A上是增函数，那么区间

A是（）

A．（－∞，0）

B.

0，1

2

1

C．[0，＋∞）

D.

2，＋∞

考点三函数单调性的应用|

函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探

究角度有：

1．求函数的值域或最值．

2．比较两个函数值或两个自变量的大小．

3．解函数不等式．

4．求参数的取值范围或值．

探究一求函数的值域或最值

1．（2015高·考浙江卷）已知函数

x＋

2－3，x≥1，

f（x）＝

x

则f（f（－3））＝________，f（x）

lgx2＋1

，x<1，

的最小值是________．

探究二

比较两个函数值或两自变量的大小

2

1

，若x1

2

2．已知函数f（x）＝log

x＋1－x

∈（1,2）

，x∈（2，＋∞），则（）

A．f（x）<0，f（x）<0

B．f（x）<0，f（x）>0

1

2

1

2

C．f（x1）>0，f（x2）<0

D．f（x1）>0，f（x2）>0

探究三

解函数不等式

x3，x≤0，

3．（2015西·安一模）已知函数f（x）＝若f（2－x2）>f（x），则实数x的取值

lnx＋1，x>0，

范围是（）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（－1,2）

D．（－2,1）

探究四利用单调性求参数的取值范围

2－ax＋1x<1，

满足对任意

x12

4．（2015江·西新余期末质检

）已知

f（x）＝

≠x，都有

axx≥1

fx

－fx

2

1

x1－x2

>0成立，那么a的取值范围是（）

3，2

3

A.2

B.1，2

C．（1,2）

D．（1，＋∞）

函数单调性应用问题的四种类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号

脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调

区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

（4）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式

【典例】（12分）函数f（x）对任意a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，且当x>0时，

有f（x）>1.

（1）

求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）

若f（4）＝5，解不等式f（2t－1）－f（1＋t）<2.

[思路点拨]

（1）用单调性的定义证明抽象函数的单调性；

（2）结合题意，将含“f”的不等

式f（2t－1）－f（1＋t）<2转化为f（m）

[模板形成]

A组考点能力演练

1．（2015

吉·林二模）下列函数中，定义域是

R且为增函数的是（）

－

B．y＝x

A．y＝e

x

C．y＝lnx

D．y＝|x|

2．（2015

·南信阳期末调研河

）下列四个函数：

1

①y＝3－x；②y＝x2＋1；

－x

x≤0，

③y＝x2＋2x－10；④y＝

1

－x

x>0.

其中值域为R的函数有（

）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．若函数f（x）＝－x2＋2ax与函数g（x）＝a在区间[1,2]上都是减函数，则实数

a的取

x＋1

值范围为（）

A．（0,1）∪（0,1）

B．（0,1）∪（0,1]

C．（0,1）

D．（0,1]

x2－4x＋3，x≤0，

）

4．已知函数f（x）＝

则不等式f（a2－4）>f（3a）的解集为（

－x2－2x＋3，x>0，

A．（2,6）

B．（－1,4）

C．（1,4）

D．（－3,5）

fx

5．（2016浦·东一模）如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数，且函数y＝x

在区间I上是减函数，那么称函数

y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间

I叫作“缓增区间”．若函数f（x）＝

1

2－x＋3是区间I上的“缓增函数”，则

2x

2

“缓增区间”I为（）

A．[1，＋∞）

B．[0，3]

C．[0,1]

D．[1，3]

fx2－fx1

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

x2－x1

<0，则f（3），f（－2），f

（1）的大小关系为________．

1，x>0，

7．设函数f（x）＝0，x＝0，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．

－1，x<0，

8．（2015长·春二模）已知函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，则a的取值范围

是________．

9．已知f（x）＝x（x≠a）．

x－a

（1）

若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）上单调递增；

（2）

若a>0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求

a的取值范围．

1

10．已知函数g（x）＝x＋1，h（x）＝，x∈（－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f（x）

＝g（x）·h（x）．

（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；

（2）当a＝1时，求函数f（x）的值域．

4

B组高考题型专练

1．（2014

高·考北京卷）下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）

A．y＝x＋1

B．y＝（x－1）2

C．y＝2

－x

D．y＝log0.5（x＋1）

2．（2013

高·考安徽卷）“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”

的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

－x＋6，x≤2，

3．（2015·考福建卷高）若函数f（x）＝（a>0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），

3＋logax，x>2

则实数a的取值范围是________．

4．（2015·考湖北卷高）a为实数，函数f（x）＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g（a）．当a＝________时，g（a）的值最小．

1

1.解析：

根据函数的图象知，函数f（x）＝x在（0，＋∞）上单调递减，故选A.答案：

A

1

2.解析：

要使y＝log5（2x＋1）有意义，则2x＋1>0，即x>－2，而y＝log5u为（0，＋∞）

11

上的增函数，当x>－2时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是－2，＋∞.答案：

－12，＋∞

3.解析：

要使函数在R上是增函数，

－a2≥1，

则有a<0，

－1－a－5≤a，

解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．答案：

B

4.解析：

因为1＋x2≥1,0<

1

≤1，所以函数值域是（0,1]，选B.答案：

B

1＋x2

5.解析：

依题意，f（－2）＝f（0）＝0，f（－1）＝－1，f

（1）＝3，因此

f（x）的值域是{－1,0,3}，

选D.答案：

D

1.解析：

当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；

3

当x∈0，2时，f（x）＝x2－3x为减函数，

当x∈32，＋∞时，f（x）＝x2－3x为增函数；

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－1为增函数；x＋1

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．故选C.答案：

C

－2x

2．判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．

x－1

2.解：

法一：

定义法

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1

－2x

1

－2x

2

2x－x

1

2

则g（x1）－g（x2）＝－

＝

，

x1－1x2－1

x1－1x2－1

因为1

，

所以x1－x2<0，（x1－1）（x2－1）>0，

因此g（x1）－g（x2）<0，即g（x1）

故g（x）在（1，＋∞）上是增函数．法二：

导数法

－2x－1

＋2x

2

∵g′（x）＝

＝

x－12>0，

x－1

2

∴g（x）在（1，＋∞）上是增函数．

1.[解]

（1）由于

－x2＋2x＋1，x≥0，

y＝

－x2－2x＋1，x<0，

－x－12＋2，x≥0，

即y＝

－x＋12＋2，x<0.

画出函数图象如图所示，

单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，

单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

2.

（2）令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作

1

的复合函数．

y＝logu与u＝x2－3x＋2

2

令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.

1

∴函数y＝log2（x2－3x＋2）的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）．

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．

∴u＝x2－3x＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数．

1

而y＝log2u在（0，＋∞）上是单调减函数，

∴y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间为

2

（2，＋∞），单调递增区间为

（－∞，1）．

解析：

y＝|x|（1－x）

x1－xx≥0，－x2＋xx≥0，

＝＝

－x1－xx<0x2－xx<0

11

－x－22＋4x≥0，

＝

x－12－1x<0.

24

画出函数的草图，如图．

由图易知原函数在

1

0，2上单调递增．

答案：

B

1.解析：

由题知，

f（－3）＝1，f

（1）＝0，即f（f（－3））＝0.又

f（x）在（－∞，0）上单调递减，在

（0,1）上单调递增，在（1，

2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，所以

f（x）min＝min{f（0），

f

（2）}＝22－3.

答案：

0

22－3

1

2.解析：

∵函数f（x）＝log2x＋在（1，＋∞）上为增函数，且f

（2）＝0，

1－x

∴当x1∈（1,2）时，f（x1）

（2）＝0，

当x2∈（2，＋∞）时，f（x2）>f

（2）＝0，

即f（x1）<0，f（x2）>0.

答案：

B

3.解析：

∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲

线．∵当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数，当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）也是增函数，且当x1<0，

x2>0时，f（x1）

R上的增函数．因此，不等式

f（2－x2）>f（x）等价于

2

－x2>x，即

x2＋x－2<0，解得－

2

D.

答案：

D

2－a>0，

4.解析：

依题意，

f（x）是在

R上的增函数，于是有

a>1，

3

解得2≤a<2，

2－a×1＋1≤a1.

故选A.

答案：

A

[规范解答]

（1）证明：

设x1，x2∈R且x10，

∴f（x2－x1）>1.（2分）

根据条件等式有

f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1>0，

∴f（x1）

（2）由f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，得f（a＋b）－f（a）＝f（b）－1，

∴f（2t－1）－f（1＋t）＝f（t－2）－1，（8分）

∴f（2t－1）－f（1＋t）<2，即f（t－2）－1<2，

∴f（t－2）<3.

又f（2＋2）＝f

（2）＋f

（2）－1＝5，∴f

（2）＝3，

∴f（t－2）<3＝f

（2）．（10分）

∵f（x）是R上的增函数，

∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为（－∞，4）．（12分）

1.解析：

因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选

答案：

B

B.

－x

x≤0

，

2.解析：

依题意，注意到

y＝3－x与函数

y＝

1

－x

x>0

的值域均是

R，函数

y＝

1的值域是（0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝（x＋1）2－11的值域是[－11，＋∞），因此选B.x2＋1

答案：

B

a≤1，

3.解析：

注意到f（x）＝－（x－a）2＋a2；依题意得即0

a>0，

答案：

D

4.解析：

作出函数f（x）的图象，如图所示，则函数f（x）在R上是单调递减的．由f（a2－

4）>f（3a），可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即（a＋1）（a－4）<0，解得－1

等式的解集为（－1,4）．

答案：

B

1

2

－x＋

3

x＝1，所以函数

y＝f（x）在区间[1，＋∞）

5.解析：

因为函数

f（x）＝2x

2

的对称轴为

fx

1

3

1

3

13

上是增函数，又当x≥1

时，x

＝2x－1＋2x，令g（x）＝2x－1＋2x（x≥1），则g′（x）＝2－2x2

x2－3

fx

1

3

＝2x2，由g′（x）≤0得1≤x≤3，即函数x＝2x－1＋2x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]．

答案：

D

6.解析：

由x1，x2∈（0，＋∞）时，

fx2－x1